Consequência da Convergência Dominada: A Regra de Leibniz 1

ISSN 2317-3300
Consequência da Convergência Dominada: A Regra de Leibniz
Flavio Lima de Souza∗,
Luis Antônio F. de Oliveira,
Universidade Estadual Paulista - “Júlio de Mesquita Filho”
Depto de Matemática, FEIS, UNESP,
15385-000, Ilha Solteira, SP
E-mail: [email protected], flavio90 [email protected].
Palavras-chave: Análise e Aplicações, Integral de Lebesgue, Integral dependente de um parâmetro,
Regra de Leibniz, Teorema da Convergência Dominada.
Resumo: Nosso interesse neste trabalho é apresentar um estudo sobre a regra de Leibniz aplicada na Teoria de Integração de Lebesgue, isto é, apresentar esta importante regra como um consequência do Teorema da Convergência Dominada para integrais que dependem de um parâmetro
real.
1
Introdução
Frequentemente, é preciso considerar na Integral de Lebesgue integrais onde o integrando depende de um parâmetro real. Vamos mostrar neste trabalho uma consequência do Teorema
da Convergência Dominada que podem ser usada neste contexto, que é a Regra de Leibniz.
Esta regra, em “termos grosseiros”, estabelece que a derivada de uma função definida por uma
integral é a integral da derivada.
2
Fundamentação Teórica
Consideremos L = L(X, A, µ) o espaço de funções f : A → R tais que f ∈ M + (X, A), onde X
é um conjunto, A é uma σ-álgebra do subconjunto X e µ uma medida.
Teorema: 2.1 Teorema da Convergência Dominada: Seja (fn ) uma sequência em L, e
seja g ∈ L tal que |fn (x)| ≤ g(x) q.s, e para todo n ∈ N . Se f ∈ M (X, A) e fn (x) → f (x) q.s,
então:
Z
Z
f dµ = lim
n→∞
fn dµ.
Uma das consequências do Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, é conhecida
como Regra de Leibniz, que é apresentada a seguir:
Corolário 2.2 Suponha que para algum t0 ∈ [a, b], a função x → f (x, t0 ) é integrável em
∂
X. Existe a derivada ∂t
f (x, t) q.s. definida em X × [a, b] e uma função integrável g ∈ X
independente de t, tal que
∂f
∂t (x, t) ≤ g(x).
Então a função F (t) =
R
f (x, t)dx é diferenciável em [a, b] e
d
d
F (t) =
dt
dt
∗
Z
Z
f (x, t)dµ(x) =
Bolsista de Iniciação Cientı́fica - FAPESP
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∂
f (x, t)dµ(x).
∂t
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PROVA. Seja t ∈ [a, b]. Se (tn ) ∈ [a, b] é uma sequência convergindo para t, com tn 6= t, então:
f (x, tn ) − f (x, t)
∂
f (x, t) = lim
, x ∈ X.
t→t
∂t
tn − t
n
Note que a função x →
∂
∂t f (x, t)
é mensurável.
Pelo Teorema do Valor Médio, existe ξ ∈ ]t0 , t[ tal que:
∂
f (x, t) − f (x, t0 )
∂
f (x, ξ) =
⇒ (t − t0 ) f (x, ξ) = f (x, t) − f (x, t0 ).
∂t
t − t0
∂t
Logo, temos:
|f (x, t)| = (t − t0 )
∂
∂
f (x, ξ) + f (x, t0 ) ≤ (t − t0 ) f (x, ξ) +|f (x, t)| ≤ |f (x, t0 )| + (t − t0 )g(x).
∂t
∂t
|
{z
≤g(x)
}
Portanto
|f (x, t)| ≤ |f (x, t0 )| + (t − t0 )g(x).
Logo, f (x, t) é integrável para t ∈ [a, b], pois f (x, t0 ) e g(x) são funções integráveis. Como,
∂
∂
f (x, t) = lim
f (x, tn ),
tn →t ∂t
∂t
para cada x ∈ X e por hipótese, temos que
∂
f (x, t) ≤ g(x),
∂t
sendo g integrável. Assim:
Z
∂
f (x, tn )dµ(x) = lim
tn →t ∂t
tn →t
lim
Z
∂
f (x, tn )dµ(x).
