Séries – 1. Limites de Seqüências de Números

Séries – 1. Limites de Seqüências de Números
Luiza Amalia Pinto Cantão
Depto. de Engenharia Ambiental
Universidade Estadual Paulista – UNESP
[email protected]
Séries Infinitas
Importância: Newton a usou para representar funções como a soma de uma
série infinita! Assim, algumas funções complicadas de calcular em integrais,
por exemplo, são substituı́das pelos primeiros termos da série que as representa.
Objetivo: Calcular a soma de séries infinitas.
Exemplos:
1 1 1
1. + + + · · · = 1 → resultou num número finito !
2 4 8
= ∞ → resultou no infinito!
2. 1 + 4 + 9 + · · · + n2 + · · · 0 se (1 − 1) + (1 − 1) + · · ·
3. 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − · · · =
1 se 1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) · · ·
Seqüências
Definição: Uma seqüência infinita de números é uma função cujo domı́nio é
o conjunto dos inteiros maiores ou iguais a algum inteiro n0.
Domı́nio: 1
↓
Imagem: 2
Notação: a1
2
↓
4
a2
3 ··· n ···
↓
↓
8 · · · 2n · · ·
a3 · · · an · · ·
Notação:
an : Z → R
n → an = a(n)
Em geral, escrevemos: {an} ou (an) ou simplesmente an.
Exemplos Gráficos:
Exercı́cios
(1) Ache uma fórmula para o termo geral an da seqüência:
3
4 5
6
7
,− ,
,−
,
, ···
5
25 125
625 3125
(2) A seqüência de Fibonacci {fn} é definida recursivamente pelas
condições:
f1 = 1,
f2 = 1,
fn = fn−1 + fn−2,
Escreva os 8 (oito) primeiros termos desta seqüência.
n≥3
Convergência ou Divergência
Definição: A seqüência {an} converge para um número L se para todo
número positivo existe um inteiro N tal que para todo n
n > N ⇒ |an − L| < .
Se esse número L não existe, dizemos que {an} diverge.
Se {an} converge para L, escremos:
lim an = L
n→∞
ou
an → L quando n → ∞,
e chamamos L de limite da seqüência.
Exemplo (3) Mostre que:
1
=0
n→∞ n
lim
Convergência ou Divergência: Graficamente
Propriedades dos Limites de Seqüências
Teorema 1 Sejam:
{an}, {bn}: seqüências de números reais;
A e B: números reais.
Se lim an = A e lim bn = B então:
n→∞
n→∞
1. Soma: lim (an + bn) = A + B
n→∞
2. Diferença: lim (an − bn) = A − B
n→∞
3. Produto: lim (an · bn) = A · B
n→∞
4. Multiplicação por constante: lim (k · bn) = k · B
n→∞
an
A
5. Quociente: lim
= , se B 6= 0
n→∞
bn
B
Exemplo (4) Calcule:
n
n→∞ n + 1
lim
Propriedades dos Limites de Seqüências (2)
1
Observação: Seja {can} convergente para algum c 6= 0. Tomando k = , na
c
regra de multiplicação por constante:
1
· can = {an}
c
converge. Se {an} divergir, então {can} diverge.
Teorema 2: (Teorema do Confronto para Seqüências)
{an}, {bn}, {cn}: seqüências de números reais.
Se an ≤ bn ≤ cn verifica ∀n > N e se lim an = lim cn = L, então
n→∞
n→∞
lim bn = L.
n→∞
n!
Exemplo (5): Discuta a convergência da seqüência an = n , onde n! = 1 · 2 ·
n
3 · ··· · n
Funções Contı́nuas para Seqüências
Teorema 3: Seja {an} uma seqüência de números reais.
Se an → L e se f (x) for uma função contı́nua em L e definida ∀an, então:
f (an) → f (L)
Exemplo (6): Verifique que an =
1
= 0, quando n → ∞, para r > 0.
nr
Teorema 4: (Regra de l’Hôpital)
Suponhamos f (x) uma função definida ∀n ≥ n0 e que {an} seja uma
seqüência de números reais tal que an = f (n) para n ≥ n0. Então:
lim f (x) = L
x→∞
⇒
ln n
= 0.
n→∞ n
Exemplo (7): Mostre que lim
lim an = L.
n→∞
Funções Contı́nuas para Seqüências (2)
Observação: Podemos resolver os limites usando a Regra de l’Hôpital (quando
possı́vel) tratando a variável n como sendo uma variável real contı́nua e
derivável.
2n
Exemplo (8): Calcule lim
.
n→∞ 5n
Exercı́cios Propostos: George B. Thomas – Volume 2
Páginas 11 à 13;
Exercı́cios: 1 à 74.