formulario eletromagnetismo

UNIVERSIDADE SÃO MARCOS
CURSO: ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÃO
PROFESSOR: LUCIANO FRATIN
FORMULÁRIO DE ELETROMAGNETISMO
(para consulta nas aulas e nas avaliações escritas)




 Forma geral de um vetor: B  B x a x  B y a y  B z a z


Vetor unitário na direção de B :
 Produto escalar:
 Produto vetorial :


B
aB 
B
   
A  B  A . B . cos AB   A x .B x  A y .B y  A z .B z


ax ay
   
 
A  B  A . B . sen AB 
AB  Ax Ay
Bx By
 Relações entre coordenadas cartesianas e
cilíndricas
  x 2  y2
x  . cos 
y  . sen 
zz
  arctg

B  Bx 2  B y 2  Bz 2
; módulo de um vetor:
Relações entre coordenadas cartesianas e
esféricas
x  r. sen . cos 
y
x

az
Az
Bz
y  r. sen . sen 
r  x 2  y2  z2
x  y2  z2
2
z  r. cos 
zz
z
  arccos
  arctg
 Mudança de coordenadas
y
x

Exemplo: componentes do vetor B (que está em coordenadas cartesianas) em coordenadas cilíndricas.
 
 
 
B   B  a  ; B   B  a  ; Bz  B  a z
Produto escalar de vetores unitários nos
sistemas de coordenadas cartesianas e
cilíndricas

ax 

ay 

az 

a

a

az
cos 
- sen 
0
sen 
cos 
0
0
0
1
Elementos de volume:
dv  dx.dy.dz (cartesiano);
dv  d..d.dz
Produto escalar de vetores unitários nos
sistemas de coordenadas cartesianas e
esféricas

ax 

ay 

az 

ar

a

a
sen  cos  cos  cos 
- sen 
sen  sen  cos  sen 
cos 
(cilíndrico);
cos 
- sen 
dv  dr.r.d.r sen .d
0
(esférico)
ELETROSTÁTICA
 Lei de Coulomb:
 Intensidade de campo Elétrico:



Q .Q 
F2  1 2 .a 12 [N] e
F2  F1
4 0

 F
[N/C] ou [V/m]
E P
QP
 0  8,854 .10 12 C2/N.m2
dQ
dQ
dQ
L 
[C/m3] ;  S 
[C/m2] ;
[C/m]
dv
dS
dL


Q
Cargas pontuais: E r 
.a
2 r
4.. 0 .r

  
L

E 
.a  ; Plano infinito carregado:
Cargas em linha infinita:
E  S .a N
2.. 0 .
2. 0
Distribuição de cargas:  v 
 Lei de Gauss:
 
  D  dS  Q int
S
Teorema da Divergência:

(coordenadas cartesianas)



vol
 
 Primeira equação de Maxwell:   D  
 



D 
Dx 
Dy  Dz
x
y
z
  1 
1 

D 
.D  
D  Dz
 
 
z
 

1  2
1

1

D 
r .D r 
(sen .D  )a  
D
2 r
r
.
sen



r
.
sen



r



supD  dS     D.dv
(coordenadas cilíndricas)

(coordenadas esféricas)

 
final 
dW  Q.E  dL
E  dL [J]
Trabalho: W  Q.
inic.




dL  dx.a x  dy.a y dz.a z
(coordenadas cartesianas)




dL  d.a   .d.a  dz.a z
(coordenadas cilíndricas)




dL  dr.a r  r.d.a   r. sen .d.a 
(coordenadas esféricas)

A
 Diferença de Potencial: VAB  VA  VB   E  dL [V]
B
 
 Campo Conservativo: num percurso fechado E  dL  0

 Trabalho diferencial:



V 
V 
V 
V 
ax 
ay 
az
x
y
z

V 
1 V 
V 
V 
a 
a 
az

 
z

V  1 V 
1 V 
V 
ar 
a 
a
r
r 
r. sen  


 Gradiente do Potencial: E  V
ELETRODINÂMICA
 Corrente Elétrica: I 


J  E
 
dQ
[A] ; dI  J  dS
dt


(coord. cilíndricas)
(coord. esféricas)

