[Cálculo Diferencial/Integral I] - Aplicações da Derivada (Física e Enge... 1 de 6 about:reader?url=http://grad.educacionalplenus.com.br/calculo-diferencia... grad.educacionalplenus.com.br [Cálculo Diferencial/Integral I] Aplicações da Derivada (Física e Engenharia) - Smartgrad Educacionalplenus 4-5 minutos Olá, amigos! Neste post, veremos algumas aplicações de tudo o que aprendemos sobre derivadas. Separamos as aplicações de acordo com sua área do conhecimento. Física: Taxa de Variação Mecânica: Velocidade e Aceleração A velocidade de uma partícula é dada como função derivada da função ( ) espaço. A função espaçao deve ser contínua e diferenciável, definida num intervalo [a,b] e sua imagem um subconjunto real. ( )= ( )= lim → () ( ) possui as condições A aceleração é definida quando idênticas às condições de ( +Δ ) Δ ( ), 06/12/2019 19:47 [Cálculo Diferencial/Integral I] - Aplicações da Derivada (Física e Enge... 2 de 6 ( )= about:reader?url=http://grad.educacionalplenus.com.br/calculo-diferencia... ( ) = ”( ) = → ( +Δ ) Δ () . Exemplo 1: Uma partícula desloca-se sobre o eixo com função ( )=3+2 de posição (espaço) , com ≤ 0. a) Qual a velocidade no instante instante ? b) Qual a aceleração no instante instante ? b) Qual a aceleração no ? c) Estude a variação do sinal de sinal de ? a) Qual a velocidade no ( ). c) Estude a variação do ( ). a] Basta derivarmos a equação da posição na variável (3 + 2 )=0+2 2 ( )=2 . 2 . b] Basta derivarmos a equação da velocidade na variável (2 2 )=0 2 ( )= . 2 / . c] Estudar a variação do sinal da ( ), é o mesmo que saber 06/12/2019 19:47 [Cálculo Diferencial/Integral I] - Aplicações da Derivada (Física e Enge... 3 de 6 about:reader?url=http://grad.educacionalplenus.com.br/calculo-diferencia... em que partes ela é crescente, ou decrescente. ( )=2 2 , então ( )≥0 2 2 ≥0 2+2 ≤0 O conjunto complementar de ≤ 1. ( ) decrescente. apresenta =4 Exemplo 2: Um ponto desloca-se sobre a hipérbole , de tal modo que a velocidade de ( ) = , com β é constante. Mostre que a aceleração da abscissa = . = (4/ ). Considere Considere Derivemos a função toda por ( é )= (4) = 0 = (4/ ). . Derivemos a função toda por ( ) ( )+ ( ) ( )=0 ) =0 Note que, ao derivarmos ( )= . ( )(4/ ) + ( 4 ( ), derivaremos a expressão ( ). Aqui, é necessário aplicar a regra da cadeia, pois a derivada ocorre em ”( ) = ( 4 , para um produto )= () () = 2 . () ( 2 ) = () 8 Termodinâmica: Lei dos Gases Exemplo 3: A lei dos gases para um gás ideal à temperatura 06/12/2019 19:47 [Cálculo Diferencial/Integral I] - Aplicações da Derivada (Física e Enge... 4 de 6 about:reader?url=http://grad.educacionalplenus.com.br/calculo-diferencia... absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V = (em litros) é , em que n é o número de mols = 0, 0821 é a constante do gás. Suponha de gás e = 8, 0 atm, e está crescendo que, em um certo instante, = 10 , e está a uma taxa de 0,10 atm/min, e decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de variação de T em relação ao tempo naquele instante, se = 10 mols. ( )= Note que ( )= e = 0, 1 = 0, 15 / / . Derivemos a equação completa pelo tempo. Observe que, exceto por e , as outras variáveis são funções do tempo, por isso, é necessário utilizar a regra da cadeia. ( ) = ( ) + = () + = . O instante em questão, para o qual se pede a derivada da = 8, 0 e temperatura, é quando = 10 . Assim, basta substituir os valores das derivadas obtidas. = + = 0, 1 10 + 8, 0 0, 15 10 0, 0821 2, 7 Eletrodinâmica: Circuitos Elétricos Exemplo 4: Se dois resistores com resistências e 06/12/2019 19:47 [Cálculo Diferencial/Integral I] - Aplicações da Derivada (Física e Enge... 5 de 6 about:reader?url=http://grad.educacionalplenus.com.br/calculo-diferencia... estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência total R, medida em ohms (Ω), é dada por 1 = 1 + 1 . Se e estão aumentando a taxas de 0,3 /s e 0,2 /s, respectivamente, quão rápido R está variando quando = 80Ω e = 100Ω. 1 = 1 + 1 1 + = = + . Derivamos a equação obtida, lembrando-nos de que são funções de e , por isso, deve-se aplica a regra do produto e da multiplicação. No denominador de ( + ( : ) = ). No numerador de ( : + ) = + . = ( ( ) + ( + ) )( ( + + ) ) ( ( + ( ) )( + ) )( + ) = = 06/12/2019 19:47 [Cálculo Diferencial/Integral I] - Aplicações da Derivada (Física e Enge... 6 de 6 about:reader?url=http://grad.educacionalplenus.com.br/calculo-diferencia... (0, 3 100 + 0, 2 80)(100 + 80) (8000)(0, 2 + 0, 3) 180 = 0, 132 Referências[1] – Guidorizzi, H.L – Um curso de Cálculo , Volume 1 [2] – Leitholdi, L – O Cálculo com Geometria Analítica , Volume 1 [3] – Stewart, J – O Cálculo, Volume 1 15 0 0 06/12/2019 19:47