Espaços Vectoriais

ÁLGEBRA LINEAR
Exercı́cios - Espaços Vectoriais
Lic. Ciências da Computação
2009/2010
1. Seja n ∈ N. Mostre que IRn , algebrizado com as operações + : Rn ×Rn → Rn e · : R×Rn → Rn
definidas, respectivamente, por
(x1 , x2 , ..., xn ) + (y1 , y2 , ..., yn ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , ..., xn + yn ),
α · (x1 , x2 , ..., xn ) = (αx1 , αx2 , ..., αxn ),
para quaisquer α ∈ R e (x1 , x2 , ..., xn ), (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn , é um espaço vectorial real.
e ·) é um espaço vectorial real, onde +
e : R2 ×R2 → R2 e e· : R×R2 → R2
2. Verifique que (R2 , R, +,e
são as aplicações definidas por
e 1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 − 3),
(x1 , x2 )+(y
αe· (x1 , x2 ) = (αx1 , α(x2 − 3) + 3),
para quaisquer α ∈ R e (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 .
3. Prove que Mm×n (IR), algebrizado com as operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de um real por uma matriz, é um espaço vectorial real.
4. Verifique se são espaços vectoriais:
e ·) onde +
e : R+ × R+ → R+ e e· : R × R+ → R+ são as aplicações definidas,
(a) (R+ , R, +,e
respectivamente, por
e = x.y, ∀ x, y ∈ R+ ,
x+y
λe·x = xλ , ∀ λ ∈ R, ∀ x ∈ R+ .
e ·) onde +
e : R2 × R2 → R2 e e· : R × R2 → R2 são as aplicações definidas,
(b) (R2 , R, +,e
respectivamente, por
e 1 , y2 ) = (x1 + y1 , x2 + y2 ), ∀ (x1 , x2 ), (y1 , y2 ) ∈ R2 ,
(x1 , x2 )+(y
αe·(x1 , x2 ) = (0, αx2 ), ∀α ∈ R, ∀(x1 , x2 ) ∈ R2 .
e ·) onde +
e : RR × RR → RR e e· : R × RR → RR são as aplicações definidas,
(c) (RR , R, +,e
respectivamente, por
e
(f +g)(x)
= f (x) + g(x), ∀ x ∈ R,
(αe.f )(x) = α.f (x), ∀α ∈ R, ∀x ∈ R.
Nota: RR denota o conjunto de todas as aplicações de R em R.
(d) (Rn [x], R, +, ·) onde Rn [x] é o conjunto de todos os polinómios de coeficientes reais e de
grau menor ou igual a dois, + : Rn [x] × Rn [x] → Rn [x] é a soma usual de polinómios e
· : R × Rn [x] → Rn [x] é o produto de um polinómio de grau zero por um polinómio de
Rn [x].
1
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Exercı́cios - Espaços Vectoriais
5. Verifique se
(a) W1 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 − x2 = 0 e x2 + 2x4 = 0} é um subespaço vectorial do
espaço vectorial real R4 .
(b) W2 = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ R4 : x1 ∈ Q e x2 + 2x4 = 0} é um subespaço vectorial do espaço
vectorial real R4 .
(c) W3 = {(0, a, b, −1) : a, b ∈ R} é um subespaço vectorial do espaço vectorial real R4 .
(d) W4 = {a + bi ∈ C : a = 0} é um subespaço vectorial do espaço vectorial complexo C.
(e) W5 = {f ∈ RR : f (0) = 0} é um subespaço vectorial do espaço vectorial real RR .
(f) W6 = {f ∈ RR : f é sobrejectiva} é um subespaço vectorial do espaço vectorial real RR .
6. Considere o espaço vectorial C3 e, para cada t ∈ C, o conjunto
Vt = {(1 − t, (3 − t)x, t2 − 1) ∈ C3 : x ∈ C}.
Determine, caso existam, os valores de t para os quais Vt é subespaço vectorial do espaço
vectorial complexo C3 .
7. Considere os seguintes subespaços vectoriais do espaço vectorial real R3 :
V1 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0},
V2 = {(x, y, z) ∈ R3 : y + z = 0, y − z = 0},
V3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − 2y = 0, z = 0}.
(a) Mostre que
i. V2 = {(b, 0, 0) ∈ R3 : b ∈ R}.
ii. V3 = {(2a, a, 0) ∈ R3 : a ∈ R}.
(b) Diga, justificando, se:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
(7, 1, −2) ∈ V3 + V2 ;
V1 ⊆ V2 , V2 ⊆ V3 , V3 ⊆ V2 ;
V1 ∩ V3 , V2 + V3 , V1 ∪ V2 , V2 ∪ V3 são subespaços vectoriais do espaço vectorial R3 ;
R3 é soma directa de V1 e V3 ;
R3 é soma directa de V2 e V3 .
