RACIOCÍNIO LÓGICO

RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Pacher
LÓGICA
Raciocínio Lógico
PROPOSICIONAL
1. PROPOSIÇÃO
CONCEITO DE PROPOSIÇÃO
Uma proposição é toda a oração que pode ser classificada como verdadeira ou falsa, não ambas.
Por exemplo:
• 2 é um número primo.
Resposta: É uma proposição verdadeira
• Bueno Aires é a capital do Brasil.
Resposta: É uma proposição falsa.
1.1. LEIS DO PENSAMENTO
Na estrutura correta do pensamento, é necessário obedecer as seguintes leis:
I) Princípio da identidade. Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é verdadeira.
II) Princípio da não-contradição. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa.
III) Princípio do terceiro excluído. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.
1.2. CARACTERÍSTICA DE UMA PROPOSIÇÃO
I)
É uma oração, com sujeito e predicado.
Todos gostam de matemática.
2+3=5
Os gansos são brancos.
II)
O quadrado tem duas diagonais.
Hoje é sábado.
Psiu!
Não são proposições, as orações, Que preguiça!
exclamativas,
interrogativas
e Quanto falta para as onze horas?
Eu vou só se…
III) imperativas.
Desça.
Independência ou morte!
Tem uma e somente um dos valores
IV) lógicos, ou é verdadeira (V), ou é falsa
(F), não ambas
É uma oração declarativa.
TESTES RESOLVIDOS
01. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.
“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
A expressão X + Y é positiva.
O valor de 4 +3=7.
Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
O que é isto?
RESOLUÇÃO
> “A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos o conteúdo da frase. Não é uma proposição.
> A expressão X + Y é positiva.
É uma sentença aberta. Nada podemos afirmar, não conhecemos os valores de X e de Y. Não é uma
proposição.
> O valor de 4 +3=7.
É uma proposição. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa.
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Raciocínio Lógico
> Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
É uma proposição. Pode ser julgada em verdadeira ou falsa.
> O que é isto?
Numa interrogação não é possível julgar como verdadeira ou falsa. Não é uma proposição.
Há somente duas proposições.
Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA
02. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em
comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS
Vamos agora analisar as orações apresentadas no enunciado.
I) Que belo dia!
É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
II) Um excelente livro de lógica.
É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
III) O jogo terminou empatado?
É uma sentença que não podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
IV) Existe vida em outros planetas do universo.
É uma sentença que podemos atribuir qualquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
V) Escreva uma poesia.
É uma sentença que não podemos atribuir quaisquer um dos valores lógicos “V” ou “F”.
Resposta: alternativa D
EXERCÍCIOS E TESTES
01. (FCC-ICMS-SP) Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em
comum, enquanto uma delas não tem essa característica.
I. Que belo dia!
II. Um excelente livro de raciocínio lógico.
III. O jogo terminou empatado?
IV. Existe vida em outros planetas do universo.
V. Escreva uma poesia.
A frase que não possui essa característica comum é a
a) I.
b) II.
c) III.
d) IV.
e) V.
02. (CESPE-BB) Na lista de frases apresentadas a seguir, há exatamente três proposições.
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“A frase dentro destas aspas é uma mentira.”
A expressão X + Y é positiva.
O valor de 4 +3=7.
Pelé marcou dez gols para a seleção brasileira.
O que é isto?
03. (CESPE-BB) Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças:
(I) O BB foi criado em 1980.
(II) Faça seu trabalho corretamente.
(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.
04. Sobre Lógica Proporcional, é necessário que definamos o que é preposição. Uma preposição é um
enunciado verbal, susceptível de ser verdadeiro ou falso. Assim, temos como exemplos de preposições:
I. A Terra é azul
II. Manaus é a capital do Amazonas
III. Graciliano Ramos escreveu "Memórias do Cárcere"
IV. Zero é um número par
V. Ana é Arquiteta ou filósofa
Dos itens acima, podemos afirmar que:
a) Todos são proposições.
b) Somente I e II, são proposições.
c) Somente I, II e III, são proposições.
d) Somente I, II, III e IV, são proposições.
e) Nenhum dos itens é proposição.
05. (FCC-ICMS-SP) Considere as seguintes frases:
I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.
x+y
II.
é um número inteiro.
5
III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.
É verdade que APENAS
a)) I e II são sentenças abertas.
b) I e III são sentenças abertas.
c) II e III são sentenças abertas.
d) I é uma sentença aberta.
e) II é uma sentença aberta.
06. (CESPE) A sequência de frases a seguir contém exatamente duas proposições.
-A sede do TRT/ES localiza-se no município de Cariacica.
- Por que existem juízes substitutos?
- Ele é um advogado talentoso.
De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir.
07. (CESPE/2008 – SGA/AC) A frase “Você sabe que horas são?” é uma proposição.
08. (CESPE/2008 – SGA/AC) A frase “Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul”, não
é considerada uma proposição composta.
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GABARITO
D
01
Errada
02
Correta
03
A
04
A
05
E
06
E
07
E
08
2. AFIRMAÇÃO E NEGAÇÃO NOS CONJUNTOS DOS NÚMEROS REAIS
Sejam: x , y ∈ R
Afirmação
Negação
vice – versa
Negação
Afirmação
1
2
3
4
5
x
x
x
x
x
=
>
≥
<
≤
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
≠
≤
<
≥
>
y
y
y
y
y
Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x < 3 (parte do intervalo I ), será negada por: ∼ p: x ≥ 3 ( parte do
intervalo II ).
A afirmação é o complemento da negação e, vice versa.
Intervalo I
Intervalo II
x<3
x≥3
x é um
número real
3
Por exemplo: Da figura a seguir, Temos: p: x ≤ 3 (parte do intervalo I ), será negada por: ∼ p: x > 3 (parte do
intervalo II ).
A afirmação é o complemento da negação e, vice versa.
Intervalo I
Intervalo II
x≤3
x >3
3
x é um
número real
EXERCÍCIOS E
TESTES
Negue as proposições abaixo:
01. p: 7 ≠ 3
02. p: 2 é um número primo.
03. p: A lua é um satélite da terra.
Negue as proposições, representando-as simbolicamente:
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04. p: Pedro não foi à festa.
05. q: Não é fato que as baleias sejam peixes.
06. r: Não se dá que haja prisioneiros.
07. s: Não é verdade que 2+2=5
Negar as afirmações:
08. x ≥ 3 .
09. x ≠ 5
10. x < 0
11. x − 3 ≠ 7
GABARITO
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
~p: 7 = 3
~p: 2 não é primo.
~p: A lua não é um satélite da
terra.
~p
~q
~r
~s
x<3
x=5
x ≥ 0
x-3 = 7
3. NÚMERO DE LINHA DE UMA TABELA – VERDADE
O número de linhas de uma tabela verdade é calculado pela potência 2n, onde a base 2 é uma constante que
indica os dois valores lógicos verdadeiro (V) e falso (F) e, o expoente n é igual ao número de proposições
simples que estão envolvidas no caso em análise.
Segue a seqüência, passo a passo, para a construção de uma tabela verdade organizada.
I) Organize as letras que identificam as proposições simples na ordem crescente do alfabeto, p.ex., em p, q, r,
s, ..., a distribuição ficará assim: na 1ª coluna p, na 2ª coluna q, na 3ª coluna r, na 4ª coluna s, e assim por
diante.Se a identificação das proposições é feita por p1, p2, p3, ...e pn, a distribuição obedecerá à ordem
crescente do índice, assim: 1ª coluna para p1, 2ª coluna para p2, 3ª coluna para p3, ..., n-ésina coluna para pn.
II)
Cada coluna será preenchida primeiro por agrupamentos de valores lógicos “V” e em seguida por
agrupamento de valores lógicos “F”, e assim por diante alternadamente até preenche totalmente a coluna. O
número de valores lógicos para cada agrupamento, é obtido pela potência 2n-c, onde n é o número de
proposições simples usadas e c é igual ao número que expressa a ordem da coluna. Veja exemplos nos itens
que seguem.
A distribuição dos valores lógicos verdadeiro (V) e falso (F), nas linhas de uma tabela verdade, obedece certa
ordem que facilita a montagem, fica organizada e possibilita boa comunicação.
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2.1. SE FOR UMA PROPOSIÇÃO SIMPLES “p”
I) Cálculo do número de linhas. “p” é uma proposição simples, logo, n = 1, substituindo em 2n, a tabela terá 21 =
2 linhas.
II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em
2 n-c, teremos nesta coluna, 2 1-1 = 2 0 = 1 valor lógico por agrupamento [V] e [F], distribuídos na coluna um,
alternadamente.
p
V
F
2.2. SE FOR DUAS PROPOSIÇÕES SIMPLES “p” e “q”
I) Cálculo do número de linhas. “p” e “q” são duas proposições simples, logo, n = 2. Substituindo em 2n, a
tabela terá 22 = 4 linhas.
II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c = 1, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 22-1 = 21 =2 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribuídos na coluna um,
alternadamente.
III) Cálculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna dois, c = 2, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 22-2 = 20 =1 valor lógico em cada agrupamento [V] e [F], distribuídos alternadamente na coluna dois.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
2.3. SE FOR TRÊS PROPOSIÇÕES SIMPLES “p”, “q” e “r”
I) Cálculo do número de linhas. “p” , “q” e “r” são três proposições simples, logo, n=3. Substituindo em 2n, a
tabela terá 23 = 8 linhas.
II) Cálculo do agrupamento para a primeira coluna. Coluna um, c=1, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 23-1 = 22 =4 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VVVV] e [FFFF], distribuídos
alternadamente na coluna um.
III) Cálculo do agrupamento para a segunda coluna. Coluna um, c=2, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 23-2 = 21 = 2 valores lógicos de mesma natureza por agrupamento [VV] e [FF], distribuídos
alternadamente na coluna dois.
IV) Cálculo do agrupamento para a terceira coluna. Coluna dois, c = 3, substituindo em 2n-c, teremos nesta
coluna, 23-3 = 20 = 1, valor lógico em cada agrupamento [V] e [F] são distribuídos alternadamente na coluna três.
p
V
V
V
V
F
F
F
F
6
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
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A tabela que segue mostra o cálculo para determinação do número de linhas, com até 4 proposições simples:
Proposições.
01.
02.
03.
04.
Número n de
proposições simples.
Número de linhas de
linhas da tabela, 2n.
n
1
2
3
4
2n
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
24 =16
P
p, q
p, q, r
p, q, r, s
3. NEGAÇÃO ( ∼ ) ou ( ¬)
Toda a proposição declarativa pode ser negada. O símbolo de negação é “ ∼” ou “ ¬ ”.
3.1. SIMBOLICAMENTE
A negação de p é representada por ∼ p; ( lê-se: não p).
3.2. TABELA
p
V
F
∼p
F
V
3.3. E MAIS
Se p é uma proposição declarativa, então, podemos ter:
I)
p é verdadeira (V), somente se, ∼ p é falsa (F).
II) p é falsa (F), somente se, ∼p é verdadeira (V).
III) Dupla negação: p = ∼ ∼p. (lê-se: não, não p)
3.4. RESUMINDO
A proposição ∼ p tem sempre o valor lógico oposto de p.
3.5. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
Por exemplo: p: Bueno Aires é a capital do Brasil., será negada por: Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil.:
∼p
N.B.: Se p é uma proposição verdadeira, ∼ p será uma proposição falsa, e vice-versa.
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Por exemplo: ∼ p: Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil, a negação, será negada por: NÃO é verdade que,
Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil: ∼ ( ∼ p). Temos que, ∼ (∼ p) = p, logo, dizer que, NÃO é verdade que,
Bueno Aires NÃO é a capital do Brasil.: ∼ (∼ p), é o mesmo que dizer: p: Bueno Aires é a capital do Brasil.
3.6. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
NEGAÇÃO DE p
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
Não p
Não se dá que p
∼p
Não é fato que p
ou
Não é verdade que p
¬p
Não se tem p
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4. CONJUNÇÃO
Raciocínio Lógico
“p Λ q”
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo “e” formando uma proposição
composta. A esta operação chamaremos de conjunção.
4.1. SIMBOLICAMENTE
A conjunção de p e q é representada por: p Λ q ou p • q; (lê-se: p e q).
4.2. TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pΛq
V
F
F
F
4.3. RESUMINDO
A conjunção p Λ q é verdadeiro se p e q são ambas verdadeiras
4.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos: 2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
2 é um número primo e Bueno Aires é a capital do Brasil. : p ∧ q ( p e q são chamados conjuntivos)
4.4. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
CONJUNÇÃO entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
peq
p ∧ q
ou
p mas q
p•q
p assim como q
p e também q
5. DISJUNÇÃO “p ν q” (INCLUSIVA OU NÃO EXCLUSIVA) ou simplesmente
DISJUNÇÃO
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo “ou” com o sentido de e/ou, formando
uma proposição composta. A esta operação chamaremos de disjunção.
