Meu nome: Meu Professor: Minha Instituição

Meu nome:
Meu Professor:
Minha Instituição:
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
1. Ana está jogando “Pokémon Go”, um jogo que se tornou um fenômeno mundial, o jogo utiliza o sistema
de GPS dos aparelhos celulares para fazer com que os jogadores se desloquem fisicamente para conseguir
capturar os monstrinhos (Pokémons).
Na figura, com escala de 1: 100000, temos a ilustração da posição 𝐴 de Ana em relação a dois Pokémons, 𝑃
e 𝑄. Existe ainda uma circunferência de raio 2 𝑐𝑚 indicando a localização de Ana. Percebe-se, também, que
os pontos que indicam a localização de Ana e dos Pokémons formam um triângulo retângulo em 𝐴.
Fonte: <https://cdn2.vox-cdn.com/thumbor/OGjiVi6CrER7-hPKLSOLUfO-1wY=/0x780:750x1202/1600x900/cdn0.voxcdn.com/uploads/chorus_image/image/50077601/map_3.0.0.PNG> Acesso em: 01 ago. 2016 (Adaptado)
a) Sabendo que a distância 𝐴𝑃 é igual ao comprimento da circunferência de centro 𝐴 (localização de Ana), e
que a distância 𝐴𝑄 corresponde a três quartos do comprimento dessa mesma circunferência, determine a
distância, em quilômetros, entre o Pokémon localizado em 𝑃 e o Pokémon situado em 𝑄, ou seja, a distância
𝑃𝑄.
Uma solução:
Dos dados apresentados, temos que
𝐴𝑃 = 2 ∙ 𝜋 ∙ 2 = 4𝜋 𝑐𝑚 na figura = 4𝜋 𝑘𝑚 na realidade.
3
𝐴𝑄 = ∙ 2 ∙ 𝜋 ∙ 2 = 3𝜋 𝑐𝑚 na figura = 3𝜋 𝑘𝑚 na realidade.
4
Assim, pelo Teorema de Pitágoras
𝑃𝑄 = √𝐴𝑃2 + 𝐴𝑄2 = √(4𝜋)2 + (3𝜋)2 = √16𝜋² + 9𝜋² = √25𝜋² = 5𝜋 𝑐𝑚 na figura
= 5𝜋 𝑘𝑚 na realidade.
NOTA
1
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
b) Considerando que o tempo gasto por Ana para chegar a cada Pokémon é diretamente proporcional à
distância percorrida e sabendo que ela gastou 48 minutos para ir até o Pokémon situado em 𝑃, determine o
tempo gasto por ela, estando no ponto 𝑃, para chegar até o Pokémon localizado em 𝑄.
Uma solução:
Uma regra de três simples,
48 min _________4𝜋
𝑥 𝑚𝑖𝑛 _________5𝜋
𝑥=
240𝜋
= 60 min = 1ℎ.
4𝜋
NOTA
c) Qual foi a velocidade média, em quilômetros por hora, obtida por Ana ao fazer o trajeto 𝐴𝑃 e 𝑃𝑄, isto é, para
sair de 𝐴 e ir até 𝑄, passando por 𝑃.
Uma solução:
Sabemos que a distância percorrida é dada por
𝑑 = 𝐴𝑃 + 𝑃𝑄 = 4𝜋 + 5𝜋 = 9𝜋 𝑘𝑚 e que o tempo gasto foi
𝑡 = 48 𝑚𝑖𝑛 + 60𝑚𝑖𝑛 = 108 𝑚𝑖𝑛 = 1,8ℎ. Assim a velocidade medida é o quociente da razão a seguir
9𝜋
𝑉𝑚 = 1,8 = 5𝜋 𝑘𝑚/ℎ ≅ 15,7𝑘𝑚/ℎ.
NOTA
TOTAL
2
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
2. Nosso sistema de numeração é o decimal, ou seja, usamos dez algarismos para a representação dos
números, porque temos dez dedos em nossas mãos, assim, para contarmos logo após o número nove,
utilizamos os algarismos 1 e 0 para representar dez unidades, indicando que temos um par de mãos
completas e nenhum dedo adicional. Já o número trinta e dois, utilizamos os algarismos 3 e 2, para
representar três pares de mãos completas e mais dois dedos adicionais. No planeta OMI, os seres
possuem apenas três dedos em cada mão.
