Determinantes. - Imecc

Roteiro da aula
MA092 – Geometria plana e analı́tica
Determinantes.
Francisco A. M. Gomes
1
Determinantes
2
Aplicações do determinante
3
Exercı́cios
UNICAMP - IMECC
Novembro de 2016
Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092
IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Novembro de 2016
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IMECC)
– Geometria plana e analı́tica
Determinantes
Determinantes de matrizes 1 × 1 e 2 × 2
Problemas
O determinante de uma matriz A = [a11 ] (matriz 1 × 1) é a11 .
É possı́vel saber se uma matriz quadrada A é inversı́vel sem
determinar A−1 ?
ex: Se A = [ 8 ], então det(A) = 8.
2
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Determinantes
Determinante
1
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O determinante de uma matriz A =
É possı́vel determinar se um sistema linear cuja matriz de
coeficientes é A tem solução única sem tentar resolvê-lo?
a11 a12
a21 a22
Essas duas perguntas podem ser respondidas usando o
−
determinante da matriz A.
O determinante é um número real associado a uma matriz
quadrada, e é representado por
Ex: Se A =
é dado por
= a11 a22 − a12 a21
+
det(A) = 3 · 1 − 2 · 5 = 3 − 10 = −7
|A| ou det(A).
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3 2
5 1
a11 a12
a21 a22
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Determinantes
Determinantes
Determinantes de matrizes 3 × 3
Exemplo
O determinante de uma matriz 3 × 3 é dado pela regra de Sarrus:


4
2 −1
3
0 
Calcule o determinante de B =  −2
1 −6
5
Ao lado direito da matriz, anexe uma cópia das colunas 1 e 2.
Calcule os produtos indicados pelas setas da figura abaixo.
Some os produtos das setas azuis e subtraia os produtos das setas
vermelhas.
a11 a12 a13 a11 a12
−
+
+
4
2
−2
3
0
−2
3
−(−1) · 3 · 1 − 4 · 0 · (−6) − 2 · (−2) · 5
+
det(B) = 60 + 0 − 12 + 3 + 0 + 20 = 71
−a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33
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Determinantes
j=1
ou
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Exemplo: Determinante de uma matriz 4 × 4
O determinante de uma matriz An×n (com n ≥ 2) é dado por
a1j · (−1)1+j · D1j
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Determinantes
Determinantes de matrizes n × n
n
X
−6
5
1 −6
−
− +
+
+
det(B) = 4 · 3 · 5 + 2 · 0 · 1 + (−1) · (−2) · (−6)
det(A) =a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a33
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−1
1
a31 a32 a33 a31 a32
−
2
−
a21 a22 a23 a21 a22
−
4
n
X
1
−2
5
−4
ai1 · (−1)i+1 · Di1
i=1
−2
0
−4
3
0
3
1
−2
4
−1
= 1 · (−1)1+1 · D11 + (−2) · (−1)1+2 · D12 +
2
0 · (−1)1+3 · D13 + 4 · (−1)1+4 · D14
1
em que
0
Dij , chamado menor complementar do elemento aij é o
determinante da matriz obtida eliminando-se a linha i e a coluna j
de A;
2
Det = 1 · (−1) · −4
3 −1
1
3 −2
−2
3
2 − 2 · (−1) ·
1
o termo (−1)i+j · Dij é chamado cofator de aij .
Ou seja, o determinante é dado pela soma dos elementos da
(ou 1a coluna) pelos seus cofatores.
1a
linha i
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+ 0 · (−1) · D13
5
+ 4 · (−1) ·
1
2
−4 −2
1
−2
0
3
5 −4
1
−4
Podemos usar outra linha (ou coluna) da matriz A, em lugar da 1a .
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4
5
3 −1
3 −2
Det = 1 · 1 · 25 + (−2) · (−1) · (−43) + 0 + 4 · (−1) · (−13) = −9
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Determinantes
Aplicações do determinante
Propriedades do determinante
Descobrindo se um sistema tem solução única
Propriedades
Teorema
Um sistema com matriz de coeficientes A tem solução única se e
somente se det(A) 6= 0.
a) Se uma linha ou coluna da matriz só contém zeros, o determinante é
zero.
0 2 =0·1−2·0=0
A=
0 1 b) det(AT ) = det(A)
c) det(A−1 ) = 1/det(A)
Exemplo: Verifique se o sistema abaixo tem solução única

 3x +2y −z = 4
x −y +2z = 2

5x
+3z = 8
3
2 −1 1 −1
2 = −9 + 20 + 0 − 5 − 0 − 6 = 0
5
0
3 d) det(AB) = det(A) · det(B)
Como det(A) = 0 o sistema não tem solução única
(pode ser insolúvel ou ter infinitas soluções)
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Aplicações do determinante
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Aplicações do determinante
Descobrindo se uma matriz é inversı́vel
Encontrando a área de um triângulo
Teorema
Uma matriz quadrada A tem inversa se e somente se det(A) 6= 0.
Teorema
Dado um triângulo ABC com
vértices A(xA , yA ), B(xB , yB ) e
C(xC , yC ) no plano cartesiano, a
área de ∆ABC é dada por
Exemplo: Verifique se a matriz abaixo é inversı́vel


1 4 −3
1 
A= 0 2
3 8
6
1
|det(M )|
2
em que
1 4 −3 0 2
1 = 12 + 12 + 0 + 18 − 8 − 0 = 34
3 8
6 x A yA 1 M = xB yB 1 x C yC 1 Como det(A) 6= 0 a matriz A tem inversa
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Aplicações do determinante
Aplicações do determinante
Encontrando a área de um triângulo
Encontrando a equação da reta
Exemplo
Encontre a área do triângulo abaixo
Teorema
A reta que passa pelos pontos (x1 , y1 )
x y 1
x1 y1 1
x2 y2 1
Nesse caso.

M =
−2 −1
2
3
4
1

1
1 
1
det(M ) = −6 − 4 + 2 − 12 + 2 + 2
det(M ) = −16
Observe que isso é equvalente a pedir que a área do triângulo com
vértices (x, y), (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) seja igual a zero.
Exemplo: Encontrar a
x
y
−2
3
4 −1
1
Área = | − 16| = 8.
2
e (x2 , y2 ) é descrita pela equação
= 0.
equação que passa por (−2, 3) e (4, −1).
1 1 = 3x + 4y + 2 − 12 + x + 2y = 0
1 A equação é 4x + 6y − 10 = 0, ou 4x + 6y = 10
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 1
Exercı́cio 2
Problema
Calcule o determinante da matriz abaixo.
2 −3
A=
4
8
Problema
Calcule o determinante da matriz abaixo.


5 2 −1
3 
A= 2 4
6 0 −5
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 3
Exercı́cio 4
Problema
Problema
O sistema abaixo tem solução única?

3
 4x −y +2z =
x +2y +3z = −2

4y +5z =
6
Seja A uma matriz tal que det(A) = −5. Nesse caso, det(A−1 ) vale
A) 5
B) −5
C) 1/5
D) −1/5
Sim, pois det(A) = 5
E) −5 − 1 = 6
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 5
Exercı́cio 6
Problema
Determine a área do triângulo com vértices A(−2, 0), B(3, −1) e
C(2, 4).
Problema
Determine a equação da reta que passe pelos pontos A(−1, −2) e
B(3, 2).
Área = 12
−4x + 4y + 4 = 0
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