5.1. SIMBOLICAMENTE
A disjunção é representada por p ν q (lê-se: p ou q).
5.2. TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pνq
V
V
V
F
5.3. RESUMINDO
A disjunção é verdadeira se pelo menos uma das proposições p ou q for verdadeira.
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5.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos:
2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
2 é um número primo ou Bueno Aires é a capital do Brasil: p ∨ q ( p e q são chamados disjuntos)
5.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
DISJUNÇÃO INCLUSIVA entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
p ou q
p ∨ q
6. DISJUNÇÃO EXCLUSIVA “p ν q”
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo conectivo “ou” com o sentido de “ou, mas não
ambos”, formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de disjunção exclusiva.
6.1. SIMBOLICAMENTE
A disjunção exclusiva é representada por p ν q (lê-se: ou p ou q, mas não ambos).
6.2.E MAIS
“p ν q” é uma disjunção excludente. Pode ser representada pela conjunção e disjunção inclusiva, assim: (p ν q)
∧ ∼(p ∧ q).
6.3. TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
pνq
F
V
V
F
6.4. RESUMINDO
A disjunção exclusiva é verdadeira se, somente se, uma das proposições p ou q
for verdadeira, mas não ambas.
6.5. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos:
2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
Ou 2 é um número primo, ou Bueno Aires é a capital do Brasil: p ∨ q ( p e q são chamados disjuntivos)
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6.6. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
DISJUNÇÃO EXCLUSIVA entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
p ou q, exclusivo
p ou q, mas não ambos
p ∨ q
ou p ou q
TESTE RESOLVIDO
12. (CESPE-BB) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é
verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
RESOLUÇÃO
“Existem números que são divisíveis por 2 e por 3”
p
2
2
V
V
F
F
q
3
3
V
F
V
F
p ∧ q
2e3
2 ∧ 3
V
F
F
F
No conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}, não há valor algum que seja divisível por 2 e 3, logo pelo seu mmc(2, 3) = 6.
Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA
EXERCÍCIOS E
TESTES
01. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼p ∨ ∼q ) ∧ ( p ∧ q ).
12. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼p ∨ ( p ∧ q ) .
03. Construa a tabela-verdade para a proposição: p ∨ (p ∧ q).
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04. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼ p∨ ∼q ) ∨ ( p ∧ q )
05.Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p ∨ ∼q ) ∨ ( p ∧ ∼ q )
06. Construa a tabela-verdade para a proposição: q ∧ ∼ q.
07. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼ p ∨ ∼ q )
08. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p ∨ r ) ∧ ( q ∧ r ).
09. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das seguintes proposições compostas:
a) 3 > 1 e 4 > 2
b) 3 > 1 ou 3 = 1
10. (CESPE-BB) A proposição funcional “Existem números que são divisíveis por 2 e por 3” é
verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}.
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11. (UFRJ-ANA) Considere a tabela-verdade abaixo, onde as colunas representam os valores lógicos
para as fórmulas A, B e A ∨ B, sendo que o símbolo ∨ denota o conector ou, V denota verdadeira e F
denota falsa.
A
V
V
F
F
B
V
F
V
F
A∨B
Os valores lógicos que completam a última coluna da tabela, de cima para baixo, são:
a) V, F, V, V;
b) V, F, F, V;
c) F, V, F, V;
d) V, V, V, F;
e) F, F, V, V.
Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não como
ambas. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, como, por exemplo, P,
Q, R etc. Se a conexão de duas proposições é feita pela preposição “e”, simbolizada usualmente por ∧ , então
obtém-se a forma P ∧ Q, lida como “P e Q” e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrário, é F. Se a
conexão for feita pela preposição “ou”, simbolizada usualmente por ∨ , então obtém-se a forma P ∨ Q, lida
como “P ou Q” e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrário, é V. A negação de uma proposição é
simbolizada por ¬P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. Um argumento é uma seqüência de
proposições P1, P2, ..., Pn, chamadas premissas, e uma proposição Q, chamada conclusão. Um argumento é
válido, se Q é V sempre que P1, P2, ..., Pn forem V, caso contrário, não é argumento válido. A partir desses
conceitos, julgue os próximos itens.
12. (CESPE-BB) A proposição simbólica (P ∧ Q) ∨ R possui, no máximo, 4 avaliações V.
13. (CESPE) Considere que A seja a proposição “As palavras têm vida” e B seja a proposição “Vestem-se de
significados”, e que sejam consideradas verdadeiras. Nesse caso, a proposição
A ∧ (¬B) é F.
Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada
verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor
lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, “Paulo é engenheiro”. As
proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. Ligando duas ou mais proposições
simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos
operacionais, podem-se citar: “e”, representado por v; “ou”, representado por w; “se, ..., então”, representado
por ÷; e “não”, representado por ¬. A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B,
pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando
possuem a mesma tabela-verdade. A seguir, são apresentadas as tabelas-verdade de algumas proposições.
Com base nessas informações, julgue os itens .
14. (CESPE) O número de linhas da tabela-verdade de uma proposição composta (A∧B) v C é igual a 6.
Toda afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa é denominada proposição.
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Considere que A e B representem proposições básicas e que as expressões AVB e ¬A sejam proposições
compostas. A proposição AVB é F quando A e B são F, caso contrário, é V, e ¬A é F quando A é V, e é V
quando A é F.
De acordo com essas definições, julgue os itens a seguir.
15. (CESPE) Se a proposição A for F e a proposição (¬A) v B for V, então, obrigatoriamente, a proposição B é
V.
16. (CESPE) Independentemente da valoração V ou F atribuída às proposições A e B, é correto concluir que a
proposição ¬(A v B) v (A v B) é sempre V.
Uma proposição simples é representada, freqüentemente, por letras maiúsculas do alfabeto. Se A e B são
proposições simples, então a expressão A V B representa uma proposição composta, lida como “A ou B”, e que
tem valor lógico F quando A e B são ambos F e, nos demais casos, é V. A expressão ¬A representa uma
proposição composta, lida como “não A”, e tem valor lógico V quando A é F, e tem valor lógico F quando A é V.
Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes.
17. (CESPE) Considere que a proposição composta “Alice não mora aqui ou o pecado mora ao lado” e a
proposição simples “Alice mora aqui” sejam ambas verdadeiras. Nesse caso, a proposição simples “O pecado
mora ao lado” é verdadeira.
18. (CESPE) Uma proposição da forma (¬A) v (B v ¬C) tem, no máximo, 6 possíveis valores lógicos V ou F.
19. (CESPE) Considere que uma proposição Q seja composta apenas das proposições simples A e B e cujos
valores lógicos V ocorram somente nos casos apresentados na tabela abaixo.
Nessa situação, uma forma simbólica correta para Q é [A ∧ (¬B)] v [(¬A) ∧ (¬B)].
GABARITO
FFFF
01
VFVV
02
VVFF
03
VVVV
04
VVFV
05
FF
06
FVVV
07
VFFFVFFF
08
a) V
b) V
09
E
10
D
11
E
12
C
13
E
14
E
15
C
16
C
17
E
18
C
19
13
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Raciocínio Lógico
7. CONDICIONAL “p → q” OU “p ⊃ q”
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinadas pelo operador “se. . . , então. . .” formando uma
proposição composta. A esta operação chamaremos de condicional.
7.1. SIMBOLICAMENTE
O condicional entre p e q é representada por: p → q ou p ⊃ q , (lê-se: se p, então q).
7.2. TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
7.3. RESUMINDO
O condicional p → q é falso sempre que ocorre V F nesta ordem; ou seja
valor p = V e depois valor q = F.
7.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos:
2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
2 é um número primo, então Bueno Aires é a capital do Brasil. : p → q ( p é o antecedente e q o conseqüente)
7.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
IMPLICAÇÃO entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
se p, então q
p implica q
p só se q
p → q
p somente se q
p é condição suficiente para q
q é condição necessária para p
uma condição necessária para p é q
uma condição suficiente para q é p
7.5.1. ATENÇÃO PARA AS CONDICIONAIS
CONDICIONAL “ Se....., então.......”
ou “ → “ ou “
⊃”
Do dicionário: Suficiente – que satisfaz; que é bastante.
Do dicionário: Necessário – indispensável; inevitável; que é de absoluta necessidade.
EMPREGO CORRETO DO “NECESSÁRIO” E “SUFICIENTE”
14
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Raciocínio Lógico
[
EXEMPLO
01. Considerando a correspondência.
p: faz frio
q: chove
Todas as formas abaixo estão corretas
Se p: faz frio, então q: chove
Uma condição necessária para que p:faça frio é que q:chova.
Uma condição suficiente para que q:chova é que p:faça frio.
p:Fazer frio é condição suficiente para que q:chova.
q:Chover é condição necessária para que p:faça frio.
8. BICONDICIONAL “p ↔ q”
Duas proposições quaisquer p e q, podem ser combinados pela bi-implicação ou implicação recíproca
“ . . . se e somente se . . .” formando uma proposição composta. A esta operação chamaremos de
BICONDICIONAL.
8.1. SIMBOLICAMENTE
A bicondicional entre p e q e representado por p ↔ q (lê-se: p se e somente se q).
8.2 TABELA
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p ↔q
V
F
F
V
8.3. RESUMINDO
A bicondicional p ↔ q é verdadeiro sempre que; valor p = valor q = V ou
valor p = valor q = F
8.4.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL
• VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas
atômicas) .
15
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Raciocínio Lógico
• SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) ou [ ] , parênteses ou colchetes que servem para estabelecer ordem de
prioridades para os operadores lógicos.
Exemplos:
2 é um número primo: p
Bueno Aires é a capital do Brasil: q
2 é um número primo se e somente se a neve é branca. : p ↔ q
8.5. VARIAÇÕES NO ESTILO DE LINGUAGEM
BICONDICIONAL entre “p” e “q”
Algumas expressões usuais na linguagem corrente
p se e somente se q
p ↔ q
p se e só se q
p é equivalente a q
p é condição necessária e suficiente para q
p é condição suficiente para q e q é condição
necessária para p
TESTES RESOLVIDOS
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
01. (CESPE) Uma expressão da forma
¬ (A ∧ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.
RESOLUÇÃO
I) Formação da tabela verdade
L1
L2
L3
L4
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬ (A ∧ ¬ B )
V
F
V
V
A → B.
V
F
V
V
Observe linha a linha que ambas tem os mesmos valores lógicos.
II) Afirmativa da CESPE
> “... ¬ (A ∧ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A
→ B.”
Afirmativa Correta
02. (CESPE) A proposição simbolizada por (A → B ) → (B → A ) possui uma única valoração F.
RESOLUÇÃO
I) Formação da tabela verdade
L1
16
p
V
q
V
(A → B ) → (B → A )
V
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L2
L3
L4
V
F
F
F
V
F
Raciocínio Lógico
V
F
V
Existe somente uma avaliação falsa “F” na linha L3.
II) Afirmativa da CESPE
> “...possui uma única valoração F.”
Afirmativa Correta
03. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então
pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.
RESOLUÇÃO
I) Legenda
p: Sílvia ama Joaquim
q: Sílvia ama Tadeu
II) Formação da tabela verdade
L1
L2
L3
L4
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p v q
V
V
F
V
Do enunciado ““Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira”
A proposição “p v q” é verdadeira nas linhas L1, L2 e L4.
Na linha L2 p = V e q = F, contrariando a afirmativa
III) Afirmativa da CESPE
> “...pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira”
Afirmativa Errada
04. (FCC-ICMS-SP) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa
proposição, o conectivo lógico é
a) disjunção inclusiva.
b)conjunção.
c) disjunção exclusiva.
d) condicional.
e) bicondicional.
RESOLUÇÃO
Paula estuda ,
Paula estuda ,
Paula estuda ,
mas
e
∧
não passa no concurso.
não passa no concurso.
não passa no concurso.
O conectivo usado é da conjunção.
Resposta: Alternativa B.
05. Traduza para a linguagem natural as fórmulas
abaixo, utilizando o seguinte legenda:
• P: o livro é interessante.
• Q: O livro é caro.
• R : O livro é de lógica.
17
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a) ~P
b) P ∧ Q
c) P ∧ ~Q
d) ~P ∧ Q
e) ~(P ∧ Q)
Respostas: Tradução
a) ~P = o livro não é interessante.
b) P ^ Q = o livro é interessante e caro.
c) P ^ ~Q = o livro é interessante e não é caro
d) ~P ^ Q = o livro não é interessante e é caro
e) ~( P ^ Q ) = o livro não é interessante nem caro
RESUMO DE TODAS AS TABELAS
Resumo de todas as tabelas com duas proposições simples.
EXERCÍCIOS E
TESTES
01. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼q → p.
02. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼p → ∼q.
03. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼p ↔ q .
18
Raciocínio Lógico
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Raciocínio Lógico
04. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼p ∨ ∼q ) ↔ ( p ∧ q ).
