Integral I] - Aplicações da Derivada (Física e Engenharia) -

[Cálculo Diferencial/Integral I] - Aplicações da Derivada (Física e Enge...
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Engenharia) - Smartgrad Educacionalplenus
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Olá, amigos! Neste post, veremos algumas aplicações de tudo o
que aprendemos sobre derivadas. Separamos as aplicações de
acordo com sua área do conhecimento.
Física: Taxa de Variação
Mecânica: Velocidade e Aceleração
A velocidade de uma partícula é dada como função derivada da
função
( ) espaço. A função espaçao deve ser contínua e
diferenciável, definida num intervalo [a,b] e sua imagem um
subconjunto real.
( )=
( )=
lim
→
()
( ) possui as condições
A aceleração é definida quando
idênticas às condições de
( +Δ )
Δ
( ),
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( )=
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( ) = ”( ) =
→
( +Δ )
Δ
()
.
Exemplo 1: Uma partícula desloca-se sobre o eixo
com função
( )=3+2
de posição (espaço)
, com
≤ 0.
a) Qual a velocidade no instante
instante
?
b) Qual a aceleração no instante
instante
? b) Qual a aceleração no
?
c) Estude a variação do sinal de
sinal de
? a) Qual a velocidade no
( ). c) Estude a variação do
( ).
a] Basta derivarmos a equação da posição na variável
(3 + 2
)=0+2
2
( )=2
.
2
.
b] Basta derivarmos a equação da velocidade na variável
(2
2 )=0
2
( )=
.
2 /
.
c] Estudar a variação do sinal da
( ), é o mesmo que saber
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em que partes ela é crescente, ou decrescente.
( )=2
2 , então
( )≥0
2
2 ≥0
2+2 ≤0
O conjunto complementar de
≤ 1.
( ) decrescente.
apresenta
=4
Exemplo 2: Um ponto desloca-se sobre a hipérbole
, de tal modo que a velocidade de
( ) = , com β
é
constante. Mostre que a aceleração da abscissa
=
.
= (4/ ). Considere
Considere
Derivemos a função toda por
(
é
)=
(4) = 0
= (4/ ).
. Derivemos a função toda por
( ) ( )+ ( ) ( )=0
) =0
Note que, ao derivarmos
( )=
.
( )(4/ ) + (
4
( ), derivaremos a expressão
( ). Aqui, é necessário aplicar a regra da cadeia, pois a
derivada ocorre em
”( ) =
(
4
, para um produto
)=
() ()
=
2
.
() (
2
)
=
()
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Termodinâmica: Lei dos Gases
Exemplo 3: A lei dos gases para um gás ideal à temperatura
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absoluta T (em kelvins), pressão P (em atmosferas) e volume V
=
(em litros) é
, em que n é o número de mols
= 0, 0821 é a constante do gás. Suponha
de gás e
= 8, 0 atm, e está crescendo
que, em um certo instante,
= 10 , e está
a uma taxa de 0,10 atm/min, e
decrescendo a uma taxa de 0,15 L/min. Encontre a taxa de
variação de T em relação ao tempo naquele instante, se
= 10 mols.
( )=
Note que
( )=
e
= 0, 1
= 0, 15 /
/
.
Derivemos a equação completa pelo tempo. Observe que, exceto
por
e
, as outras variáveis são funções do tempo, por isso, é
necessário utilizar a regra da cadeia.
(
)
=
(
)
+
=
()
+
=
.
O instante em questão, para o qual se pede a derivada da
= 8, 0 e
temperatura, é quando
= 10 .
Assim, basta substituir os valores das derivadas obtidas.
=
+
=
0, 1 10 + 8, 0 0, 15
10 0, 0821
2, 7
Eletrodinâmica: Circuitos Elétricos
Exemplo 4: Se dois resistores com resistências
e
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estão conectados em paralelo, como na figura, então a resistência
total R, medida em ohms (Ω), é dada por
1
=
1
+
1
.
Se
e
estão aumentando a taxas de 0,3 /s e 0,2 /s,
respectivamente, quão rápido R está variando quando
= 80Ω e
= 100Ω.
1
=
1
+
1
1
+
=
=
+
.
Derivamos a equação obtida, lembrando-nos de que
são funções de
e
, por isso, deve-se aplica a regra do produto e da
multiplicação.
No denominador de
(
+
(
:
) =
).
No numerador de
(
:
+
) =
+
.
=
(
(
)
+
(
+
)
)(
(
+
+ )
) (
(
+
(
)
)(
+
)
)(
+
)
=
=
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(0, 3 100 + 0, 2 80)(100 + 80)
(8000)(0, 2 + 0, 3)
180
= 0, 132
Referências[1] – Guidorizzi, H.L – Um curso de Cálculo , Volume 1
[2] – Leitholdi, L – O Cálculo com Geometria Analítica , Volume 1
[3] – Stewart, J – O Cálculo, Volume 1
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