Resolução do Simulado (08/Maio) Semi Questão 1. Item 01

Resolução do Simulado (08/Maio)
Semi
Questão 1.
Item 01. Verdadeiro. O número total de samambaias será dado pelo produto do
número de quadrantes pela quantidade de samambaias em cada quadrante. At.B
representa esse resultado.
Item 02. Falso. Utilizando algumas propriedades dos determinantes como:
det(A.B) = det(A).det(B) e det(kA) = k n .det(A) podemos perceber que:
det(2.A.B2 ) = 23.det(A).det(B).det(B)
Substituindo det(A) = 5 e det(B) = 3, temos:
det(2.A.B2 ) = 23.(5)(3)(3) = 360
Diferente de 90 como o item afirmava.
Obs. A resposta de 90 seriam encontrada se na propriedade det(kA) = k n .det(A) , a
constante k não fosse elevada a potência de igual valor a ordem da matriz quando
“retirada” do determinante.
Item 04. Verdadeiro. Devemos calcular a inversa da matriz A dada. Lembre-se que
a matriz inversa existe apenas se o determinante for diferente de zero e para
calcular a matriz inversa de um matriz de ordem 2 basta trocar a os elementos da
diagonal principal de posição, os elementos da diagonal secundária trocam-se os
sinais e dividem-se todos os elementos pelo valor do determinante. Outra maneira
de achar a matriz inversa é utilizando a propriedade de que o produto de uma
matriz pela sua inversa é igual a matriz identidade de mesma ordem.
⎛ 3 −2 ⎞
A=⎜
⎝ 1 1 ⎟⎠
⎛
⎜
A −1 = ⎜
⎜
⎜⎝
1
5
−1
5
2
5
3
5
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟⎠
Item 08. Falso. Dada a matriz A de ordem 5x7 e a matriz B 7x5. A matriz A.B terá
uma ordem de 5x5. Sendo assim, a matriz (A.B)2 também será de ordem 5x5, visto
que (A.B)2 = (A.B)(A.B). Como a ordem de (A.B)2 é 5x5, esta matriz possui 25
elementos, pois são 5 colunas com 5 elementos em cada coluna.
Questão 2.
Item 01. Falso. Dada hipotenusa 12 e lado BC = 6, podemos calcular AB e
acharemos o valor de 6 3 através do Teorema de Pitágoras. Como M é ponto
médio de BC, então BM = 3. Tendo AB e BM, podemos utilizar a tangente do ângulo
6 3
= 2 3 . Como 2 3 é maior do que a tg(45o), então temos que
AMB. tg(AMB) =
3
o ângulo AMB é maior do que 45o.
Item 02. Verdadeiro. Devemos aplicar sucessivamente o Teorema de Pitagóras
para calcular as diagonais até encontrar o valor de x. Calculando a primeira
diagonal (a menor, que é hipotenusa do triângulo retângulo menor de lados 1),
teremos o valor 2 , calculando a segunda teremos o valor de 3 , a terceira e
maior diagonal terá medida igual a 2. Aplicando o Teorema de Pitágoras no maior
triângulo retângulo, acharemos o valor de x = 5 . Assim sendo, x é irracional.
Item 04. Verdadeiro. Utilizando algumas propriedades, podemos simplificar a
expressão. Temos:
Como 40o e 140o são suplementares, então possuem cossenos opostos. E como 70o
e 20o são complementares, cos(20o) = sen(70o) e cos(70o) = sen(20o). Substituindo
na expressão cos(140o) por ( - cos(40o)) e cos(20o) por sen(70o) teremos:
E = cos(20) + cos(40) − sen(70) + cos(140)
E = sen(70) + cos(40) − sen(70) − cos(40)
E=0
Item 08. Verdadeiro. Calcular o ângulo formado pelos ponteiros do relógio que
marca 16:16 é semelhante a calcular o ângulo formado pelos ponteiros do relógio
que marca 4:16. Utilizando a fórmula para ângulo dos ponteiros, teremos:
60h −11min
α=
2
60.(4) −11.(16)
α=
2
α = 32 o
o
Como o complemento de 32 é 56o como o item afirmava, o item se torna
verdadeiro.
Observação: Se você utilizar o horário de 16:16 para calcular deve ter encontrado
como valor para o ângulo igual a 392o. Como 392o representa um ângulo que é
mais de uma volta no ciclo trigonométrico, deve-se subtrair 360o e chegar no
ângulo de 32o formado pelos ponteiros do relógio.
Questão 3.
Item 01. Verdadeiro. Como Magali pode pedir até três bolas de sorvete, ela
poderá escolher entre os 6 sabores um deles se optar por apenas 1 bola de sorvete,
dois deles se optar por 2 bolas de sorvete e três deles se optar por 3 bolas de
sorvete. Se optar por 1 bola, trata-se de uma combinação de 6 tomados 1 a 1, onde
em seis sabores Magali deve escolher 1. Se optar por 2 bolas, trata-se de uma
combinação de 6 tomados 2 a 2. Se optar por 3 bolas então será uma combinação
de 6 tomados 3 a 3. Temos então: C16 + C26 + C36 = 6 +15 + 20 = 41. O item afirma que
quantidade de maneiras de Magali pedir o sorvete é um número primo, ou seja,
como 41 é primo o item é verdadeiro.