05. Construa a tabela-verdade para a proposição: [ p → (q ∧ r) ] → ( p →r ).
06. Construa a tabela-verdade para a proposição: ∼ ( p → q ) → ( p ∧ q ) .
[
07. Construa a tabela-verdade para a proposição: [ p ∨ (p ∧ q) ] ↔ p
08. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼ p → ∼q ) ∨ ( p → q )
19
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Raciocínio Lógico
09. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( p ∨ ∼q ) ∨ ( p → ∼ q )
10. Construa a tabela-verdade para a proposição: p → [ p → ( q ∧ ∼ q )]
11. Construa a tabela-verdade para a proposição: ( ∼ p ∨ ∼ q ) ↔ ( p ∧ q )
12. Construa a tabela-verdade para a proposição:
(p→q)→[(p∨r)↔(q∧r)]
13. Considerando a correspondência.
p: faz frio
q: chove
Traduzir da linguagem simbólica para a linguagem corrente.
a) q → p
b) p → ∼ q
c) p ↔ q
d) p ∨ q
e) p ∧ q
14. Considerando a correspondência.
p: faz frio
q: chove
Traduzir da linguagem corrente para a linguagem simbólica.
a) Se chove, então faz frio.
20
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Raciocínio Lógico
15. Simbolize:
a) Se Pedro é bom aluno, então ele será aprovado e conseguirá um bom emprego.
b) Pedro é bom aluno se, e somente se for aprovado.
c) Ela esta com febre ou com calor
d) Flávio irá somente se Ana for.
16. Classificar em verdadeira ou falsa cada uma das proposições abaixo.
a) 2 – 1 = 1 → 5 + 7 = 3 . 4
b) 22 = 4 ↔ ( - 2)2 = 4
c) 5 + 7 . 1 = 13 → 3 . 3 = 9
17. É dado o esquema abreviado seguinte:
P - ganho um carro
Q - ganho uma moto
R - posso dirigir
S - estou saudável
T - sou reprovado no exame
Pede-se traduzir as sentenças seguintes:
a) P ∨ Q
b) R → Q
c) S → R
18. Para os próximos exercícios, considerar o esquema:
J – o homem é justo
T – o homem é temperado (moderado)
B – o homem é bom.
M – o homem é mau.
V – o homem é viciado (corrupto)
D – o homem é doentio (mentalmente)
Pode-se traduzir:
a) ∼ B → D
b) J ∨ T
19. Determinar o valor-verdade de cada qual dos seguintes compostos:
a) 2 + 2 = 5 e 3 + 4 = 10
b) O dobro de 3 é 6 ou o triplo de 4 é 10.
c) Se 2 + 2 = 4, então 3 + 3 = 9.
d) Se 3 + 3 = 6, então 5 + 5 = 10
e) 3 + 3 = 6 e o triplo de 5 é 15,
f) 3 + 5 é igual a 12 ou 3 + 5 é diferente de 12.
20. (FCC-ICMS-SP) Considere a proposição “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa
proposição, o conectivo lógico é
a) disjunção inclusiva.
b) conjunção.
c) disjunção exclusiva.
d) condicional.
e) bicondicional.
21. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
21
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Raciocínio Lógico
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é
a) q ∧ p
b) q → p
c) ¬ (p → q)
d) p ↔ q
e) ¬ (p ∨ q)
O enunciado a seguir servirá para responder as próximas duas questões
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
22. (CESPE) Uma expressão da forma
¬ (A ∧ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.
23. (CESPE) A proposição simbolizada por (A → B ) → (B → A ) possui uma única valoração F.
Julgue os próximos itens.
24. (UnB-CESPE) Considere as seguintes proposições.
1.
2.
3.
4.
5.
(7 + 3 = 10) ∧ (5 – 12 = 7)
A palavra “crime” é dissílaba.
Se “lâmpada” é uma palavra trissílaba, então “lâmpada” tem acentuação gráfica.
(8 – 4 = 4) ∧ (10 + 3 = 13)
Se x = 4 então x + 3 < 6.
Entre essas proposições, há exatamente duas com interpretação F.
25. (UnB-CESPE) Todas as interpretações possíveis para a proposição
P ∨ ¬(P ∧ Q) são V.
26. (ESAF-2009) Assinale a opção verdadeira.
a) 3 = 4 ou 3 + 4 = 9
b) Se 3 = 3, então 3 + 4 = 9
c) 3 = 4 e 3 + 4 = 9
d) Se 3 = 4, então 3 + 4 = 9
e) 3 = 3 se e somente se 3 + 4 = 9
27. (CESPE) A proposição “Se as reservas internacionais em moeda forte aumentam, então o país fica
protegido de ataques especulativos” pode também ser corretamente expressa por “O país ficar protegido de
ataques especulativos é condição necessária para que as reservas internacionais aumentem”.
28. (CESPE) Toda proposição simbolizada na forma A → B tem os mesmos valores lógicos que a proposição B
→ A.
29. (CESPE) Atribuindo-se todos os possíveis valores lógicos V ou F às proposições A e B, a proposição
[(¬A) → B] ∧ A terá três valores lógicos F.
Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser
julgada verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa,
atribui-se o valor lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo,
“Paulo é engenheiro”. As proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc.
22
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Raciocínio Lógico
Ligando duas ou mais proposições simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar
proposições compostas. Entre os conectivos operacionais, podem-se citar: “e”, representado por v;
“ou”, representado por w; “se, ..., então”, representado por ÷; e “não”, representado por ¬. A partir dos
valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B, pode-se construir a tabela-verdade de
proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando possuem a mesma tabelaverdade. A seguir, são apresentadas as tabelas-verdade de algumas proposições.
Com base nessas informações, julgue os itens .
30. (CESPE) Considere as seguintes proposições.
A: Maria não é mineira.
B: Paulo é engenheiro.
Nesse caso, a proposição “Maria não é mineira ou Paulo é engenheiro”, que é representada por A v
B, é equivalente à proposição “Se Maria é mineira, então Paulo é engenheiro”, simbolicamente
representada por (¬A)→B.
GABARITO
VVVF
01
VVFV
02
FVVF
03
FFFF
04
VVVVVVVV
05
VFVV
06
VVVV
07
VVVV
08
VVVV
09
FFVV
10
FFFF
11
VFVVVVFV
12
a) Se chove, então faz frio. b) Se faz frio, então não chove. c) Faz
13
frio se e somente se chove.
d) Faz frio ou chove.
e) Faz frio e chove.
14
a) q → p
15
a) B → ( A ∧ E )
b) B ↔ A
c) F ∨ C
d) F → A
a) V
b) V
16
a) Ganho um carro ou uma moto.
b) Se posso dirigir, ganho a moto.
17
c) Se estou saudável, posso dirigir.
a) Se o homem não é bom, é doentio.
b) O homem é justo ou
18
temperado.
a) F
b) V
c) F
d) V
e) V
f) V
19
B
20
C
21
C
22
C
23
E
24
C
25
D
26
C
27
E
28
C
29
C
30
23
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Raciocínio Lógico
9. NEGAÇÕES SUAS RESPECTIVAS EQUIVALÊNCIAS
9.1. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONJUNTIVA ( p ∧ q )
9.2. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO DISJUNTIVA ( p ∨ q )
9.3. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO CONDICIONAL ( p → q )
9.4. NEGAÇÃO DE UMA PROPOSIÇÃO BICONDICIONAL ( p ↔ q )
TESTE RESOLVIDO
01. (UFPR-TCE) A negação da sentença “se você estudou lógica então você acertará esta questão” é:
a) se você não acertar esta questão então você não estudou lógica.
b) você não estudou lógica e acertará esta questão.
c) se você estudou lógica então não acertará esta questão.
d) você estudou lógica e não acertará esta questão.
e) você não estudou lógica e não acertará esta questão.
RESOLUÇÃO
I) Simbolizar a proposição dada.
Se
você estudou lógica
p
então
→
você acertará esta questão
q
II) Pode-se verificar pela tabela verdade. A alternativa que tenha a tabela verdade de valores lógicos contrários
a da proposição do enunciado é a correta.
24
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p
(p → q)
q
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¬ (p → q)
III) Pode-se também, usando a propriedade para a negação de (p → q) que segue.
¬ (p → q)
≡
p ∧ ¬q
≡
você estudou lógica
e não acertará esta questão
Resposta: Alternativa D
EXERCÍCIOS E
TESTES
01. Simplificar as proposições.
a) ∼ ( p ∨ q )
b) ∼ ( p → q )
c) ∼ (∼p ∧ ∼ q )
d) ∼ (∼ p ∧ q )
e) ∼ ( ∼ p ↔ q )
f) ∼ ( ∼ p → ∼ q )
02. (UFPR-TCE) A negação da sentença “se você estudou lógica, então você acertará esta questão” é:
a) se você não acertar esta questão, então você não estudou lógica.
b) você não estudou lógica e acertará esta questão.
c) se você estudou lógica, então não acertará esta questão.
d) você estudou lógica e não acertará esta questão.
e) você não estudou lógica e não acertará esta questão.
03. (ESAF-AFC) Dizer que não é verdade que, Pedro é pobre e Alberto é alto, é logicamente equivalente a
dizer que é verdade que:
a) Pedro não é pobre ou Alberto não é alto.
b) Pedro não é pobre e Alberto não é alto.
c) Pedro é pobre ou Alberto não é alto.
d) se Pedro não é pobre, então Alberto é alto.
e) se Pedro não é pobre, então Alberto não é alto.
04. (ESAF -FISCAL TRABALHO) A negação da afirmação condicional "se estiver chovendo, eu levo o
guarda-chuva" é:
a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva
b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva
c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva
e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva
05. (EPPG) Considere a sentença "Se a dívida interna for contida, então não haverá inflação". A negação
dessa sentença configura-se como:
a) É impossível a dívida interna estar contida e haver inflação.
b) É possível a dívida interna estar contida e haver inflação.
c) É possível a dívida interna não estar contida e haver inflação.
d) É possível a dívida interna não estar contida e não haver inflação.
e) É impossível a dívida interna não estar contida e não haver inflação.
25
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Raciocínio Lógico
06. (MED-ABC) A negação de “ O gato mia e o rato chia” é:
a) O gato não mia e o rato não chia.
b) O gato mia ou o rato chia
c) O gato não mia ou o rato não chia.
d) O gato e o rato não chiam nem miam.
e) O gato chia e o rato mia.
07. (UF-BA) A negação de “ Hoje é segunda-feira e amanhã não choverá” é:
a) Hoje é segunda-feira e amanhã choverá.
b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá.
c) Hoje não é segunda-feira, então, amanhã choverá.
d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá.
e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.
08. (FISCAL DO TRABALHO-ESAF) A negação da afirmação condicional “Se estiver chovendo, eu levo o
guarda-chuva” é:
a) Se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.
b) Não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.
c) Não está chovendo, e eu não levo o guarda-chuva.
d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva.
e) Está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.
09. A negação da sentença “ Ana não voltou e foi ao cinema” é:
a)
b)
c)
d)
e)
“Ana voltou ou não foi ao cinema”.
“Ana voltou e não foi ao cinema”.
“Ana não voltou ou não foi ao cinema”.
“Ana não voltou e não foi ao cinema”.
“Ana não voltou e foi ao cinema”.
10. Sejam as proposições, p: Marta é inteligente e q: Raquel não joga tênis. Então, ~( ~p v q ) em linguagem
corrente, é:
a)
b)
c)
d)
e)
Marta é inteligente ou Raquel não joga tênis.
Marta é inteligente e Raquel joga tênis.
Marta não é inteligente e Raquel não joga tênis.
Marta não é inteligente ou Raquel joga tênis.
Marta é inteligente ou Raquel joga tênis.
Circuitos lógicos são estruturas que podem ser exibidas por meio de diagramas constituídos de componentes
denominados portas lógicas. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor lógico na entrada e produz
exatamente um valor lógico na saída.
Esses valores lógicos são representados por 0 ou 1. As portas lógicas OU e N (não) são definidas pelos
diagramas abaixo.
Nesses diagramas, A e B representam os valores lógicos de entrada e S, o valor lógico da saída. Em OU, o
valor de S é 0 quando A e B são ambos 0, caso contrário, é 1. Em N, o valor de S é 0 quando A for 1, e é 1
quando A for 0. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico.
26
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Raciocínio Lógico
Com base nas definições apresentadas e no circuito ilustrado acima, julgue os itens subseqüentes.
11. (UnB-CESPE) Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha valor lógico 0. Nesse caso, o valor lógico
de S será 0.
12. (UnB-CESPE) A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A tiver valor lógico 0 e B tiver valor lógico 1.
13. A negação da sentença: “Magi saiu sem avisar e foi ao cinema” é:
a) “Magi saiu sem avisar e não foi ao cinema”.
b) “Magi não saiu sem avisar e não foi ao cinema”.
c) “Magi não saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
d) “Magi não saiu sem avisar e foi ao cinema”.
e) “Magi saiu sem avisar ou não foi ao cinema”.
