MA092 – Geometria plana e analítica - Conceitos - Imecc

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Conceitos básicos
Noções primitivas
MA092 – Geometria plana e analı́tica
Conceitos básicos
Francisco A. M. Gomes
Ponto, reta e plano
Um ponto não tem dimensão, e é representado por uma letra
maiúscula (A, B, C, ...)
UNICAMP - IMECC
Agosto de 2016
Uma reta tem uma dimensão, e é representada por uma letra
minúscula (r, s, t, ...)
Um plano tem duas dimensões, e é representado por uma letra
grega maiúscula (α, β, γ, ...)
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Conceitos básicos
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Axiomas básicos
Pontos e retas
Primeiros axiomas sobre retas e planos
A1 Uma reta continua indefinidamente.
Definição e axioma sobre reta
D1 Pontos que pertencem a uma mesma reta são ditos colineares.
A, B e C são colineares. A, B e V não são colineares.
A2 Uma reta contém infinitos pontos (a figura mostra A ∈ r e B ∈ r,
mas há infinitos pontos entre A e B).
A3 Um plano contém infinitas retas
(a figura mostra t ⊂ α e s ⊂ α. Há, por exemplo, infinitas retas
em α que cruzam com t).
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A4 Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por
eles. s é a única reta que passa por P e Q. Assim, escrevemos
←→
s = P Q.
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Conceitos básicos
Conceitos básicos
Planos
Exercı́cio 1
Problema
Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da afirmação
ser falsa, exiba um contraexemplo.
Definição e axiomas sobre planos
D2 Pontos que pertencem a um mesmo plano são ditos coplanares.
A, B e C são coplanares.
A5 Três pontos não colineares definem um único plano que os
contém. A, B e C definem α.
A) Por um ponto passam infinitas retas.
B) Dois pontos distintos determinam uma única reta.
C) Por três pontos dados passa uma só reta.
D) Três pontos distintos são sempre coplanares.
A6 Se dois pontos distintos (de uma reta) pertencem a um plano,
então a reta está contida nesse plano. Como A, B ∈ α e A 6= B,
←→
temos AB ⊂ α.
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Segmentos e semirretas
Relações entre segmentos de reta
Definições
D3 Dados dois pontos distintos de uma reta, o conjunto formado por
esses pontos e todos os pontos que estão entre eles é denominado
segmento de reta.
AB é um segmento com extremidades A e B.
Definições
D5 Dois segmentos de reta podem ser:
a) Consecutivos, se possuem uma extremidade comum.
Ex: AB e BC.
b) Colineares, se estão contidos em uma mesma reta.
Ex: P Q, P R, P S, QR, QS e RS.
c) Adjacentes, se são consecutivos e colineares e só possuem
um ponto comum. Ex: QR e RS.
D4 Um ponto pertencente a uma reta divide a reta em duas
semirretas que têm o ponto como origem.
O ponto O divide r em uma semirreta vermelha e outra azul.
−−→
P Q também é uma semirreta.
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Exercı́cio 2
Congruência de segmentos
Problema
Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da afirmação
ser falsa, exiba um contraexemplo.
A) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.
B) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.
C) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes.
Definição
D6 Dois segmentos de reta são congruentes se, postos um sobre o
outro, todos os seus pontos coincidem.
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Comprimento de segmentos
Semiplanos
Definição
D7 A cada segmento de reta associamos um número real
denominado comprimento, de modo que:
a) Segmentos congruentes têm comprimentos iguais.
b) Se um segmento é maior que outro, seu comprimento é
maior que o desse outro.
c) O comprimento da soma de dois segmentos é a soma dos
comprimentos dos segmentos.
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Definição
D8 Uma reta r de um plano α separa esse plano em dois conjuntos
α0 e α00 .
Cada um dos conjuntos de pontos r ∪ α0 e r ∪ α00 é chamado
semiplano.
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Ângulos
Ângulos
Ângulo
Ângulos consecutivos e adjacentes
Definições
D9 A reunião de duas semirretas de mesma origem é chamada
ângulo.
Definições
D11 Dois ângulos são consecutivos se possuem um lado comum.
D12 Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos
internos em comum.
AÔC e B ÔC são consecutivos, mas não adjacentes.
AÔB e B ÔC são consecutivos e adjacentes.
D10 A origem das semirretas é o vértice do ângulo.
−→ −−→
O ângulo AÔB tem vértice O e lados OA e OB.
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Ângulos
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Ângulos
Ângulos opostos pelo vértice e suplementares adjacentes
Definições
D13 Dois ângulos são opostos pelo vértice se são formados pela
interseção de duas retas e não são consecutivos.
RÔQ e P ÔS são opostos pelo vértice.
←→
−−→
D14 Dado um ponto O sobre a reta AB e dada a semirreta OC, os
ângulos AÔC e C ÔB são suplementares adjacentes.
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Ângulos congruentes e retos
Definições
D15 Dois ângulos são congruentes se, postos um sobre o outro,
todos os seus elementos coincidem.
D16 Um ângulo congruente a seu suplementar adjacente é dito
ângulo reto. AÔB e DÔC são retos.
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Ângulos
Ângulos
Medidas de ângulos
Ângulos agudos e obtusos
Definições
D17 A medida usual de um ângulo é o grau.
Um grau (1◦ ) corresponde a 1/90 da medida de um ângulo reto
(que tem, portanto, 90◦ ).
Definições
D20 Um ângulo é agudo se mede menos que 90◦ .
P ÔQ é agudo.
D21 Um ângulo é obtuso se mede mais que 90◦ .
J K̂L é obtuso.
1 ◦
D18 Um grau é dividido em 60 minutos (10 = ( 60
) ).
1 0
D19 Um minuto é dividido em 60 segundos (100 = ( 60
) ).
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Ângulos
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Exercı́cios
Ângulos complementares e suplementares
Exercı́cio 3
Problema
Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da afirmação
ser falsa, exiba um contraexemplo.
Definições
D22 A medida da soma de dois ângulos é a soma das medidas desss
ângulos.
A) Dois ângulos adjacentes são consecutivos.
B) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos.
C) Dois ângulos complementares são adjacentes.
D23 Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é
90◦ . AÔC e B ÔC são complementares.
D24 Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é
180◦ . P Q̂S e RQ̂S são suplementares.
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Exercı́cios
Exercı́cios
Exercı́cio 4
Exercı́cio 5
Problema
P , Q e R são três pontos distintos de uma reta.
Problema
Calcule o suplemento de um ângulo que mede 72◦ .
Determine as medidas dos segmentos P Q e QR, sabendo que
P Q é igual ao triplo de QR.
P R = 32 cm.
108◦
P Q = 24 cm e QR = 8 cm, ou P Q = 48 cm e QR = 16 cm.
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Exercı́cios
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Exercı́cios
Exercı́cio 6
Exercı́cio 7
Problema
Calcule o complemento de um ângulo que mede 54◦ 150 .
Problema
Determine a medida do ângulo que vale o triplo de seu complemento.
35◦ 450
67, 5◦
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