8. Sejam V um espaço vectorial sobre K, K ∈ {R, C}, e U , W subespaços vectoriais de V .
Mostre que V é soma directa de U e W se e só se cada vector de V se escreve, de modo único,
como soma de um elemento de U com um elemento de W .
9. Considere, no espaço vectorial real R3 , os vectores
v1 = (1, −1, 1),
v2 = (2, 1, −2),
u1 = (−1, 0, 1),
Verifique se
(a) (1, −4, 5) é combinação linear de v1 , v2 .
(b) (1, 2, 4) é combinação linear de v1 , v2 .
(c) (3, 0, 2) é combinação linear de u1 , u2 , u3 .
(d) (0, 2, 1) é combinação linear de u1 , u2 , u3 .
2
u2 = (1, 0, 0),
u3 = (1, 0, 1).
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10. Determine os subespaços vectoriais de R3 gerados por
(a) {(1, 1, 1)}
(b) {(0, 0, 0)}
(c) {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}
(d) {(1, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 3), (2, 3, 4)}
(e) {(1, 2, 3), (−2, −4, −6), (4, 8, 12)}
(f) {(1, 2, 3), (−2, −4, −6), (3, 6, 9}
11. Determine dois conjuntos distintos de geradores de cada um dos seguintes subespaços vectoriais de R4 :
(a) R4 ;
(b) {(a, c − a, c, 2c) ∈ R4 : a, c ∈ R};
(c) {(a, b, c, d) ∈ R4 : a + c = 0, 2b + d + c = 0}.
12. No espaço vectorial real R4 , sejam v1 = (1, 0, 0, −1), v2 = (1, −2, 0, 1), v3 = (0, 1, 0, −1) e
W = hv1 , v2 , v3 i. Indique, caso exista,
(a) um conjunto gerador de W que tenha exactamente 4 vectores.
(b) um conjunto {w1 , w2 , w3 } que gere W e tal que wj 6= v1 , ∀ j ∈ {1, 2, 3}.
(c) um conjunto gerador de W que tenha exactamente 2 vectores.
13. Considere o espaço vectorial complexo C3 . Mostre que
(a) {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} é um conjunto gerador de C3 .
(b) {(1, 0, 1), (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} é um conjunto gerador de C3 .
(c) {(1, 1, 0), (0, 0, 1)} não é um conjunto gerador de C3 .
14. Considere o espaço vectorial M3 (R) e os seus vectores


2 1
0
2 
A= 1 1
2 0 −1


0 1 0
B= 1 1 0 
−1 1 2


6 1 6
C= 1 1 6 
8 2 1
Escreva, se possı́vel, C como combinação linear de A e B.
15. Determine o subespaço vectorial do espaço vectorial real M2 (R) gerado por
½·
¸¾
½·
¸
·
¸¾
½·
¸
·
¸¾
1 0
1 0
0 0
1 0
0 1
(a)
,
(b)
,
,
(c)
,
0 1
0 0
0 1
0 1
−1 0
16. Sejam V um espaço vectorial sobre K, K ∈ {R, C}, e X, Y ⊆ V e W1 , W2 , U subespaços de
V . Mostre que
(a) Se X ⊆ Y , então hXi ⊆ hY i .
(b) hX ∪ Y i = hXi + hY i.
(c) Se W1 ⊆ U e W2 ⊆ U , então W1 + W2 ⊆ U .
(d) hW1 ∪ W2 i = W1 + W2 .
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Exercı́cios - Espaços Vectoriais
17. Diga se são linearmente independentes os vectores que se apresentam a seguir:
(a) (0, 1, 1, 0), (−1, 0, 1, 1), (1, 1, 0, −1) no espaço vectorial real R4 .
(b) (1, i, −i), (−i, 1, i), (i, −i, 1) no espaço vectorial complexo C3 .
(c) x2 + x, x2 + 1, x, x3 no espaço vectorial real R3 [x].
(d) f1 , f2 , f3 no espaço vectorial real RR onde
f2 : R → R
f1 : R → R
,
,
2
x 7→ cos x
x 7→ sin2 x
f3 : R → R
x 7→ x + 1
(e) f1 , f2 , f3 no espaço vectorial real RR onde f1 (x) = 2x + 1, f2 (x) = 3x + 2 e f3 (x) = 7x.
18. Verifique
dentes:
·
1
(a)
1
·
1
(b)
1
se os seguintes vectores do espaço vectorial real M2 (R) são linearmente indepen1
2
1
1
¸
·
,
¸
·
,
1 0
0 2
0 1
0 3
¸
·
,
¸
·
,
0 3
1 2
¸
·
,
¸
1 0
.
0 3
¸
2 6
.
4 6
19. Sejam V um espaço vectorial sobre K tal que dim V = n e v1 , ..., vn , vn+1 elementos de V tais
que V = hv1 , v2 , ..., vn i. Seja α ∈ K.
Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações seguintes.
(a) ( v1 , v2 ..., vn ) é uma base de V .