14. (ESAF-2009) A negação de: Milão é a capital da Itália ou Paris é a capital da Inglaterra é:
a) Milão não é a capital da Itália.
b) Milão não é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
c) Milão não é a capital da Itália ou Paris não é a capital da Inglaterra.
d) Paris não é a capital da Inglaterra.
e) Milão é a capital da Itália e Paris não é a capital da Inglaterra.
15. (CESPE) A negação da proposição
A → B possui os mesmos valores lógicos que a proposição A ∧ (~B) A.
Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada
verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor
lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, “Paulo é engenheiro”. As
proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. Ligando duas ou mais proposições
simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos
operacionais, podem-se citar: “e”, representado por v; “ou”, representado por w; “se, ..., então”, representado
por ÷; e “não”, representado por ¬. A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B,
pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando
possuem a mesma tabela-verdade. A seguir, são apresentadas as tabelas-verdade de algumas proposições.
Com base nessas informações, julgue os itens .
16. (CESPE) Considere as seguintes proposições.
A: Está frio.
B: Eu levo agasalho.
Nesse caso, a negação da proposição composta “Se está frio, então eu levo agasalho” A→B pode ser
corretamente dada pela proposição “Está frio e eu não levo agasalho” A ∧ (¬B).
27
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Pacher
GABARITO
01
a) ∼ p ∧ ∼ q
D
02
A
03
E
04
B
05
C
06
B
07
E
08
A
09
B
10
E
11
C
12
C
13
B
14
C
15
C
16
b) p ∧ ∼ q
c) p ∨ q
d) p ∨ ~q
Raciocínio Lógico
e) (p ∧ ∼ q)v(q ∧ ∼ p)
f) ∼ p ∧ q
10. TAUTOLOGIA
Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos verdadeiros (V), em todas as
linhas da coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de tautologia.
10.1. TABELA
C1
p
V
F
C2
∼p
F
V
C3
p ν ∼p
V
V
Comentário
A coluna C3 é formada por valores
lógicos verdadeiros (V), logo é uma
Tautologia.
11. CONTRADIÇÃO ou CONTRA-TAUTOLOGIA
Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos falsos (F), em todas as linhas
da coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de Contradição.
11.1. TABELA
C1
p
V
F
C2
∼p
F
V
C3
p ∧ ∼p
F
F
Comentário
A coluna C3 é formada por valores
lógicos falsos ( F), logo é uma
Contradição.
12. CONTINGÊNCIA
Considere uma proposição composta que na tabela-verdade tem valores lógicos verdadeiros (V) e falsos (F) na
coluna resposta C3. A este comportamento da proposição denominamos de Contingência.
12.1. TABELA
C1
p
V
F
C2
∼p
F
V
C3
p → ∼p
F
V
Comentário
A coluna C3 é formada por valores lógicos
verdadeiros (V) e falsos (F), logo é uma
Contingência.
TESTES RESOLVIDOS
01. (FCC-ICMS-SP) Considere as afirmações abaixo.
28
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10 < 10 ) ↔ (8 − 3 = 6 ) ” é falsa.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q)
∨ ( ¬ q)” é uma tautologia.
É verdade o que se afirma APENAS em
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
RESOLUÇÃO
I) CORRETA
Análise do item I
Para quaisquer valores naturais positivos de n, obteremos sempre um número par de linhas, veja a simulação
na tabela que segue.
Proposições.
01.
02.
03.
04.
Número de linhas
Número n de
de
linhas
da
proposições
tabela,2n.
simples.
1
2
3
4
p
p, q
p, q, r
p, q, r, s
2¹ = 2
2² = 4
2³ = 8
24 =16
II) INCORRETA
Análise do item II.
Atribuindo o valor “V” para verdadeira ou “F” para falso, nas expressões aritméticas, e considerando o operador
lógico que envolve as expressões, podemos, fazendo o uso da tabela de valores lógicos da bicondicional,
verificar se a proposição é verdadeira ou falsa. Veja:
(10 < 10 )
↔
(8 - 3 = 6)
Falsa
↔
Falsa
=
Verdadeira
No enunciado item II, é julgado como proposição falsa, logo, é incorreta.
III) CORRETA
Analise do item III.
Construindo a tabela verdade para a proposição dada, será tautologia se a coluna resposta tiver todos os
valores lógicos verdadeiros “V”. Vamos ver:
Col 1
Col 2
Col 3
Col 4
Col 5
p
→
q
¬q
L1
p
q
∨
L2
V
V
V
V
F
L3
V
F
F
V
V
L4
F
V
V
V
F
L5
F
F
V
V
V
De fato, todos os valores lógicos da coluna 4 são verdadeiros, caracterizando uma TAUTOLOGIA.
Resposta: Apenas I e III são verdadeiras. Alternativa E.
EXERCÍCIOS E
TESTES
29
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
01. Verifique se a proposição ( ∼p ∨ ∼q ) ↔ ( p ∧ q ) é uma contradição.
02. Verifique se a proposição [ p → ( q ∧ r) ] → ( p → r ) é uma tautologia.
03. Demonstrar que a preposição ∼ ( p → q ) → ( p ∧ q ) é uma contingência.
04. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, é ou uma contradição ou uma contingência.
[ p ∨ (p ∧ q) ] ↔ p
05. Verificar se a proposição a seguir é ou uma tautologia, ou uma contradição, ou uma contingência.
( ∼ p → ∼q ) ∨ ( p → q )
06. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.
( p ∨ ∼q ) ∨ ( p → ∼ q )
30
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Pacher
Raciocínio Lógico
07. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.
p → [ p → ( q ∧ ∼ q )]
08. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.
(∼p∨∼q)↔(p∧q)
09. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.
(p→q)→[(p∨r)↔(q∧r)]
10. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.
(p→q)∨(q∨r)
31
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Pacher
Raciocínio Lógico
11. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.
[(p∨q)∧(q∨r)]↔(p∨r)
12. Verificar se a proposição a seguir é uma tautologia, contradição ou uma contingência.
∼{(p→q)→[(p→q)∨r)}
13. (FCC-ICMS-SP) Considere as afirmações abaixo.
I. O número de linhas de uma tabela-verdade é sempre um número par.
II. A proposição “ (10 < 10 ) ↔ (8 − 3 = 6 ) ”é falsa.
III. Se p e q são proposições, então a proposição “(p → q) ∨ ( ¬ q)” é uma tautologia.
É verdade o que se afirma APENAS em
a) I.
b) II.
c) III.
d) I e II.
e) I e III.
14. (FCC-TRT-9R) Considere a seguinte proposição: "na eleição para a prefeitura, o candidato A será
eleito ou não será eleito”. Do ponto de vista lógico, a afirmação da proposição caracteriza:
a) um negação.
b) uma tautologia.
c) uma equivalência.
d) uma contingência.
e) uma contradição.
15. (ESAF-FISCAL TRABALHO) Um exemplo de tautologia é:
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo
32
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
16. (CESPE-DPF-DGP) Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de
argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma
proposição ¬R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então conclui-se que R é
verdadeira (ou ¬R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas
proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item que segue.
De acordo com a regra da contradição, “P → Q” é verdadeira quando ao supor “P ∧ ¬Q” verdadeira, obtém-se
uma contradição.
Uma proposição é uma declaração que pode ser afirmativa ou negativa. Uma proposição pode ser julgada
verdadeira ou falsa. Quando ela é verdadeira, atribui-se o valor lógico V e, quando é falsa, atribui-se o valor
lógico F. Uma proposição simples é uma proposição única, como, por exemplo, “Paulo é engenheiro”. As
proposições simples são representadas por letras maiúsculas A, B, C etc. Ligando duas ou mais proposições
simples entre si por conectivos operacionais, podem-se formar proposições compostas. Entre os conectivos
operacionais, podem-se citar: “e”, representado por v; “ou”, representado por w; “se, ..., então”, representado
por ÷; e “não”, representado por ¬. A partir dos valores lógicos de duas (ou mais) proposições simples A e B,
pode-se construir a tabela-verdade de proposições compostas. Duas proposições são equivalentes quando
possuem a mesma tabela-verdade. A seguir, são apresentadas as tabelas-verdade de algumas proposições.
Com base nessas informações, julgue os itens .
17. (CESPE) Uma proposição composta é uma tautologia quando todos os seus valores lógicos são V,
independentemente dos valores lógicos das proposições simples que a compõem. Então, a proposição [A∧
(A→B)] →B é uma tautologia.
GABARITO
Sim
01
Sim
02
Sim
03
Tautologia
04
Tautologia
05
Tautologia
06
Contingência
07
Contradição
08
Contingência
09
Contingência
10
Contingência
11
Contradição
12
E
13
B
14
A
15
C
16
C
17
13. RELAÇÃO DE IMPLICAÇÃO “ ⇒ ”
Sejam duas proposições declarativas p e q, diz-se que “p implica q” simbolicamente
p ⇒ q, quando em toda a tabela verdade de p e q, NÃO ocorre VF, ou seja, v (p)=V e v(q)=F.
33
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
13.1. SIMBOLICAMENTE
Quando “p implica q”, representamos assim: “p ⇒ q”
13.2. E MAIS
“p implica q” quando o valor do condicional “p →q” é verdadeiro.
14. RELAÇÕES ENTRE IMPLICAÇÕES
14.1. Relação Implicação RECÍPROCA
p→q
q→p
Troque de lugar p com q e q com p, para obter a
recíproca.
Duas implicações recíprocas NÃO são logicamente equivalentes. Pode ocorrer que uma seja verdadeira (V) e a
outra (F).
14.2. Relação Implicação INVERSA
p→q
Negue a primeira, negue a segunda (ou seja, troque
de sinal) e mantenha o posicionamento de p e q,
para obter a inversa.
∼p→∼q
Duas implicações inversas NÃO são logicamente equivalentes. Pode ocorrer que uma seja verdadeira (V) e a
outra (F).
14.3. Relação Implicação CONTRAPOSITIVA
p→q
Troque de lugar p com q e q com p, negue as duas
(ou seja, troque de sinal), para obter a
contrapositiva.
∼q→∼p
Duas implicações contra-positivas são logicamente equivalentes. Sempre que uma seja verdadeira (V), a outra
também é verdadeira (V).
14.4. TABELAS RESUMO
Sejam p e q proposições simples, as condicionais importantes estão representadas na tabela.
C1
C4
C3
C2
condicional
inversa
recíproca
contrapositiva
p
q
p→q
∼p→∼q
q→p
∼q →∼p
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
V
V
EXERCÍCIOS E
01.Seja a proposição “ p:
proposições?
TESTES
2 > 1 e “q: Brasil é está na América do Sul”, há implicação entre as
02.A proposição “p: 7 dias tem a semana” implica a proposição “q: a lua é um satélite”.
34
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Raciocínio Lógico
03.Há implicação entre as proposições p e q.
“p: 4 = 2 e q: π > 3”
“q: 1m = 100 cm e 1h = 360 seg.”
04. Determine a proposição contrapositiva de “p → q”.
a) ∼ q → ∼ p
b) p → q
c) p → p
d) q → q
05. Determine a proposição recíproca de “q → p”.
a) ∼ p → ∼ q
b) p → q
c) q → p
d) ∼ p → q
e) p → ∼q
06. Determine a proposição inversa de “p → q”.
a) p → q
b) ∼ p → ∼ q
c) ∼ p → q
d) p → ∼ q
e) q → p
07. A proposição contrapositiva da proposição contrapositiva de “p → q”.
a) q → p
b) p → q
c) ∼ p → q
d) p → ∼ q
e) ∼ p → ∼ q
08. A proposição contrapositiva da proposição recíproca de “p → q” é.
a) p → ∼ q
b) p → q
c) ∼ p → q
d) q → p
e) ∼ p → ∼ q
09. A proposição contrapositiva da proposição inversa de “p → q”.
a) p → q
b) ∼ q → ∼ p
c) ∼ p → ∼ q
d) p → q
e) q → p
10. A proposição contrapositiva da proposição recíproca de ”x=7 → x < 2”.
a) x ≠ 2 → x ≥ 7
b) x = 7 → x ≥ 2
c) x ≠ 7 → x < 2
d) x ≠ 7 → x ≥ 2
e) x ≥ 7 → x = 2
11. Seja a proposição, “ Se ela é mulher motorista, então ela é desacreditada”, escreva a recíproca desta
proposição .
35
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Raciocínio Lógico
12. Seja a proposição, “ Se ela é mulher motorista, então ela é desacreditada”, escreva a inversa desta
proposição .
13. Seja a proposição, “ Se ela fosse rica, então ela seria feliz”, escreva a contrapositiva desta proposição .
14. A contrapositiva da proposição “Se os preços aumentam, então as vendas diminuem”, é:
a)
b)
c)
d)
e)
“Se os preços diminuem, então as vendas aumentam”.
“Os preços diminuem e as vendas aumentam”.
“Se os preços aumentam, então as vendas aumentam”.