Item 02. Verdadeiro. Até 28 pessoas podemos ter quatro pessoas nascendo no
mesmo dia, isso ocorreria em todos os dias já que 7 (dias da semana) vezes 4
(quantidade de pessoas por dia) é igual a 28. Ao adicionarmos uma pessoa, um dia
passaria a ter 5 pessoas fazendo aniversário naquele dia da semana e teríamos 29
pessoas. Simulando um caso, teremos:
Domingo Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Item 04. Verdadeiro. Como os binomiais são complementares, teremos que 11 =
(x+3y) e que 4x + y = 11 = x + 3y. Temos então o sistema de equações seguinte:
⎧⎪ x + 3y = 11
, multiplicando-se a primeira equação por (-4) e somando a segunda,
⎨
⎪⎩ 4x + y = 11
teremos:
⎧⎪ x + 3y = 11
⎧⎪ −4x −12y = −44
⇒⎨
⇒ −11y = −33 ⇒ y = 3
⎨
4x + y = 11
4x + y = 11
⎩⎪
⎩⎪
Substituindo o valor de y, acharemos então x = 2. Como o item afirma que a soma
x + y é ímpar, x + y é 5, então o item se torna verdadeiro.
Item 08. Falso. Note que pela disposição das peças do dominó de 6, podemos
calcular utilizando soma de P.A. A primeira coluna contém 7 peças e a sétima
coluna contém 1 peça. Como queremos a quantidade de peças de um dominó de
10, a primeira coluna terá 11 peças e terão 11 colunas. Ou seja:
(a + a )n
SPA = 1 n ,
2
(11+1)11
,
S=
2
S = 66 .
O dominó de 10 terá 66 peças. Sabendo o total de peças do dominó, as peças que
nos interessam são as que possuem os números um ou dez. Como o dominó vai
até o 10, tem-se 11 peças com o número 10 e 11 peças com o número 1. Dessas 11
peças de 10 e 1, uma delas é a peça que combina o 10 e o 1, ou seja, 11 peças com
10 + 11 peças com 1 darão um total de 22 que devemos subtrair uma peça pois
uma delas pertence aos dois conjuntos, dando um total de 21 peças de interesse. A
probabilidade será de 2166 = 7 22 , diferente do que o item afirma.
Questão 4.
Item 01. Falso. Termo independente no binômio é o coeficiente numérico de x0.
Para isso podemos calcular o termo geral da seguinte forma:
⎛ 5 ⎞ 2 5−p
p
Tp+1 = ⎜
. x
. −x −3
⎟
⎝ p ⎠
( ) (
)
Analisando apenas o x, queremos que o seu expoente seja zero, ou seja:
( x ) .( −x )
2 5−p
−3 p
= x0
x10−2p .x −3p = x 0
x10−5p = x 0
10 − 5p = 0
5p = 10
p=2
Como p = 2, podemos calcular o termo geral substituindo p por 2 e teremos:
⎛ 5 ⎞
T2+1 = ⎜
= 10
⎝ 2 ⎟⎠
Item é falso por afirmava que o termo independente seria 5.
Item 02. Verdadeiro. Para formarmos triângulos, devemos ter dois casos:
1o caso: Tomando-se 2 pontos na reta r e 1 na reta s.
2o caso: Tomando-se 1 ponto na reta r e 2 na reta s.
Trata-se de combinação pois na escolha de pontos para serem vértices a ordem
não importa, a figura final (triângulo) independe da ordem dos vértices.
Como a reta r possui 8 pontos e a reta s possui 5 pontos, teremos:
1o caso: C28 .C15 = 140
2o caso: C18 .C25 = 80 .
Totalizando 220 triângulos.
Resolução Alternativa: Pode-se pensar em tomar 3 pontos dos 13 pontos totais
para formar triângulos, mas devemos ter cuidado pois se tomarmos 3 pontos
pertencentes a uma mesma reta não formaremos triângulos. Assim sendo, calculase a quantidade total e subtraem-se as combinações de três pontos que pertencem
a mesma reta.
3
C13
− C38 − C35 = 286 − 56 −10 = 220
Item 04. Falso. Devemos lançar 5 dados e obter o mesmo número em todos os
dados. A chance de obter um número específico em um dado é de 16 . Como são 5
5
lançamentos, devemos ter então 16 . Como não precisa ser um número
( )
específico, basta que todos sejam iguais, temos então 6 possiblidades (6 números
diferentes no dado) para o número.
5
4
1 .6 = 1
1
6
6 = 1296
Item falso, afirmava ser 17776 .
( )
( )
Item 08. Verdadeiro. O item é verdadeiro pois especifica que é um racional não
nulo. O produto de um irracional por um racional diferente de zero será sempre
irracional. Na falta da palavra “nulo” o item seria verdadeiro, por qualquer irracional
multiplicado por zero (e zero é racional), o produto seria racional (zero).
Questão 5.
Para que o sistema de equações admita mais de uma solução, ou seja, seja um
Sistema Possível e Indeterminado, devemos chegar a uma conclusão do tipo
0.x = 0. Temos então:
⎧ ax − y + 0z = 1
⎪
⎨ 0x + y + z = 1
⎪ x + 0y + z = m
⎩
Somando-se as duas primeiras equações (eliminar o y), teremos:
⎧ ax + z = 2
⎨
⎩ x+z=m
Subtraindo-se as duas equações (eliminar o z), teremos:
(a−1)x = 2 − m
Como queremos um caso do tipo 0.x = 0, devemos ter a = 1 e m = 2.
O item pede a soma dos valores de a e m, ou seja, 1 + 2 = 3.
Gabarito: 03