(b) Os vectores v1 , v2 , ..., vn , vn+1 são linearmente dependentes.
(c) Os vectores v1 , v2 , ..., αvi , ..., vn são linearmente independentes.
(d) Os vectores v1 , v2 , ..., vi−1 , vi + αvj , vi+1 , ..., vn são linearmente independentes.
20. Considere, no espaço vectorial real R4 , os subespaços
U = {(a1 , a2 , a3 , a4 ) ∈ R4 : a1 − a4 = 0, a4 − a3 = 0}
W1 = {(b1 , b2 , b3 , b4 ) ∈ R4 : b2 + 2b3 = 0, b1 + 2b3 − b4 = 0}
W2 =< (1, 1, 1, 0), (−1, 1, 0, 1), (1, 3, 2, 1), (−3, 1, −1, 2) >.
(a) Diga, justificando, se {(1, 1, 1, 1), (0, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 1)} é uma base de U .
(b) Determine uma base de
i. W1 .
ii. W2 .
21. Determine uma base de W ∩ U e uma base de W + U onde
(a) W =< ((0, 0, −1), (1, 0, 2) > e U =< (0, 1, 1), (−1, 3, 2) > são subespaços do espaço
vectorial real R3 .
(b) W = {x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ C4 : x1 + 2x4 = 0} e U = {(x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ C4 : x1 + x2 + x4 = 0}
são subespaços do espaço vectorial complexo C4 .
22. Considere os seguintes vectores do espaço vectorial real R3 :
v1 = (α, 6, −1), v2 = (1, α, −1), v3 = (2, α, −3).
(a) Determine os valores do parâmetro real α para os quais o conjunto {v1 , v2 , v3 } é uma
base de R3 .
(b) Para um dos valores de α determinados na alı́nea anterior, calcule as coordenadas do
vector v = (−1, 1.2) em relação à base {v1 , v2 , v3 }.
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Exercı́cios - Espaços Vectoriais
23. Indique, se existir, uma base do espaço vectorial real R4 da qual façam parte os vectores:
(a) (1, 0, −1, 2), (1, 0, 1, 0).
(b) (0, 1, 1, −1), (0, 1, 0, 2), (0, 2, 1, 1).
(c) (1, −1, −1, 2), (0, 1, 2, 0), (1, 0, 1, −2).
24. Sejam V um espaço vectorial real, W, U subespaços de V , {w1 , w2 , w3 , w4 } uma base de W e
{u1 , u2 , u3 } uma base de U . Sendo z1 = 2w1 + w2 − w3 = u1 + 2u2 e z2 = −w2 + w4 = u2 − u3 ,
admita que {z1 , z2 } é base de W ∩ U .
Indique, justificando,
a) uma base de W que inclua z1 , z2 .
c) uma base de W + U .
b) uma base de U que inclua z1 , z2 .
25. Determine um suplementar de
(a) W =< (−1, 2, 1), (1, 1, 1) > relativamente a R3 .
(b) U =< 3x4 + x2 , 2x, −3x4 , x2 + x > relativamente a R4 [x].
(c) F = {(a, b, c, d) ∈ C4 : 2a + b e c = 0} relativamente a C4 .
26. Considere os seguintes subespaços vectoriais do espaço vectorial real R3 :
V1 = {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0},
V2 = {(x, y, z) ∈ R3 : y + z = 0, y − z = 0},
V3 = {(x, y, z) ∈ R3 : x − y = 0, 2y + z = 0},
V4 = {(x, y, z) ∈ R3 : x + y = 0}.
(a) Diga, justificando, se é directa cada uma das seguintes somas de subespaços:
i. V1 + V3 .
ii. V1 + V2.
iii. V3 + V4.
(b) Verifique que
i. R3 é soma directa de V2 e V4 .
ii. R3 não é soma directa de V1 e V2 .
27. Sejam V um espaço vectorial sobre K, K ∈ {R, C}, de dimensão finita e W, U subespaços de
V . Diga, justificando, se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações seguintes:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
Se
Se
Se
Se
Se
Se
dimW ≤ dimU, então W ⊆ U .
dimW = dimU, então dim(W + U) = dimW + dimU.
dimU + dimW = dimV, então V é soma directa de U e W .
dim(U + W) = dimV, então V é soma directa de U e W .
dim(U + W) = dimU + dimW, então V é soma directa de U e W .
V é soma directa de U e W , então dim(U + W) = dimU + dimW.
28. Considere, no espaço vectorial complexo C4 , o subespaço
W =< (1, 0, 0, 2), (−1, 0, 1, 2), (0, i, 0, 0) > .
(a) Mostre que, se U é um subespaço de C4 tal que dimU = 2 e U ∩ W =< (0, 1, 0, 0) >,
então U + W = C4 .
(b) Dê exemplo de um subespaço U de C4 tal que dimU = 2 e U ∩ W =< (0, 1, 0, 0) >.
Justifique.
5