“As vendas aumentam ou os preços diminuem”.
“Se então as vendas não diminuem, então os preços não aumentam”,
GABARITO
Sim, não ocorreu VF
01
Sim, não ocorreu VF
02
Não, ocorreu VF
03
A
04
B
05
B
06
B
07
E
08
E
09
D
10
Se ela é desacreditada, então ela é mulher motorista.
11
Se ela não é mulher motorista, então ela não é desacreditada.
12
Se ela não é feliz, então não é rica.
13
E
14
15. RELAÇÃO DE EQUIVALÊNCIA “ ⇔ ” OU “ ≡ ”
Considere duas proposições declarativas p e q. Diz-se que “p é equivalente a q” simbolicamente p ⇔ q,
quando p e q têm tabelas verdades iguais, ou seja, quando valor de (p) = valor de (q), observadas em todas
as linhas da tabela.
Ou pode ser dito simplesmente assim:
Dizemos que duas proposições são logicamente equivalentes (ou simplesmente que são equivalentes) quando
são compostas pelas mesmas proposições simples e os resultados de suas tabelas-verdade são idênticos.
15.1. SIMBOLICAMENTE
Quando “p é equivalente a q”, representamos assim: “p ⇔ q”.
15.2. E MAIS
“p é equivalente a q” quando o valor da bicondicional “p ↔ q” é verdadeira
15.3. EQUIVALÊNCIAS BÁSICAS IMPORTANTES:
15.4. EQUIVALÊNCIAS DA CONDICIONAL:
Duas equivalências que seguem são de fundamental importância.
01.
36
Se p, então q = Se não q, então não p.
p → q = ~q → ~p
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
Demonstração da equivalência, usando as tabelas “verdade”.
p
V
V
F
F
2.
q
V
F
V
F
~p
F
F
V
V
~q
F
V
F
V
~q → ~p
V
F
V
V
p→q
V
F
V
V
Se p, então q = Não p ou q.
p → q = ~p ∨ q
Demonstração da equivalência, usando as tabelas “verdade”.
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
~p ∨ q
V
F
V
V
~p
F
F
V
V
p→q
V
F
V
V
15.5. QUADRO RESUMO DAS EQUIVALÊNCIAS ACIMA
1
p → q = ~q → ~p
2
p → q = ~p ∨ q
TESTES RESOLVIDOS
01. Demonstre a equivalência usando as tabelas “verdade” em:
(p↔q)↔r ⇔ p↔(q↔r)
Demonstração
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p↔q
V
V
F
F
F
F
V
V
q↔r
V
F
F
V
V
F
F
V
(p↔q)↔r
V
F
F
V
F
V
V
F
p↔(q↔r)
V
F
F
V
F
V
V
F
02. Demonstre a equivalência usando as tabelas “verdade” em:
p∧(q∨r) ⇔ (p∧q)∨(p∧r)
Demonstração
p
V
V
V
V
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
r
V
F
V
F
V
F
V
p∧q
V
V
F
F
F
F
F
p∧r
V
F
V
F
F
F
F
q∨r
V
V
V
F
V
V
V
p∧(q∨r)
V
V
V
F
F
F
F
(p∧q)∨(p∧r)
V
V
V
F
F
F
F
37
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Pacher
F
F
F
F
F
F
F
Raciocínio Lógico
F
03. Demonstre a equivalência usando as tabelas “verdade” em:
p∨(q∧r) ⇔ (p∨q)∧(p∨r)
Demonstração
p
V
V
V
V
F
F
F
F
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
p∨q
V
V
V
V
V
V
F
F
p∨r
V
V
V
V
V
F
V
F
q∧r
V
F
F
F
V
F
F
F
p∨(q∧r)
V
V
V
V
V
F
F
F
(p∨q)∧(p∨r)
V
V
V
V
V
F
F
F
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
04.(CESPE) Uma expressão da forma ¬ (A ∧ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas
valorações V ou F da proposição A → B.
RESOLUÇÃO
I) Formação da tabela verdade
L1
L2
L3
L4
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
¬ (A ∧ ¬ B )
V
F
V
V
A → B.
V
F
V
V
Observe linha a linha que ambas tem os mesmos valores lógicos.
II) Afirmativa da CESPE
> “... ¬ (A ∧ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A
→ B.”
Afirmativa Correta
05. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é
a) q ∧ p
38
RACIOCÍNIO LÓGICO
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b)
c)
d)
e)
Raciocínio Lógico
q → p
¬ (p → q)
p ↔ q
¬ (p ∨ q)
RESOLUÇÃO
I) Operando entre si as proposições simples p com q, foi fornecida no enunciado a coluna resposta indicada por
“?” ( coluna 3) . “?” ( coluna 3 ) indica que nesta posição da tabela deve estar uma das proposições compostas
oferecidas nas alternativas ( das colunas 4, 5, 6, e 7).
Operando uma a uma as proposições das alternativas, deve-se indicar como resposta a coluna equivalente à
indicada por “?”.
Tabela
L1
L2
L3
L4
L5
Col 1
p
V
V
F
F
dada noenu
A l t e r n a t
nciado
a)
b)
c)
Col 2
Col 3
Col 4
Col 5
Col 6
p∧q
p→q
¬ (p → q)
q
?
V
F
V
V
F
F
V
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
F
V
F
São
equivalentes
i
v a
d)
Col 7
p ↔q
V
F
F
V
s
e)
Col 8
¬ (p ∨ q)
F
F
F
V
Veja acima, a coluna 3 é equivalente a coluna 6, ambas tem a mesma valoração, na ordem linha a linha.
Resposta: Alternativa C
06. (FCC-ICMS-SP)
Tabela-Verdade é
Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua
Usando a conjunção ( ∧ ), a disjunção ( ∨ ) e a negação ( ¬ ), pode-se construir sentenças equivalentes a
s. Uma dessas sentenças é
a) ( ¬ p ∨ q ∨ ¬ r) ∧ (p ∨ q ∨ ¬ r)
b) (p ∨ q ∨ r) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ r)
c) (p ∧ q ∧ ¬ r) ∨ (p ∧ ¬ q ∧ ¬ r)
d) (p ∧ q ∧ r) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q ∧ r)
e) (p ∧ ¬ q ∧ r) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q ∧ r)
RESOLUÇÃO
Para me deter somente à resolução e comentários, vou direto a alternativa correta ( letra “A”). Sabemos que
num teste, como fiz, devemos procurar pela alternativa correta, que em muitos casos nos leva a testar as
alternativas até encontrar a desejada.
39
RACIOCÍNIO LÓGICO
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p
V
V
V
V
F
F
F
F
¬p
F
F
F
F
V
V
V
V
q
V
V
F
F
V
V
F
F
r
V
F
V
F
V
F
V
F
¬r
F
V
F
V
F
V
F
V
s
V
V
F
V
V
V
F
V
(
(
(
(
(
(
(
(
(
¬p
São
q
¬r
∨
V
V
F
V
V
V
V
V
equivalentes
∨
Raciocínio Lógico
)
)
)
)
)
)
)
)
)
∧
V
V
F
V
V
V
F
V
Resposta: Alternativa A
EXERCÍCIOS E
TESTES
01. (ANALISTA AMBIENTAL - MINISTÉRIO DO MEIO AMBIENTE – CESPE)
Julgue o item seguinte: ~(P → ~Q) é logicamente equivalente à (Q → ~P).
02. Julgar cada uma das seguintes proposições, são ou não equivalentes:
a) ∼ p ∧ ∼ q ≡ ∼ p
b) ∼ [ ∼ ( p ∨ q ) ] ≡ p ∨ q
c) ( p ∧ ∼ q ) ∨ ( p ∧ ∼ q ) ≡ p ∧ ∼ q
d) q → p ≡ ∼ p → ∼ q
40
(
(
(
(
(
(
(
(
(
p
∨
q
V
V
V
V
V
V
F
V
∨
¬r
)
)
)
)
)
)
)
)
)
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Raciocínio Lógico
e) ( p ∨ ∼ q ) ∧ ( ∼ p ∨ q ) ≡ p ↔ q
f) ( p ↔ q ) ∨ ∼ p ≡ p → q
g) ( p → q ) ∧ ( p → r ) ⇔ p → q
h) ( p → q ) ∨ r ⇔ ( p ∧ ∼ r ) → ∼ q
i) ( p → q ) → r ⇔ ( p ∧ ∼ r ) → ∼ q
41
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03. (FCC-ICMS-SP) Na tabela-verdade abaixo, p e q são proposições.
A proposição composta que substitui corretamente o ponto de interrogação é:
a)
b)
c)
d)
e)
q∧ p
q → p
¬ (p → q)
p ↔ q
¬ (p ∨ q)
04. Verificar através de tabelas- verdade, as seguintes equivalências:
a) p ∨ ( p ∧ q ) ⇔ p
b) ( p → q ) ∨ ( p → r ) ⇔ p → ( q ∨ r )
05. (NC.UFPR) Considere as afirmativas seguintes, relacionadas à sentença "se há vida, então há água".
I. "Se há água, então há vida" é uma sentença logicamente equivalente à sentença dada.
II. "Se não há água, então não há vida" é uma sentença logicamente equivalente à sentença dada.
III. "Há vida e não há água" é negação lógica da sentença dada.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa II é verdadeira.
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras.
e) As afirmativas I, II e III são verdadeiras.
06. (FCC-ICMS-SP) Das proposições abaixo, a única que é logicamente equivalente a p → q é
a) ~ q → ~ p
b) ~ q → p
c) ~ p → ~ q
d) q → ~ p
e) ~ (q → p)
07. (FISCAL TRABALHO) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista
lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
08. (ESAF-SERPRO) Uma sentença logicamente equivalente a “Pedro é economista, então Luísa é
solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luísa é solteira.
42
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Raciocínio Lógico
b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira.
c) Se Luísa é solteira,Pedro é economista;
d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira;
e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista.
09. (ESAF-MPU) Uma sentença logicamente equivalente a: “Se Pedro é economista, então Luíza é
solteira” é:
a) Pedro é economista ou Luíza é solteira.
b) Pedro é economista ou Luíza não é solteira.
c) Se Luíza é solteira, Pedro é economista.
d) Se Pedro não é economista então Luíza não é solteira.
e) Se Luíza não é solteira então Pedro não é economista.
10. (FCC-ICMS-SP) Se Rodrigo mentiu, então ele é culpado. Logo,
a) Se Rodrigo não é culpado, então ele não mentiu.
b) Rodrigo é culpado.
c) Se Rodrigo não mentiu, então ele é culpado.
d) Rodrigo mentiu.
e) Se Rodrigo é culpado, então ele mentiu.
11. (FCC-ICMS-SP) Se você se esforçar, então irá vencer. Assim sendo,
a) Seu esforço é condição suficiente para vencer.
b) Seu esforço é condição necessária para vencer.
c) Se você não se esforçar, então não irá vencer.
d) Você vencerá só se esforçar.
e) Mesmo que você se esforce, você não vencerá.
12. (CESPE -SERPRO) Julgue o item seguinte: A tabela de verdade de P → Q é igual à tabela de verdade de
(P → ¬Q) → ¬P .
(CESPE-DPF/DGP) Texto para os próximos dois itens.
Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas
(F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional,
denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q,
denotada por
P w Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada
por P v Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada
por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um
conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição.
A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.
13. (CESPE-DPF/DGP) As tabelas de valorações das proposições P ∨ Q e Q → ¬P são iguais.
14. (CESPE-DPF/DGP) As proposições (P∨Q) →S e (P → S)∨(Q →S) possuem tabelas de valorações iguais.
15. (FCC-ICMS-SP) Se p e q são proposições, então a proposição p ∧ ( ¬ q) é equivalente a
a) ¬ (p → ¬ q)
b) ¬ (p → q)
c) ¬ q → ¬ p
d) ¬ (q → ¬ p)
e) ¬ (p ∨ q)
16. (ESAF-MPOG) Dizer que “André é artista ou Bernardo não é engenheiro” é logicamente equivalente a
dizer que:
a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro.
b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro.
c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro
d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista.
43
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e) André não é artista e Bernardo é engenheiro
17. (FCC-ICMS-SP) Dentre as alternativas abaixo, assinale a correta.
a) As proposições ¬ (p ∧ q) e ( ¬ p ∧ ¬ q) não são logicamente equivalentes.
b) A negação da proposição “Ele faz caminhada se, e somente se, o tempo está bom”, é a proposição “Ele não
faz caminhada se, e somente se, o tempo não está bom”.
c) A proposição ¬ [ p ∨ ¬ (p ∧ q)] é logicamente falsa.
d) A proposição “Se está quente, ele usa camiseta”, é logicamente equivalente à proposição “Não está quente e
ele usa camiseta”.
e) A proposição “Se a Terra é quadrada, então a Lua é triangular” é falsa.