O sistema de numeração utilizado por eles é de base seis,
em que utilizam apenas seis algarismos para a representação
dos números, então, eles contam da seguinte maneira:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 21, ⋯. Ou seja, o 10
deles representa o nosso 6, pois considera-se um par de
mãos completas e nenhum dedo adicional, já o 32 do planeta
OMI representa três pares de mãos completas, isto é, 18
dedos e mais dois dedos adicionais, representando assim o
nosso número 20.
Fonte: <https://www.dreamstime.com/photos-images/cuterobot.html#details3624866> Acesso em: 05 ago. 2016 (Adaptado)
a) Qual é a representação no planeta OMI dos números decimais 53, 87 e 139?
Uma solução:
53
5
6
8
2
6
1
∴ 53 = (125)6
___________________________________________________________________________________
87
3
6
14
2
6
2
∴ 87 = (223)6
___________________________________________________________________________________
139
1
6
23
5
6
3
∴ 139 = (351)6
NOTA
3
NÍVEL 2
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b) Qual é a representação decimal dos números 45, 51 e 234 do planeta OMI?
Uma solução:
(45)6 = 4 ∙ 61 + 5 ∙ 60 = 24 + 5 = 29
(51)6 = 5 ∙ 61 + 1 ∙ 60 = 30 + 1 = 31
(234)6 = 2 ∙ 62 + 3 ∙ 61 + 4 ∙ 60 = 72 + 18 + 4 = 94
NOTA
c) No planeta OMI um aluno do 8º ano deve resolver a seguinte adição e a seguinte subtração, qual é o
resultado encontrado por ele?
Uma solução:
+
241
345
−
1030
432
345
043
NOTA
d) Qual é o resultado da multiplicação 32 × 2543 no planeta OMI?
Uma solução:
×
+
1
1
2
3
2
5
5
5
5
5
1
1
4
3
3
3
0
3
2
0
0
NOTA
TOTAL
4
NÍVEL 2
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3. Cinco triângulos equiláteros formam a figura abaixo, o primeiro possui lado de comprimento 1 𝑐𝑚 e os
triângulos seguintes possuem lado de comprimento igual à metade do lado do triângulo anterior de modo
que o último triângulo possui vértice 𝐏 oposto à sua base.
a) Qual é o perímetro da figura?
Uma solução:
Observe que cada triângulo contribui com dois lados (o seu lado mais a metade do lado do triângulo anterior) para
o perímetro 𝑝 e o último com três, assim perímetro é
𝑝 = 2 ∙ (𝑙1 + 𝑙2 + 𝑙3 + 𝑙4 + 𝑙5 ) + 𝑙5 = 2 ∙ (1 +
1 1 1 1
1
63
+ + + )+
=
𝑐𝑚.
2 4 8 16
16 16
NOTA
b) Qual é a altura do ponto 𝐏 em relação à base do primeiro triângulo?
Uma solução:
O ponto 𝑃 possui a altura do triângulo 2 mais a altura do triângulo 3 menos a altura do triângulo 5.
E lembrando que a altura
ℎ de um triângulo equilátero é dada em função de seu lado 𝑙 por ℎ = 𝑙
√3
. Assim, segue
2
que a altura do ponto 𝑃 é
ℎ𝑃 = ℎ2 + ℎ3 − ℎ2 =
1 √3 1 √3 1 √3 11√3
∙
+ ∙
−
∙
=
𝑐𝑚.
2 2
4 2
16 2
2
NOTA
TOTAL
5
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
4. O triângulo 𝐴𝐵𝐶 da figura abaixo tem o lado 𝐴𝐵 medindo 10 𝑐𝑚 e a sua altura (em relação à base 𝐴𝐵)
mede 6 𝑐𝑚. O lado 𝐵𝐶 está dividido em quatro partes iguais pelos pontos 𝑃, 𝑄 e 𝑅, e o lado 𝐴𝐶 está
dividido em três partes iguais pelos pontos 𝑀 e 𝑁.
a) Determine a área do triângulo 𝐴𝐵𝑁.
Uma solução:
É possível determinar a área do triângulo ABC com os dados do enunciado.
𝐴𝐴𝐵𝐶 =
6 ∙ 10
= 30 𝑐𝑚²
2
Traçando os segmentos BM e BN obtemos a figura abaixo:
Com isso, formamos os triângulos
BCM, BMN e ABN. Todos com mesma base e mesma altura. Como
consequência, os três triângulos têm mesma área.
