UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS CENTRO DE ENGENHARIAS CÁLCULO NUMÉRICO E APLICAÇÕES PROFESSORA: LAUREN FARIAS LISTA DE EXERCÍCIOS – Resolução Numérica de EDO 1. Aplique o método de Euler para obter uma aproximação de 𝑦(1,5) tomando primeiro h=0,1 e depois h=0,05, para o seguinte problema de valor inicial: 𝑦´ = 0,2𝑥𝑦; 𝑦(1) = 1 2 Sendo a solução conhecida 𝑦 = 𝑒 0,1(𝑥 −1), calcule o mesmo ponto e defina o erro relativo e percentual em relação a aproximação realizada. R: 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ = 0,1, 𝑦(1,5) = 1,1259, 𝐸(%) = 0,64 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ = 0,05, 𝑦(1,5) = 1,1295, 𝐸(%) = 0,32 2. Obtenha o valor aproximado de y(0,5) com h=0,1 para a solução de 𝑦´ = (𝑥 + 𝑦 − 1)2 , 𝑦(0) = 2 R: 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ = 0,1, 𝑦(0,5) = 3,2261 3. Utilizando a mesma função anterior, calcule y(0,5) através do método de Euler Melhorado e compare os resultados. R: 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ = 0,1, 𝑦(0,5) = 3,8254 4. Com o auxílio da fórmula de Taylor com três termos (trunca na segunda derivada), obtenha o valor aproximado de y(1,5) para solução de 𝑦´ = 2𝑥𝑦; 𝑦(1) = 1 Compare os valores para h=0,1 e 0,05. R: 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ = 0,1, 𝑦(1,5) = 3,4188, 𝐸(%) = 0,64 𝑃𝑎𝑟𝑎 ℎ = 0,05, 𝑦(1,5) = 3,4702, 𝐸(%) = 0,32 5. Dado os problemas de valor inicial utilize a fórmula de Taylor com três termos para obter uma aproximação do valor indicado utilizando h=0,1. 𝑦´ = 1 + 𝑦 2 , 𝑦(0) = 0, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦(0,5) 𝑦 2 𝑦´ = 𝑥𝑦 − 𝑥 y(1) = 1, para y(1,5) R: 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑦(0,5) = 0,5438 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑦(1,5) = 1,3226 6. Dado os problemas de valor inicial utilize a fórmula de Runge Kutta de 4° ordem para obter uma aproximação do valor indicado utilizando h=0,1. 1. 𝑦´ = 2𝑥 − 3𝑦 + 1, 𝑦(1) = 5, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦(1,5) 2. 𝑦´ = 𝑒 −𝑦 , y(0) = 0, para y(0,5) 3. 𝑦´ = (𝑥 − 𝑦)2 , 𝑦(0) = 0,5, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑦(0,5) R: 1. 𝑦(1,5) = 2,0533 2. 𝑦(0,5) = 0,4055 3. 𝑦(1,0) = 0,2385
