Plano tangente a uma superficie: G(f).

Plano tangente a uma superficie: G(f).
O plano tangente ao gráfico de uma função f(x,y) num ponto é o
plano que contem todas as retas tangentes ao gráfico de f que
passam pelo ponto. Se todas as retas tangente a esse ponto não são
co-planares, então dizemos que o plano tangente não existe.
Seja f : A  R 2  R
uma função diferençável no ponto (x0,y0)
Equação do plano tangente a o gráfico G(f) no ponto
(x0,y0,z0), z0=f(x0,y0)
( x  x0 ) f x0  ( y  y0 ) f y0  1.( z  z0)  0
f x0 
f
( x0 , y0 )
x
f y0 
f
( x0 , y0 )
y
Plano tangente a uma curva.
A interseção do plano e
A curva z=f(x,y) é
justamente o ponto
(x0,y0)
http://www.mat.uc.pt/~picado/geomdif/anima/planotangente.html
Derivada direcional
Definição: Seja
f : A  R n  R uma função real
de variável vetorial
Seja r0=(x10, x20,..., xn0) ϵ A, e u um vetor unitário de Rn.
A derivada direcional de f no ponto r é
f (r0  hu )  f (r0 )
Dfu  lim h0
h
Se o limite existe. r 0  h u  r Define uma reta L
Que passa por r0 na direção u .
Derivada direcional
Seja
f : A  R3  R , e ro=(x0,y0,z0), e u=(u1,u2,u3)
f ( x0  hu1 , y0  hu2 , z0  hu3 )
Dfu  lim h0 (
h
f ( x0 , y0 , z0 )
)
h
Conforme h0, r  r0
Derivada direcional
Seja f : A  R 2  R , e ro=(x0,y0), e u=(u1,u2)
f ( x0  hu1 , y0  hu2 )  f ( x0 , y0 )
Dfu  lim h0 (
)
h
u
ro+ h u = r
ro
Conforme h0, r  r0
Derivada direcional
Du f 
f
Derivada direcional
É a taxa de variação de f em relação à
u distancia no ponto r0, ao longo do vetor
unitário u .
Particularizando para u = e1= (1,0) = i
De f  lim h0
1
f (r0  he1 )  f (r0 ) f

|r0
h
x
Particularizando para u = e1 = (0,1) = j
De f  lim h0
2
f (r0  he2 )  f (r0 ) f