18. (UFRJ-ANA) Sabendo-se que o símbolo ¬ denota negação e que o símbolo ∨ denota o conector
lógico ou, a fórmula A → B, que é lida “se A então B”, pode ser reescrita como:
a) A ∨ B
b) ¬A ∨ B
c) A ∨ ¬B
d) ¬A ∨ ¬B
e) ¬(A ∨ B)
19. (UFPR-TCE) Das alternativas abaixo, assinale aquela que apresenta uma afirmação que é
logicamente equivalente à seguinte afirmação: “Se eu penso no futuro, então eu invisto parte do
dinheiro que recebo”.
a) Eu penso no futuro e invisto parte do dinheiro que recebo.
b) Eu não penso no futuro ou invisto parte do dinheiro que recebo.
c) Eu penso no futuro e não invisto parte do dinheiro que recebo.
d) Eu penso no futuro ou não invisto parte do dinheiro que recebo.
e) Eu penso no futuro ou invisto parte do dinheiro que recebo.
20. (FCC-ICMS-SP) Numa proposição composta s, aparecem as proposições simples p, q e r. Sua TabelaVerdade é
Usando a conjunção ( ∧ ), a disjunção ( ∨ ) e a negação ( ¬ ), pode-se construir sentenças equivalentes a s.
Uma dessas sentenças é
a) ( ¬ p ∨ q ∨ ¬ r) ∧ (p ∨ q ∨ ¬ r)
b) (p ∨ q ∨ r) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ∨ r)
c) (p ∧ q ∧ ¬ r) ∨ (p ∧ ¬ q ∧ ¬ r)
d) (p ∧ q ∧ r) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q ∧ r)
e) (p ∧ ¬ q ∧ r) ∨ ( ¬ p ∧ ¬ q ∧ r)
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
21. (CESPE) Uma expressão da forma
44
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¬ (A ∧ ¬ B ) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A → B.
GABARITO
Errada
01
a) F b) V
c) V
02
C
03
a) V
b) V
04
B
05
A
06
A
07
E
08
E
09
A
10
A
11
Correta
12
Errada
13
Errada
14
B
15
D
16
C
17
B
18
B
19
A
20
Correta
21
d) V
e) V
f) V
g) F
h) F
i) F
[
16. ARGUMENTO
16.1. Argumento
Argumento é o raciocínio pelo qual se tira uma conclusão.
16.2. Da lógica
16.3. Argumento é a coleção (n+1) proposições; uma delas será a conclusão do argumento; as n outras serão a
premissas.
I) Premissas ou antecedente - é a parte motora ou movente do raciocínio e que por isso o precede.
II) Conclusão ou conseqüente - é a parte movida ou causada [isto é, aquela que provém do antecedente].
Trata-se, com efeito, do desfecho e objetivo de todo raciocínio.
Expressões usuais na linguagem corrente que pode identificar as premissas de um argumento ou expressões
para serem usadas nas premissas:
ora
porque
pois
em vista que
tendo em conta que
Expressões usuais na linguagem corrente que pode identificar uma conclusão ou expressões para serem
usadas na conclusão:
aí
logo
portanto
por seguinte
segue-se que
45
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16.4. FORMA MAIS FREQÜENTE PARA REPRESENTAR UM ARGUMENTO
I) Com maior freqüência, as premissas aparecem em primeiro lugar e a conclusão aparece no final.
Um argumento de premissas, P1, P2, P3, ... , Pn e de conclusão Q, é indicado na forma simbólica, por:
P1, P2, P3,
...
Pn
├⎯
Q
II) Quando as premissas e a conclusão organizadas em coluna, um traço separa, as premissas acima do traço
da conclusão, abaixo do traço.
Um argumento de premissas P1, P2, P3, ... , Pn e de conclusão Q, é indicado na padronizada, por:
P1
P2
P3
…
Pn
∴Q
16.5. CÁLCULO PROPOSICIONAL (ou CÁLCULO SENTENCIAL)
É um sistema pelo qual são analisar proposições simples (atômicas) combinadas pelos operadores.
Operadores
∼
∧
∨
∨
→
↔
16.6. PROPRIEDADES
• A validade de um argumento depende da relação existente entre as premissas e a conclusão.
• Um argumento não válido é denominado de sofisma (ou falácia).
• Quando um argumento é válido, conjunção entre as premissas em condicional com a conclusão é uma
tautologia. Assim: (P1 ∧ P2 ∧P3 ∧... ∧Pn) → Q.
Formato possível de premissas e conclusão
As premissas como também a conclusão, podem ser proposições simples ou compostas.
17. VALIDADE DE UM ARGUMENTO
Diz-se que um argumento é válido se, e somente se, a conclusão for verdadeira, sempre que as premissas
forem verdadeiras.
O argumento
se e somente se
46
P1, P2, P3. …, Pn├⎯ Q é válido
Q é verdadeiro e P1, P2, P3, ... , Pn forem também verdadeiras
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17.1. MÉTODO 1 – VERIFICAÇÃO DE UM ARGUMENTO
Para a verificação se um argumento é válido ou não, usando a tabela verdade, siga a orientação na a seguir.
Esse método indicado para argumentos com no máximo duas proposições simples.
LINHA 1
LINHA 2
LINHA 3
Constrói-se a tabela verdade, uma coluna para cada premissa e uma para a conclusão
Preenchida corretamente com os valores lógicos, em todas as colunas e linhas.
Identifique a(s) linha(s) cujos valores lógicos das premissas (P1, P2, P3 ...Pn) forem todas verdadeiras.
Se nesta(s) mesma(s) linha(s) a conclusão também for verdadeira, dizemos que o argumento é válido.
Outra forma que pode ser usada para fazer a verificação da validade ou não. Considerando o proposição,
P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn) → Q for uma tautologia, dizemos que o argumento é válido. Caso contrário não é válido,
diz-se que é um sofisma ou uma falácia.
LINHA 4
17.2. MÉTODO 2 – VERIFICAÇÃO DE UM ARGUMENTO
É indicado quando a construção da tabela verdade for muito trabalhosa.
COLUNA
2
COLUNA
1
Método é
quando:
indicado
•
Quando
o
argumento é formado
por uma premissa que
é uma proposição
simples.
p.ex.: p ou
negação ∼p.
Seja
argumento
Premissa P1
o
COLUNA
3
Imponha para que
todas as premissas
sejam verdadeiras
Atribua
P1=verdadeira
Premissa P2
Atribua
P2=verdadeira
Premissa P3
Atribua
P3=verdadeira
Premissa P4
Atribua
P4=verdadeira
conclusão Q
Q=não
atribua
nenhum valor
sua
• Ou, quando uma
premissa esteja na
forma
de
uma
proposição com o
conectivo conjunção
[e=∧].
p.ex.: p Λ q, ∼p Λ q
,
p Λ ∼q, ∼p Λ ∼q.
COLUNA
4
Procedimento final
• Obtenha o valor
lógico
de
cada
proposição simples
(p, q, r, s, ...) que
formam
as
premissas.
• Substitua estes
valores lógicos na(s)
proposição(ões)
simples (p, q, r, s, ...)
que
formam
a
conclusão.
• Se o resultado for
uma verdade, então
o
argumento
é
válido.
Caso
contrário é falso.
COLUNA
5
Quando a conclusão
está na posição de
alternativa
Execute os passos
da coluna anterior
(coluna 4)
nas
alternativas,
até
obter uma que seja
verdadeira.
Essa
será
a
alternativa correta.
47
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17.3. MÉTODO 3 – VERIFICAÇÃO DE ARGUMENTOS
É indicado quando a construção da tabela verdade for muito trabalhosa.
COLUNA
1
Método é indicado
quando:
•
Quando
a
conclusão
está
representada por
uma proposição
simples.
p.ex.: p ou sua
negação ∼p.
• Ou, quando a
conclusão está na
forma de uma
disjunção [ou= ν].
p.ex.: p ν q, ∼p ν
q,
p ν ∼q, ∼p ν ∼q.
• Ou, quando a
conclusão está na
forma condicional
[se...então..= →].
p.ex.: p → q,
∼p → q, p → ∼q,
∼p → ∼q.
COLUNA
2
Seja
argumento
o
Premissa P1
COLUNA
3
Imponha para que
todas as premissas
sejam verdadeiras e
a conclusão falsa
Atribua
P1=verdadeira
Premissa P2
Atribua
P2=verdadeira
Premissa P3
Atribua
P3=verdadeira
Premissa P4
Atribua
P4=verdadeira
Atribua
conclusão Q
Q = falsa
COLUNA
4
Procedimento final
• Obtenha o valor lógico
de cada proposição
simples (p, q, r, s, ...)
que
formam
a
conclusão.
• Fazendo uso desse
valores lógicos obtidos
no
passo
anterior,
obtenha o valor lógico
de cada proposição
simples faltantes (p, q,
r, s, ...) que formam as
premissas.
• Se para todas as
proposições simples, foi
obtido um único valor
lógico,
falso
ou
verdadeiro,
e
que
verifica
o
que
foi
imposto na coluna 3,
então, o argumento é
inválido.
Cuidado!
Os
valores
lógicos
atribuídos às premissas
e à conclusão (veja
coluna 3), torna o
argumento inválido.
COLUNA
5
Quando a conclusão
está na posição de
alternativa
Execute os passos da
coluna anterior (coluna
4)
nas alternativas,
até obter uma que seja
verdadeira, ou seja,
que não verifica o que
foi imposto. Essa será
a alternativa correta.
TESTES RESOLVIDOS
ENUNCIADO PRINCIPAL
(CESPE-BB) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira
(V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa”
não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são
representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou
B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F,
caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais
que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem verdadeiras.
Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes.
01. (CESPE-BB) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.
Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso.
RESOLUÇÃO
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.
Maria é alta.
48
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Raciocínio Lógico
Portanto, José será aprovado no concurso.
> Legenda:
A: Antônio for bonito
M: Maria for alta
J: José será aprovado no concurso
> Argumento organizado em coluna
Se A ou M, J.
M_________
Portanto J.
> Argumento organizado em coluna usando a simbologia.
(A ∨ M ) → J
M__________
J
C4
Argumento
C5
C1
C2
C3
C6
A
M
J
(A ∨ M ) → J
M
J
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
V
V
V
F
F
V
V
F
F
V
F
V
F
V
F
V
F
> Na coluna C4 posição da primeira premissa.
> Na coluna C5 posição da segunda premissa.
> Na coluna C6 posição da conclusão.
Um argumento é válido sempre que nas linhas em que as premissas são todas verdadeiras, a conclusão
também é verdadeira.
Observando a tabela acima, 1ª e 5ª linhas , temos que os valores lógicos das premissas são todas verdadeiras
e, nessas mesmas linhas o argumento também é verdadeiro, portanto, o argumento é válido.
Resposta: A afirmativa do enunciado está CORRETA
02. (CESPE-BB) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego. Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
RESOLUÇÃO
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.
Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
> Legenda:
C: Célia tiver um bom currículo
E: ela conseguirá um emprego
> Argumento organizado em coluna
Se C, então E.
49
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Raciocínio Lógico
E_________
Portanto C.
> Argumento organizado em coluna usando a simbologia.
C→E
E_____
C
Argumento
C1
C2
C3
C4
C5
C
E
E
C
C→E
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
V
V
F
F
F
V
F
F
> Na coluna C3 posição da primeira premissa.
> Na coluna C4 posição da segunda premissa.
> Na coluna C5 posição da conclusão.
Um argumento é válido sempre que nas linhas em que as premissas são todas verdadeiras, a conclusão
também é verdadeira.
Observando a tabela acima, 1ª linha , temos que os valores lógicos das premissas e da conclusão são todas
verdadeiras. No entanto, na 3ª linha as premissas são todas verdadeiras e a conclusão é falsa. Portanto, o
argumento é inválido.
Resposta: A afirmativa do enunciado está ERRADA
03. (FCC-ICMS-SP) Considere os argumentos abaixo:
Argumento
\premissas
a, a → b
I
¬ a, a → b
II
¬ b, a → b
III
b, a → b
IV
Conclusão
b
¬b
¬a
a
Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I, obtêm-se, na ordem dada,
a) L , I, L , I.
b) I, L , I, L .
c) I, I, I, I.
d) L , L , I, L .
e) L , L , L , L .
RESOLUÇÃO E COMENTÁRIOS
I) Primeiro argumento
TABELA 1
a
Linha 1
V
Linha 2
V
Linha 3
F
Linha 4
F
b
V
F
V
F
Premissas
P1
P2
a →b
a
V
V
V
F
F
V
F
V
Conclusão
C
b
V
F
V
F
Premissas “V” e conclusão “V”
Se em todas as linhas que as premissas são verdadeiras “V” (observe linha 1, tabela 1), a conclusão também é
verdadeira, então podemos afirmar que o argumento é válido, legítimo.
