MA092 – Geometria plana e analítica - Conceitos - Imecc
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Conceitos básicos Noções primitivas MA092 – Geometria plana e analı́tica Conceitos básicos Francisco A. M. Gomes Ponto, reta e plano Um ponto não tem dimensão, e é representado por uma letra maiúscula (A, B, C, ...) UNICAMP - IMECC Agosto de 2016 Uma reta tem uma dimensão, e é representada por uma letra minúscula (r, s, t, ...) Um plano tem duas dimensões, e é representado por uma letra grega maiúscula (α, β, γ, ...) Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 1 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Conceitos básicos Agosto de 2016 2 / 23 Conceitos básicos Axiomas básicos Pontos e retas Primeiros axiomas sobre retas e planos A1 Uma reta continua indefinidamente. Definição e axioma sobre reta D1 Pontos que pertencem a uma mesma reta são ditos colineares. A, B e C são colineares. A, B e V não são colineares. A2 Uma reta contém infinitos pontos (a figura mostra A ∈ r e B ∈ r, mas há infinitos pontos entre A e B). A3 Um plano contém infinitas retas (a figura mostra t ⊂ α e s ⊂ α. Há, por exemplo, infinitas retas em α que cruzam com t). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 3 / 23 A4 Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles. s é a única reta que passa por P e Q. Assim, escrevemos ←→ s = P Q. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 4 / 23 Conceitos básicos Conceitos básicos Planos Exercı́cio 1 Problema Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da afirmação ser falsa, exiba um contraexemplo. Definição e axiomas sobre planos D2 Pontos que pertencem a um mesmo plano são ditos coplanares. A, B e C são coplanares. A5 Três pontos não colineares definem um único plano que os contém. A, B e C definem α. A) Por um ponto passam infinitas retas. B) Dois pontos distintos determinam uma única reta. C) Por três pontos dados passa uma só reta. D) Três pontos distintos são sempre coplanares. A6 Se dois pontos distintos (de uma reta) pertencem a um plano, então a reta está contida nesse plano. Como A, B ∈ α e A 6= B, ←→ temos AB ⊂ α. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 5 / 23 Conceitos básicos Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 6 / 23 Conceitos básicos Segmentos e semirretas Relações entre segmentos de reta Definições D3 Dados dois pontos distintos de uma reta, o conjunto formado por esses pontos e todos os pontos que estão entre eles é denominado segmento de reta. AB é um segmento com extremidades A e B. Definições D5 Dois segmentos de reta podem ser: a) Consecutivos, se possuem uma extremidade comum. Ex: AB e BC. b) Colineares, se estão contidos em uma mesma reta. Ex: P Q, P R, P S, QR, QS e RS. c) Adjacentes, se são consecutivos e colineares e só possuem um ponto comum. Ex: QR e RS. D4 Um ponto pertencente a uma reta divide a reta em duas semirretas que têm o ponto como origem. O ponto O divide r em uma semirreta vermelha e outra azul. −−→ P Q também é uma semirreta. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 7 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 8 / 23 Conceitos básicos Conceitos básicos Exercı́cio 2 Congruência de segmentos Problema Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da afirmação ser falsa, exiba um contraexemplo. A) Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos. B) Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares. C) Se dois segmentos são consecutivos, então eles são adjacentes. Definição D6 Dois segmentos de reta são congruentes se, postos um sobre o outro, todos os seus pontos coincidem. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 9 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Conceitos básicos 10 / 23 Conceitos básicos Comprimento de segmentos Semiplanos Definição D7 A cada segmento de reta associamos um número real denominado comprimento, de modo que: a) Segmentos congruentes têm comprimentos iguais. b) Se um segmento é maior que outro, seu comprimento é maior que o desse outro. c) O comprimento da soma de dois segmentos é a soma dos comprimentos dos segmentos. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 Agosto de 2016 Definição D8 Uma reta r de um plano α separa esse plano em dois conjuntos α0 e α00 . Cada um dos conjuntos de pontos r ∪ α0 e r ∪ α00 é chamado semiplano. 11 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 12 / 23 Ângulos Ângulos Ângulo Ângulos consecutivos e adjacentes Definições D9 A reunião de duas semirretas de mesma origem é chamada ângulo. Definições D11 Dois ângulos são consecutivos se possuem um lado comum. D12 Dois ângulos consecutivos são adjacentes se não têm pontos internos em comum. AÔC e B ÔC são consecutivos, mas não adjacentes. AÔB e B ÔC são consecutivos e adjacentes. D10 A origem das semirretas é o vértice do ângulo. −→ −−→ O ângulo AÔB tem vértice O e lados OA e OB. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 13 / 23 Ângulos Agosto de 2016 14 / 23 Ângulos Ângulos opostos pelo vértice e suplementares adjacentes Definições D13 Dois ângulos são opostos pelo vértice se são formados pela interseção de duas retas e não são consecutivos. RÔQ e P ÔS são opostos pelo vértice. ←→ −−→ D14 Dado um ponto O sobre a reta AB e dada a semirreta OC, os ângulos AÔC e C ÔB são suplementares adjacentes. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 15 / 23 Ângulos congruentes e retos Definições D15 Dois ângulos são congruentes se, postos um sobre o outro, todos os seus elementos coincidem. D16 Um ângulo congruente a seu suplementar adjacente é dito ângulo reto. AÔB e DÔC são retos. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 16 / 23 Ângulos Ângulos Medidas de ângulos Ângulos agudos e obtusos Definições D17 A medida usual de um ângulo é o grau. Um grau (1◦ ) corresponde a 1/90 da medida de um ângulo reto (que tem, portanto, 90◦ ). Definições D20 Um ângulo é agudo se mede menos que 90◦ . P ÔQ é agudo. D21 Um ângulo é obtuso se mede mais que 90◦ . J K̂L é obtuso. 1 ◦ D18 Um grau é dividido em 60 minutos (10 = ( 60 ) ). 1 0 D19 Um minuto é dividido em 60 segundos (100 = ( 60 ) ). Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 17 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Ângulos Agosto de 2016 18 / 23 Exercı́cios Ângulos complementares e suplementares Exercı́cio 3 Problema Indique quais afirmações abaixo são verdadeiras. No caso da afirmação ser falsa, exiba um contraexemplo. Definições D22 A medida da soma de dois ângulos é a soma das medidas desss ângulos. A) Dois ângulos adjacentes são consecutivos. B) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos. C) Dois ângulos complementares são adjacentes. D23 Dois ângulos são complementares se a soma de suas medidas é 90◦ . AÔC e B ÔC são complementares. D24 Dois ângulos são suplementares se a soma de suas medidas é 180◦ . P Q̂S e RQ̂S são suplementares. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 19 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 20 / 23 Exercı́cios Exercı́cios Exercı́cio 4 Exercı́cio 5 Problema P , Q e R são três pontos distintos de uma reta. Problema Calcule o suplemento de um ângulo que mede 72◦ . Determine as medidas dos segmentos P Q e QR, sabendo que P Q é igual ao triplo de QR. P R = 32 cm. 108◦ P Q = 24 cm e QR = 8 cm, ou P Q = 48 cm e QR = 16 cm. Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 21 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Exercı́cios Agosto de 2016 22 / 23 Exercı́cios Exercı́cio 6 Exercı́cio 7 Problema Calcule o complemento de um ângulo que mede 54◦ 150 . Problema Determine a medida do ângulo que vale o triplo de seu complemento. 35◦ 450 67, 5◦ Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 23 / 23 Francisco A. M. Gomes (UNICAMP -MA092 IMECC) – Geometria plana e analı́tica Agosto de 2016 24 / 23
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