Sabendo que a área do triângulo
ABC é igual a soma das áreas dos triângulos BCM, BMN e ABN, então:
𝐴𝐴𝐵𝑁 =
𝐴𝐴𝐵𝐶 30
=
= 10 𝑐𝑚2 .
3
3
NOTA
6
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
b) Determine a área do triângulo 𝐶𝑀𝑅.
Uma solução:
Sabemos que a área do triângulo
BCM é a mesma do triângulo ABN pelo item anterior.
Traçando os segmentos MP, MQ e MR, dividimos o triângulo BCM em quatro triângulos de mesma base e
mesma altura. Como consequência, os quatro triângulos têm mesma área.
Portanto, a área do triângulo
CMR é
𝐴𝐶𝑀𝑅 =
𝐴𝐵𝐶𝑀 10
=
= 2,5 𝑐𝑚2 .
4
4
NOTA
c) Determine a área do triângulo 𝑁𝑃𝑄.
Uma solução:
Sabemos que o triângulo ABN têm área igual a
10 𝑐𝑚². Isso significa que o triângulo 𝐵𝐶𝑁 mede 20 𝑐𝑚².
Traçando os segmentos NP, NQ e NR dividimos o triângulo
Portanto, a área do triângulo
BCN em 4 triângulo de mesma área.
NPQ é
𝐴𝑁𝑃𝑄 =
𝐴𝐵𝐶𝑁 20
=
= 5 𝑐𝑚2 .
4
4
NOTA
TOTAL
7
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
5. Carlos, um técnico em agropecuária formado pelo IF Goiano, Campus Iporá, comprou um terreno no
formato de um trapézio e deseja dividi-lo em três partes, como indica a figura seguinte, para colocar seus
conhecimentos em prática e começar a lucrar desenvolvendo três atividades produtivas, a saber:

Uma região triangular com área de 150 𝑚² para o cultivo de mandioca;

Uma região quadrada com área de 144 𝑚² para cultivo de hortaliças;

Uma região retangular com área de 216 𝑚² para o cultivo de feijão.
a) Qual é a área total do terreno comprado por Carlos?
Uma solução:
A área do terreno, ou área do trapézio, é igual a soma das áreas do triângulo, do quadrado e do retângulo, ou seja,
𝐴 = 150 + 144 + 216 = 510 𝑚2 .
NOTA
8
NÍVEL 2
Respostas sem justificativa não serão consideradas
b) Carlos soube que o índice de furto nas lavouras de feijão aumentou consideravelmente em razão do
valor do grão, pensando nisso ele resolveu cercar sua plantação, exceto a parte adjacente à região
quadrada, com dez fios de arame de ferpa. Sabendo que cada bola de arame contém 110 𝑚, determine
a quantidade mínima de bolas de arame que deve ser comprada para cercar o terreno como desejado?
Uma solução:
Considerando que a região retangular tenham dimensões
𝑎 e 𝑏, assim a região quadrada tem também dimensão
𝑎, assim:
𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 = 144 = 𝑎2 ⇒ 𝑎 = 12 𝑚
temos ainda que,
𝐴𝑟𝑒𝑡â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 216 = 𝑎 ∙ 𝑏
216 = 12 ∙ 𝑏
𝑏 = 18 𝑚
Então, o comprimento a ser cercado é
18 + 12 + 18 = 48 𝑚, e em todos os lados terão dez fios, então a
quantidade gasta de arame será 48 ∙ 10
= 480 𝑚. Como a bola contém 110 𝑚 de arame, temos:
𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑏𝑜𝑙𝑎𝑠 =
480 48
=
≅ 4,36.
110 11
Portanto a quantidade mínima de bolas de arame que deve ser comprada para cercar o terreno como desejado é
𝟓
bolas.
NOTA
c) Quanto mede o maior lado da região destinada ao cultivo de mandioca?
Uma solução:
Observando que a região é um triângulo retângulo, onde o cateto maior mede 18 + 12
= 30 𝑚, e o cateto menor
𝑐 pode ser obtido usando a área do triângulo:
𝐴𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = 150 =
30 ∙ 𝑐
2
𝑐 = 10 𝑚
Como o maior lado do triângulo retângulo é a hipotenusa, temos pelo Teorema de Pitágoras que:
ℎ2 = 302 + 10²
ℎ2 = 900 + 100
ℎ = √1000 = √10³ = √10² ∙ 10
ℎ = 10√10 𝑚.
NOTA
TOTAL
9