∂t
Finalmente, para tn 6= t,
"Z
d
F (tn ) − F (t)
1
F (x, t) = lim
=
tn →t
dt
tn − t
tn − t
Z
= lim
b
tn −t a
[f (x, tn ) − f (x, t)]
=
dµ(x) |{z}
tn − t
T.C.D.
Z
b
b
f (x, tn )dµ(x) −
a
a
d
F (x, t) =
dt
0
F (x, t)dµ(x) =
a
[f (x, tn ) − f (x, t)]
dµ(x) =
tn −t
tn − t
Z
b
a
∂
f (x, t)dµ(x).
∂t
Exemplo 2.3 Usando a regra de Leibniz, mostraremos que:
∞
#
b
Z
b
lim
Portanto:
Z
Z
e−x − e−xt
dx = log t, t > 0.
x
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a
∂
f (x, t)dµ(x).
∂t
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−x
−xt
SOLUÇÃO. Consideremos a função f (x, t) = e −e
definida para x > 0, t > 0. Temos
x
que f é uma função contı́nua não-negativa, portanto f é integrável. Vamos mostrar que ∂f
∂t é
dominada por uma função integrável g.
Para x ∈]0, 1], note que f (x, t) =
que:
e−x −e−xt
x
−x −e−xt
≤ |e
x
| = |f (x, t)|. Já para x ∈]1, ∞[, temos
e−x − e−xt
≤ e−x − e−xt .
x
f (x, t) =
Portanto, se considerarmos a função g : [0, ∞[→ R definida por:
(
|f (x, t)|, se 0 < x ≤ 1; t > 0
− e−xt ,
se x > 1; t > 0.
g(x) =
e−x
então, temos que |f (x, t)| ≤ g(x, t). Além disso, g é integrável para cada t > 0, pois é contı́nua.
Logo, a função dada pela integral:
F (t) =
Além disso, existe a derivada
a > 0 tal que t > a. Então,
e−x −e−xt
x
R∞
0
∂
∂t f (x, t)
está bem definida.
∂
f (x, t)| ≤ g(x, t). Assim, dado t > 0, seja
= e−xt , e | ∂t
0 ≤ e−xt ≤ e−xa ;
x ≥ 0; t > a > 0.
Aplicando a regra de Leibniz (corolário 2.2) e por primitivação, obtemos:
d
F (t) =
dt
Z
∂
f (x, t)dx =
∂t
∞
Z
e−xt dx = lim
Z
s→∞ 0
0
s
e−xt dx.
Por substituição, temos u = −xt ⇒ dx = − du
t . Assim,
d
F (t) = lim
s→∞
dt
Z
0
s
1
e−xt dx = lim −
s→∞
t
Z
s
0
"
#
"
#
e−st 1
1
e−xt s
eu du = lim −
+
= .
= lim −
s→∞
s→∞
0
t
t
t
t
Logo, F (t) = log t + c, onde c ∈ R. Sendo F (1) = 0, concluı́mos que:
Z
F (t) =
0
3
∞
e−x − e−xt
dx = log t.
x
Conclusão
A Regra de Leibniz é um importante resultado da Teoria de Lebesgue, pois introduz o conceito
de derivação em funções integráveis que dependem de um parâmetro real. Nosso interesse no
decorrer do projeto, é de aplicar esses resultados envolvendo a integral de Lebesgue na construção
de espaços funcionais como o espaço Lp .
Referências
[1] R. A. BARTLE, The Elements of integration and Lebesgue Measure, Wiley Classics Library
Edition, New York: Wilwy (1995), p 179.
[2] G. PIRES, Integrabilidade, Instituto Superior Técnico. Depto de Matemática. Seção de
Álgebra e Álgebra, p 12.
[3] H. L. ROYDEN, Real Analysis, 3a edição, Pientice - Hall, Inc. 468 (1988) 97-117.
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