II) Segundo argumento
50
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TABELA 2
a
Linha 1
V
Linha 2
V
Linha 3
F
Linha 4
F
b
V
F
V
F
Prof. Pacher
Raciocínio Lógico
Conclusão
C
¬b
F
V
F
V
Premissas “V” e conclusão “F”
Premissas “V” e conclusão “V”
Premissas
P1
P2
¬a a →b
F
V
F
F
V
V
V
V
Se em todas as linhas que as premissas são verdadeiras “V” (observe linha 3 e linha 4, tabela 2), a conclusão
não é verdadeira nas mesmas linhas (linha 3, “furou”), então podemos afirmar que o argumento é inválido,
ilegítimo.
III) Terceiro argumento
TABELA 3
a
Linha 1
V
Linha 2
V
Linha 3
F
Linha 4
F
b
V
F
V
F
Premissas
P1
P2
¬b a →b
F
V
V
F
F
V
V
V
Conclusão
C
¬a
F
V
F
V
Premissas “V” e conclusão “V”
Se em todas as linhas que as premissas são verdadeiras “V” (observe linha 4, tabela 3), a conclusão também é
verdadeira, então podemos afirmar que o argumento é válido, legítimo.
IV) Quarto argumento
TABELA 4
a
Linha 1
V
Linha 2
V
Linha 3
F
Linha 4
F
b
V
F
V
F
Premissas
P1
P2
a →b
b
V
V
F
F
V
V
F
V
Conclusão
C
a
V
V
F
F
Premissas “V” e conclusão “V”
Premissas “V” e conclusão “F”
Se em todas as linhas que as premissas são verdadeiras “V” (observe linha 1 e linha 3, tabela 4), a conclusão
não é verdadeira nas mesmas linhas (linha 3, “furou”), então podemos afirmar que o argumento é inválido,
ilegítimo.
Resposta: alternativa A
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
04. (CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não
acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições
pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira.
RESOLUÇÃO
I) Argumento em linguagem corrente
P1: “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica”
P2: “Mara não acertou na loteria”
C: “Ela não ficou rica”
51
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
II) Legenda
p: Mara acertou na loteria
q: ela ficou rica
III) Argumento simbolizado
p→q
¬p
¬q
IV) Verificação da validade ou não do argumento pela tabela verdade
p
V
V
F
F
L1
L2
L3
L4
Premissa 1
Premissa 2
Conclusão
p→q
V
F
V
V
¬p
F
F
V
V
¬q
F
V
F
V
q
V
F
V
F
Um argumento é válido se em todas as linhas em que as premissas forem todas verdadeiras, ocorrer que
nestas mesmas linhas a conclusão também tem que ser verdadeira.
Em L4 tudo bem, premissas e conclusão são todas verdadeiras, porém, em L3 a conclusão é falsa, logo, o
argumento é inválido.
V) Afirmativa da CESPE
> “...proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira.”
Afirmativa Errada
05.(CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então
pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.
RESOLUÇÃO
I) Legenda
p: Sílvia ama Joaquim
q: Sílvia ama Tadeu
II) Formação da tabela verdade
L1
L2
L3
L4
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p v q
V
V
F
V
Do enunciado ““Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira”
A proposição “p v q” é verdadeira nas linhas L1, L2 e L4.
Na linha L2 p = V e q = F, contrariando a afirmativa
III) Afirmativa da CESPE
> “...pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira”
Afirmativa Errada
EXERCÍCIOS E TESTES
52
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
01. Verificar se o argumento é válido ou não.
P ∨ Q, ∼ P ├⎯ Q
02. Verifique se o argumento: P → Q, ∼ P ├⎯ ∼ Q , é válido ou não é válido.
03. Verifique se o argumento abaixo é válido ou inválido:
P1:
p ∨ q
P2:
~p
C:
q
04. Verificar a validade do argumento:
P1: Se x = 1 e y = z, então y > 2.
P2: y ≤ 2
C: y ≠ z
05. Testar a validade do argumento:
• Se é sábado, Joana vai dançar.
• Joana não foi dançar.
• Logo, não é sábado.
06. Verificar a validade do argumento:
• Se trabalho, não posso estudar.
• Trabalho ou serei aprovado em matemática.
• Trabalhei
• Logo, fui reprovado em matemática.
07. (MPU) Se Ana não é advogada, então Sandra é secretária. Se Ana é advogada, então Paula não é
professora. Ora, Paula é professora. Portanto:
a) Ana é advogada.
b) Sandra é secretária.
c) Ana é advogada, ou Paula não é professora.
d) Ana é advogada, ou e Paula é professora.
e) Ana não é advogada e Sandra não é secretária.
08. (SERPRO-ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora,
Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Verificar a validade ou não deste argumento.
(CESPE-BB) Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira
(V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como “Como está o tempo hoje?” e “Esta frase é falsa”
não são proposições porque a primeira é pergunta e a segunda não pode ser nem V nem F. As proposições são
representadas simbolicamente por letras maiúsculas do alfabeto — A, B, C etc. Uma proposição da forma “A ou
B” é F se A e B forem F, caso contrário é V; e uma proposição da forma “Se A então B” é F se A for V e B for F,
caso contrário é V. Um raciocínio lógico considerado correto é formado por uma seqüência de proposições tais
que a última proposição é verdadeira sempre que as proposições anteriores na seqüência forem verdadeiras.
Considerando as informações contidas no texto acima, julgue os itens subseqüentes.
09. (CESPE-BB) É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Antônio for bonito ou Maria for alta, então José será aprovado no concurso.
Maria é alta. Portanto José será aprovado no concurso.
10. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O Francisco ou não toma sopa ou bebe leite.
Ora, o Francisco não bebe leite.
Logo, o Francisco toma sopa.
Pode-se afirmar que é:
11. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O António ou é carpinteiro ou encanador
53
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
Ora, o António é carpinteiro.
Logo, o António não é encanador.
Pode-se afirmar que é:
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
12. (CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não
acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições
pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira.
13. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então
pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.
14. (FISCAL RECIFE-ESAF) André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado.
Caio é inocente se e somente se Dênis é culpado. Ora, Dênis é culpado. Logo:
a) Caio e Beto são inocentes
b) André e Caio são inocentes
c) André e Beto são inocentes
d) Caio e Dênis são culpados
e) André e Dênis são culpados
15. (FCC-ICMS-SP) No argumento: “Se estudo, passo no concurso. Se não estudo, trabalho. L ogo, se não
passo no concurso, trabalho”, considere as proposições:
p: “estudo”
q: “passo no concurso”, e
r: “trabalho”
É verdade que
a) p, q, ~ p e r são premissas e ~ q → r é a conclusão.
b) a forma simbólica do argumento é
(p → q) → (~ p → r) I---- (~ q → r).
c) a validade do argumento é verificada por uma tabela-verdade com 16 linhas.
d) a validade do argumento depende dos valores lógicos e do conteúdo das proposições usadas no argumento.
e) o argumento é válido, porque a proposição
[ (p → q) ∧ (~ p → r)] → (~ q → r) é uma tautologia.
16. (FCC-ICMS-SP) Considere os argumentos abaixo:
Argumento
I
II
III
IV
Premissas
a, a → b
¬ a, a → b
¬ b, a → b
b, a → b
Conclusão
b
¬b
¬a
a
Indicando-se os argumentos legítimos por L e os ilegítimos por I, obtêm-se, na ordem dada,
a) L , I, L , I.
b) I, L , I, L .
c) I, I, I, I.
d) L , L , I, L .
e) L , L , L , L .
17. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
54
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Raciocínio Lógico
O gato do João ou é siamês ou é preto.
Ora, o gato é preto.
Logo, o gato do João é siamês.
Pode-se afirmar que é:
18. (UFPR-TCE) Se navegar é preciso, então viver não é preciso; se navegar não é preciso, então criar não é
preciso. Mas Fernando Pessoa disse que criar é preciso, logo:
a) viver é preciso e criar é preciso.
b) navegar é preciso e viver não é preciso.
c) criar é preciso e navegar não é preciso.
d) navegar é preciso e viver é preciso.
e) navegar não é preciso e viver não é preciso.
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
19. (CESPE) Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não
acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente essas proposições
pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também verdadeira.
20. (MPU-ADMNISTRATIVA-ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove,
não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou
deprimida, não passeio. Hoje, passeio. Portanto, hoje
a) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor.
b) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor.
c) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor.
d) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor.
e) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor.
21. (AFC–SFC-ESAF) Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao
casamento, Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio afundou. Ora, o navio não afundou. Logo,
a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento
b) Camile e Carla não foram ao casamento
c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia não viajou
d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou
e) Vera e Vanderléia não viajaram
22. (MPOG-ESAF) Se M = 2x + 3y, então M = 4p + 3r. Se M = 4p + 3r, então
M = 2w – 3r. Por outro lado, M = 2x + 3y, ou M = 0. Se M = 0, então M+H = 1. Ora, M+H ≠ 1.
Logo,
a) 2w – 3r = 0
b) 4p + 3r ≠ 2w – 3r
c) M ≠ 2x + 3y
d) 2x + 3y ≠ 2w – 3r
e) M = 2w – 3r
23. (FISCAL TRABALHO-ESAF) Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ou Alberto é alemão, ou
Egídio é espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem
Isaura é italiana. Logo:
a) Pedro é português e Frederico é francês
b) Pedro é português e Alberto é alemão
c) Pedro não é português e Alberto é alemão
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês
55
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
24. (AFC-ESAF) Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala
chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol
se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não
fala chinês. Logo,
a) Iara não fala italiano e Débora não fala dinamarquês.
b) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês.
c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol.
d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano.
e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês.
25. (TFC-SFC-ESAF) Ou Anaís será professora, ou Anelise será cantora, ou Anamélia será pianista. Se Ana for
atleta, então Anamélia será pianista. Se Anelise for cantora, então Ana será atleta. Ora, Anamélia não será
pianista. Então:
a) Anaís será professora e Anelise não será cantora
b) Anaís não será professora e Ana não será atleta
c) Anelise não será cantora e Ana será atleta
d) Anelise será cantora ou Ana será atleta
e) Anelise será cantora e Anamélia não será pianista
26. (OFICIAL DE CHANCELARIA MRE-ESAF) Se X ≥ Y, então Z > P ou Q ≤ R. Se Z > P, então S ≤ T. Se S ≤
T, então Q ≤ R. Ora, Q > R, logo:
a) S > T e Z ≤ P
b) S ≥ T e Z > P
c) X ≥ Y e Z ≤ P
d) X > Y e Z ≤ P
e) X < Y e S < T
27. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O Frederico ou é formado em Filosofia ou em Línguas estrangeiras.
Ora, não é formado em Línguas Estrangeiras.
Logo, não é formado em Filosofia.
Pode-se afirmar que é:
28. (AFC-CGU-ESAF) Se X está contido em Y, então X está contido em Z. Se X está contido em P, então X
está contido em T. Se X não está contido em Y, então X está contido em P. Ora, X não está contido em T. Logo:
a) Z está contido em T e Y está contido em X.
b) X está contido em Y e X não está contido em Z.
c) X está contido em Z e X não está contido em Y.
d) Y está contido em T e X está contido em Z.
e) X não está contido em P e X está contido em Y.
29. Considere as seguintes premissas
“Giovanna é bonita e inteligente, ou Giovanna é simpática”.
“Giovanna não é simpática”.
A partir dessas premissas, conclui-se que Giovanna
a) “não é bonita ou não é inteligente”.
b) “é bonita e inteligente”.
c) “é bonita e não é inteligente”.
d) “não é bonita e não é inteligente”.
e) “não é bonita e é inteligente”.
30. (ESAF-AFTN) - Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro
falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz
nesta sala. Logo:
a) Nestor e Júlia disseram a verdade
56
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b)
c)
d)
e)
Raciocínio Lógico
Nestor e Lauro mentiram
Raul e Lauro mentiram
Raul mentiu ou Lauro disse a verdade
Raul e Júlia mentiram
As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas
proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A
→ B, lida, entre outras formas, como “se A então B”, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é
F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma ¬ A, lida como “não A”, é uma proposição
que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A ∧ B, lida como “A
e B”, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F.
Uma expressão da forma AVB, lida como “A ou B”, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e
B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem.
31. (CESPE) Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira. Então
pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira.
32. (FISCAL TRABALHO-ESAF) Maria tem três carros: um Gol, um Corsa e um Fiesta. Um dos carros é
branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco, 2) ou o Gol é
preto, ou o Corsa é azul, 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul, 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto.
Portanto, as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são, respectivamente,
a) branco, preto, azul
b) preto, azul, branco
c) azul, branco, preto
d) preto, branco, azul
e) branco, azul, preto
33. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
O Flávio ou não tem carro ou não possui moto.
O Flávio tem uma moto.
Logo, o Flávio não tem carro.