Densidade de Corrente: J  .v



Para elétrons livres num condutor: v   e E ; J   e . e E ;
 Equação da continuidade:
(coord. cartesianas)
 
dQ int
I  J  dS  
dt

[A/m2]
;
   e . e
 

J  
t
e
S
 Para campo elétrico e densidade de corrente constantes:
I  JS
VAB  E.L AB
;
 Expressão geral para a resistência:
V
;
L
L
.I ;
.S

a
Vab  b E  dL
R

 
I
E  dS
; J
V
V  R.I ;
R
L
.S


S
ELETROMAGNETISMO

 
 I.dL  a R

I.dL  a R
 Lei de Biot-Savart:
[A/m]
e
[A/m]
dH 
H
4..R 2
4..R 2
 
 Lei de Ampére:
 H  dL  I int 
 Densidade de Fluxo Magnético: B  .H [T] onde    0 . r é a permeabilidade magnética do meio
0 = 4..10-7 [H/m] é a permeabilidade do espaço livre e r é a permeabilidade relativa.
 Fluxo magnético:
 
   B  dS [Wb]
S

ax
  

 rot A     A  
x




Ax
 Rotacional:
   A
A y

 rot A    z 

  y
z

 


ay
az


y
z
Ay Az
 
A x A z
  a x  
 z  x





A z A 
 rot A    1 


   
z


 A y A x
 

  a y  
 x
y


(coord. cartesianas)
 
   A   A 
a   1 


 



 A  A z
 
  a   
 z  




A  . sen  A 
 rot A   1 


 r. sen  




 
az


 
  a z (coord. cilíndricas)


  1  1 A r r.A    
1  r  A   A r
  a r   


  a    
r  sen  
r 
r  r


 
  a 

(coord.esféricas)

 
Fm  Q.v  B [N]

  
[N]
F  Q. E  v  B

 
dF  I dL  B [N]

 
F  I L  B [N]
 Força Magnética sobre uma partícula:
 Força em Campo Elétrico e magnético combinados:


 Força Magnética sobre um elemento de corrente:
Se o condutor é retilíneo e o campo uniforme:
V
 Lei de Faraday:
d
dt
 



[V]
 Equações de Maxwell para o ELETROMAGNETISMO
Forma Diferencial

   D
 H  J 
t

 
B
E  
t
 
D  
Forma Integral

 
  D  

 H  dL    J  t   dS
S
(Lei de
Ampère)

 
 B  

 E  dL     t   dS
S
(Lei de
faraday)

 
B  0

 D  dS   dv
S


(Lei de Gauss)
v
 B  dS  0
S
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS
 Equações de onda:
 
 

 

2H   2H e 2E   2E
2


 
  

1


1


 [Np/m]
2 





 Impedância Intrínseca:  
E
[]
H

 Velocidade de propagação da onda: v 


[m/s]

com     j ou   j   j  [m-1]
e
 
j
  j
2


 
  

1


1



2 





[rad/m]
na forma polar    e j
2. v
[m] ;


f
 Comprimento de onda;  
  2..f [rad/s]
 Soluções para meios Quase Condutores:


Ez, t   E 0 .e z e j.t z a x

E

Hz, t   0 .e z e j.t z   a y

e
( 00<  <450 )
 Soluções para Dielétricos Perfeitos:
= 0
    e


/00

para o espaço vazio e propagação de uma onda plana na direção z :
(no espaço livre  = 0 ,     0  0 e v = c = 3.108 m/s , velocidade da luz )


Ez, t   E 0 .e j.t z a x

E

Hz, t   0 .e j.t z  a y

e
0
E
 x no caso da onda plana acima.
0
Hy
no espaço livre:  
 Soluções para Bons Condutores:
 

2


Ez, t   E 0 .e z e j.t z a x
, 

/450



e
j .t z   

E
4
Hz, t   0 .e z e 
ay

 Profundidade de Penetração ou profundidade Pelicular;

1
[m-1]

e no caso de um condutor  
1
.f ..
 Reflexão e transmissão de ondas:


E i z, t   E i0 .e 1z .e jt a x


Er z, t   E0r .e1z .e jt a x


E t z, t   E0t .e 2 z .e jt a x


H i z, t   H i0 .e  1z .e jt a y


H r z, t   H 0r .e  1z .e jt a y


H t z, t   H 0t .e   2 z .e jt a y
e
e
e

ondas incidentes
ondas refletidas
ondas transmitidas

com incidência normal E e H serão tangentes à interface e contínuAs e em z = 0:
Ei0  Eor  E0t e Hi0  Hor  H0t
os coeficientes de reflexão e de transmissão são dados por:
E 0r 2  1

E i0 2  1

H 0r 1  2

H i0 1  2

E 0t
22

i

E0
2  1

H 0t
21

i

H0
1  2
 Vetor de Poynting, :   E  H é densidade instantânea de potência [W/m2] ; define a direção de
propagação.
a densidade média de potência no tempo é dada por;
Pmed 
2
1 Eo
[W/m2]
2 