|r0
h
y
Derivada parcial como taxa de variação.
f
A derivada parcial ( x0 , y0 ) é a taxa de variação de f ao longo
x
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e1 = (1, 0),
f
A derivada parcial y ( x0 , y0 ) é a taxa de variação de f ao longo
da reta que passa pelo ponto (x0, y0) e na direção e2 = (0, 1),
Notemos que na definição de derivada direcional o
vetor v deve ser unitário. A razão disto é a seguinte: se
o vetor não fosse unitário, a derivada direcional não
dependeria somente do ponto e da direção, mas
também do comprimento do vetor.
Exemplos
1.- Seja f(x,y)= x2+y2+1, determine a derivada direcional da
função f no ponto (x0, y0) na direção do vetor unitário
u=(u1,u2).
2.- Seja f(x,y,z)= x2 + 2 y2 – z, determine a derivada
direcional de f no ponto (1,1,1) na direção v=(1,2,1)
3.- Determine a taxa de variação do potencial elétrico
V = k (x2+y2+z2)-1/2 no ponto (1,2,0) na direção v=(1,2,0),
K é uma constante, assuma k=1.
Gradiente de uma função real de variável
vetorial.
n
f : A R  R
u  (x1 , x 2 ,.., x n )  f(u )
Definição: Seja
uma função real de variável vetorial , sendo u um
vetor arbitrário de A subconjunto de Rn
Existe uma transformação linear que leva f a um vetor Rn
chamado de vetor gradiente “grad f”
grad f : R  R
n
f f
f
f  grad ( f )  ( ,
,...,
)
 x1  x 2
 xn
“grad”  Operador gradiente
grad (f)  vetor gradiente
f
f
f
grad ( f ) 
e1 
e 2  ... 
en
 x1
 x2
 xn
e1  (1,0,....,0)
e 2  (0,1,...,0)
.
e n  (0,0,....,1)
Caso f: R3  R, f=f(x,y,z)
f f f
f f f
grad ( f )  ( ,
, )( , , )
 x1  x 2  x 3
x y z
Operador Gradiente
À medida que o ponto se afasta da origem o comprimento
do gradiente cresce ficando igual a duas vezes a distância
do ponto à origem.
F(x,y)= x2- y2, grad(f) = (2x, -2y)
costuma se pensar em grad (f) como um campo de
vetores no domínio de f
Propriedades algébricas do vetor gradiente
grad ( f   g )   grad(f)   grad(g),
grad ( f g )  grad ( f ) g  f grad ( g ),
f
g grad ( f )  f grad(g)
grad ( ) 
.
2
g
g
α, β são constantes.
Exemplos:
1.- seja f(x,y,z)= x + yz, g(x,y,z)= x2+y2+ xy + z,
determine grad(f/g) e grad( f+g) utilizando as proprie
dades anteriores.
Propriedade importante
Du f  grad ( f ). u
u é um vetor
unitário
Exemplo:
Determine o vetor gradiente da função f(x,y)=x2+y2+1,
Verifique a relação anterior
Z=f(x,y)=x2+y2+1
gradiente de f
grad(f) = (2x,2y)
Propriedade importante
Du f  grad ( f ). u, | u | 1
Du f | grad ( f ) | cos( )
Dado um ponto r =(x1,x2,...,xn) de Rn, sendo f=f(x1,x2,...,xn)
Du f
Varia com o ângulo ϴ,sendo esta variação
máxima quando ϴ = 00
Propriedades importantes
1) A taxa máxima de crescimento de f no ponto r
ocorre na direção do gradiente.
2) O valor máximo de D f no ponto r é |grad(f)|
u
3) Se grad(f)=(0,...,0)= 0 então Du f  0 para todo
u
4) Se a função é z=f(x,y), então as curvas de nível
são perpendiculares em qualquer ponto ao vetor
grad(f).
5.- Se a função é w=f(x,y,z), então a superfície de
nível é perpendicular ao grad(f).
exercícios
1) Seja a função real de variável vetorial
z=f(x,y)= 2sin(x+y)
a) Determine o gradiente de f no ponto (pi/4,pi/4)=P0.
b) Determine a derivada direcional de f(x,y) no ponto P0
na direção u=(1,2), v=(0,1), w=(1,0), respectivamente.
c) Em que direção a derivada direcional de f no ponto P0
tem a taxa máxima de variação.
d) Qual é a taxa máxima de variação de f no ponto P0
e) Mostre que as curvas de nível são ortogonais ao vetor
gradiente de f em cada ponto do dominio.
Vetor gradiente numa superfície de nível
Seja f: R3  R, w = f(x,y,z),
Consideremos a superfície de nível “S”
c = f(x,y,z). Seja r(t) o vetor que parametrisa uma curva α
que descansa na superfície S. Logo
r (t )  ( x(t ), y(t ), z (t ))
e a velocidade V é :
V  r  ( x, y , z)
Ele é tangente à superfície “S”
grad ( f ). V  0
Eles são perpendiculares
Equação do plano tangente à superfície de nível S
Dado o ponto P0=(x0,y0,z0) ϵ S, e seja
f
f
|P0 
( x0 , y0 , z0 )
x
x
f
f
|P0 
( x0 , y0 , z0 )
y
y
f
f
|P0 
( x0 , y0 , z0 )
z
z
Equação do plano tangente à superfície S
f
f
f
( x  x0 )
|P0 ( y  y0 )
|P0 ( z  z 0)
|P0
x
y
z
Exemplos
Exemplo1.- Seja a superfície de nível c = f(x,y,z), onde
f(x,y,z) =x2+y2 - z; ou dito de uma forma diferente, temos
uma superfície definida pela equação x2+y2-z = c. Sendo
c uma constante real. Determine a equação do plano
tangente a dita superfície no ponto P0=(1,1,-2)
Exemplo 2.- Seja a superfície S definida pela equação
4cos(x+y) – z = 0. a) Determine a equação do plano
tangente à superfície S no ponto P0=( pi/4,pi/4,0).
b) Seja uma curva α parametrizada do seguinte modo
r(t)=(t,t,g(t)), determine g(t) para que a curva descanse
na superfície S. Determine o vetor unitário tangente
á curva para t=pi/4.