Pode-se afirmar que é:
34. (AFC/STN-ESAF) Se Pedro não bebe, ele visita Ana. Se Pedro bebe, ele lê poesias. Se Pedro não visita
Ana, ele não lê poesias. Se Pedro lê poesias, ele não visita Ana. Segue-se, portanto que, Pedro:
a) bebe, visita Ana, não lê poesias.
b) não bebe, visita Ana, não lê poesias.
c) bebe, não visita Ana, lê poesias.
d) não bebe, não visita Ana, não lê poesias.
e) não bebe, não visita Ana, lê poesias.
35. Se um argumento está bem construído é dito válido e se não está bem construído é dito inválido.
Verificando a construção do argumento,
Ou a Maria namora o João ou o Gilberto
Ora, a Maria não namora o Gilberto.
Logo, a Maria namora o João.
Pode-se afirmar que é:
36. (UFPR-TCE) Considere as seguintes premissas:
Calvino escreveu “o visconde partido ao meio” ou Malraux escreveu “a morte do leão”. Se Saramago escreveu
“ensaio sobre a cegueira” então Rimbaud escreveu “a batalha”. Se Malraux escreveu “a morte do leão” então
Rimbaud não escreveu “a batalha”. Saramago escreveu “ensaio sobre a cegueira”.
Conclui-se que:
a) Calvino escreveu “O visconde partido ao meio” e Malraux escreveu “A morte do leão”.
b) Malraux não escreveu “A morte do leão” e Rimbaud não escreveu “A batalha”.
57
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
c) Rimbaud escreveu “A batalha” e Calvino não escreveu “O visconde partido ao meio”.
d) Calvino não escreveu “O visconde partido ao meio” ou Saramago não escreveu “Ensaio sobre a cegueira”.
e) Saramago escreveu “Ensaio sobre a cegueira” ou Malraux escreveu “A morte do leão”.
GABARITO
É válido.
01
É inválido.
02
É válido.
03
É inválido.
04
É válido.
05
É inválido.
06
B
07
É inválido.
08
Correta
09
É inválido.
10
É válido.
11
Errada
12
Errada
13
B
14
E
15
A
16
É inválido.
17
B
18
E
19
C
20
E
21
E
22
B
23
A
24
A
25
A
26
É inválido.
27
E
28
B
29
B
30
E
31
E
32
É válido.
33
B
34
É válido.
35
E
36
18. DIAGRAMAS LÓGICOS
Em 1777, o matemático Leonhard Euler escreveu um livro chamado “Cartas a uma princesa da Alemanha” no
qual explicava formas válidas de argumentação. Para isso, recorreu a diagramas para explicar a validade ou
não de argumentos, como os propostos a seguir.
Sejam dois conjuntos não vazios, estes podem ser relacionados entre si de três maneiras, como segue:
DIAGRAMAS
A
I
58
CONSIDERAÇÕES (AFIRMAÇÕES)
B
•No conjunto A e B, não existem
elementos comuns.
•A e B são disjuntos.
•A interseção entre A e B é igual ao
conjunto vazio.
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
•O conjunto A não está contido em B e
reciprocamente.
II
A
B
B
III
A
•A e B têm alguns elementos comuns,
não todos (pelo menos um).
•A interseção entre A e B é diferente do
conjunto vazio.
•Os elementos de A não estão todos em
B e reciprocamente.
•Todos os elementos de A são também
elementos de B.
•A está contido em B.
•B contém A.
•A interseção entre A e B é igual ao
conjunto A
NEGAÇÕES DAS PROPOSIÇÕES DO TIPO TODO, NENHUM, ALGUM E ALGUM NÃO
A
A
Negação de
Negação de
Todo A é B
Algum A não é B
é
é
Algum A não é B
Todo A é B
A
A
Negação de
Negação de
Nenhum A é B
Algum A é B
é
é
Algum A é B
Nenhum A é B
TESTES RESOLVIDOS
01. (UFPR-TCE) Sabe-se que alguns músicos são loucos e que todos os músicos são artistas. Além disso, é
sabido que todos os matemáticos são loucos e que alguns artistas são matemáticos. Com base nessas
afirmações, considere as seguintes afirmativas:
1. Alguns matemáticos são músicos.
2. Se um artista é matemático, então ele é louco.
3. Se um músico é louco, então ele é matemático.
4. Se um artista não é louco, então ele não é matemático.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 1 e 4 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 2 e 4 são verdadeiras.
RESOLUÇÃO
MU músicos
LO loucos
AR artistas
MT matemáticos
Algum
Todo
Todo
Algum
MU
MU
MT
AR
é
é
é
é
LO
AR
LO
MT
59
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Pacher
AR
LO
a
b
g
2
3
4
d
c
MT
MU
1
Raciocínio Lógico
f
e
Alguns matemáticos são músicos.
incorreto
Se um artista é matemático, então ele
é louco.
Se um músico é louco, então ele é
matemático.
Se um artista não é louco, então ele
não é matemático.
correto
incorreto
correto
MT ∩ MU =vazio, não há elementos
em comum
No diagrama acima, este elemento
está representado pela letra “c”.
MT ∩ MU =vazio, não há elementos
em comum.
No diagrama acima, este elemento
está representado pela letra “c” ou “g”
Resposta: alternativa E
02. (UFPR-TCE) Das alternativas abaixo, assinale aquela que corresponde a uma argumentação correta.
a) Toda pessoa elegante se veste bem. Como João se veste bem, então ele é elegante.
b) Todo cidadão honesto paga seus impostos. Como João não é honesto, então ele não paga seus impostos.
c) Todo cliente satisfeito deixa gorjeta para o garçom. Como João não deixou gorjeta para o garçom, então ele
não é um cliente satisfeito.
d) Todo bom empresário tem uma secretária eficiente. Como João não é um bom empresário, então a
secretária dele não é eficiente.
e) Todo político responsável promove projetos sociais. Como João não é um político responsável, então ele não
promove projetos sociais.
RESOLUÇÃO
I) Diagrama que representa a única alternativa correta.
Analizando a alternativa: c) Todo cliente satisfeito deixa gorjeta para o garçom, no diagrama pode ser
representado pelo elemento “a”. Como João não deixou gorjeta para o garçom, então ele não é um cliente
satisfeito, no diagrama pode ser representado pelo elemento “c”.
Resposta: alternativa C
03. CESGRANRIO) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas sejam
religiosos. Pode-se concluir que, se:
a) João é religioso, João é poliglota.
b) Pedro é poliglota, Pedro é professor.
c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor.
d) Antônio não é professor, Antônio não é religioso.
e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
60
RACIOCÍNIO LÓGICO
Prof. Pacher
Raciocínio Lógico
RESOLUÇÃO
I) O diagrama que atende o enunciado é o seguinte:
A alternativa que está corretamente construída, em relação ao enunciado.
e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
Quem não é religioso, está fora da região que representa todos os religiosos, portando deixa de ser: poliglota e
também deixa de ser professor. A alternativa E está enquadrada neste caso.
Resposta: alternativa E
04. O argumento
Todos os pássaros têm asas.
Todos os aviões têm asas.
Logo, todos os aviões são pássaros.
É inválido.
Porém, se trocarmos a conclusão por:
“Logo, todos os aviões não são pássaros”, o argumento ficará válido.
RESOLUÇÃO:
I) O diagrama formado pelas premissas
Todos os pássaros têm asas.
Todos os aviões têm asas.
é:
O diagrama acima, não atende a conclusão:
“Logo, todos os aviões são pássaros”.
Portanto é inválido.
II) Porém, se trocarmos a conclusão por:
“Logo, todos os aviões não são pássaros”, o argumento ficará válido.
Apesar de verdadeira a afirmação “Logo, todos os aviões não são pássaros”, a conclusão não decorre das
premissas. Fique atento, nenhuma premissa oferece informações para assim concluir.
Veja bem, a afirmação “Logo, todos os aviões não são pássaros”, é verdadeira.
Na sugestão para que se troque à conclusão, o argumento é inválido.
Resposta: Errada
61
RACIOCÍNIO LÓGICO
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Raciocínio Lógico
05. O argumento
Todos os quadrados são polígonos.
Todos os retângulos são polígonos.
Logo, todos os retângulos são quadrados.
É inválido.
Porém, se trocarmos a conclusão por:
Logo, “todos os quadrados são retângulos”, o argumento ficará válido.
RESOLUÇÃO
Do argumento que segue
Todos os quadrados são polígonos.
Todos os retângulos são polígonos.
Logo, todos os retângulos são quadrados.
As premissas apenas garantem a inclusão do conjunto dos quadrados no conjunto dos polígonos, assim como a
inclusão do conjunto dos retângulos no conjunto dos polígonos, nada garantindo quanto à relação entre os
conjuntos dos retângulos e dos quadrados.
Da geometria plana
------Definição do retângulo
Lados apostos paralelos e iguais, e ângulos internos iguais a 90º.
------Definição do quadrado
Lados apostos paralelos e iguais, e ângulos internos iguais a 90º.
Assim podemos afirmar que: Todo o quadrado é retângulo e ambos são polígonos.
Pelas informações das definições, será representado o diagrama que segue:
polígonos
retângulos
quadrados
O diagrama acima, não atende a conclusão:
“Logo, todos os retângulos são quadrados”.
Portanto é inválido.
II) Porém, se trocarmos a conclusão por:
“todos os quadrados são retângulos”
o argumento ficará válido.
Apesar de verdadeira a afirmação “todos os quadrados são retângulos” a conclusão não decorre das
premissas. Nenhuma premissa faz relação entre quadrado e retângulo, não oferecem informações para assim
concluir.
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Raciocínio Lógico
Na sugestão para que se troque à conclusão, o argumento é inválido.
Resposta: Errada
TESTES
01. (UnB-CESPE) Suponha-se que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
I -Todo brasileiro é artista.
II - Joaquim é um artista.
Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é brasileiro”, então a argumentação é correta.
02. (UFPR-TCE) Das alternativas abaixo, assinale aquela que corresponde a uma argumentação correta.
a) Toda pessoa elegante se veste bem. Como João se veste bem, então ele é elegante.
b) Todo cidadão honesto paga seus impostos. Como João não é honesto, então ele não paga seus impostos.
c) Todo cliente satisfeito deixa gorjeta para o garçom. Como João não deixou gorjeta para o garçom, então ele
não é um cliente satisfeito.
d) Todo bom empresário tem uma secretária eficiente. Como João não é um bom empresário, então a
secretária dele não é eficiente.
e) Todo político responsável promove projetos sociais. Como João não é um político responsável, então ele
não promove projetos sociais.
03. (CESPE-TCE-ES) Julgue os itens a seguir:
A seguinte argumentação é inválida.
Premissa 1: Todo funcionário que sabe lidar com orçamento conhece contabilidade.
Premissa 2: João é funcionário e não conhece contabilidade.
Conclusão: João não sabe lidar com orçamento.
04. (CESPE-TCE-ES) Julgue os itens a seguir:
A seguinte argumentação é válida.
Premissa 1: Toda pessoa honesta paga os impostos devidos.
Premissa 2: Carlos paga os impostos devidos.
Conclusão: Carlos é uma pessoa honesta.
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Raciocínio Lógico
05. (ESAF-AFCE TCU) Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo,
ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se
que, necessariamente,
a) todo responsável é artista
b) todo responsável é filósofo ou poeta
c) todo artista é responsável
d) algum filósofo é poeta
e) algum trabalhador é filósofo
06. (CESPE – MPE-AM/AG.ADM) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada
falsa, então a afirmativa “algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.
07. (ESAF-TCI) Se é verdade que “Nenhum artista é atleta”, então também será verdade que:
a) todos não-artistas são não-atletas
b) nenhum atleta é não-artista
c) nenhum artista é não-atleta
d) pelo menos um não-atleta é artista
e) nenhum não-atleta é artista
08. (CESGRANRIO-IBGE) Suponha que todos os professores sejam poliglotas e todos os poliglotas
sejam religiosos. Pode-se concluir que, se:
a) João é religioso, João é poliglota.
b) Pedro é poliglota, Pedro é professor.
c) Joaquim é religioso, Joaquim é professor.
d) Antônio não é professor, Antônio não é religioso.
e) Cláudio não é religioso, Cláudio não é poliglota.
09. (CESPE) Se a afirmativa “todos os beija-flores voam rapidamente” for considerada falsa, então a afirmativa
“algum beija-flor não voa rapidamente” tem de ser considerada verdadeira.
Considere os diagramas:
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Raciocínio Lógico
Nos diagramas acima, estão representados dois conjuntos de pessoas que possuem o diploma do curso
superior de direito, dois conjuntos de juízes e dois elementos desses conjuntos: Mara e Jonas. Julgue os itens
subsequentes tendo como referência esses diagramas e o texto.
10. (CESPE/2009 – TRT-17ª) A proposição “Mara é formada em direito e é juíza” é verdadeira.
11. (CESPE/2009 – TRT-17ª) A proposição “Se Jonas não é um juiz, então Mara e Jonas são formados em
direito” é falsa.
GABARITO
GABARITO
01
E
02
C
03
Errada
04
Errada
05
C
06
C
07
D
08
E
09
C
10
E
11
E
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