Aula 41 - A Integral Definida como Limite de uma Soma

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP
FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
A Integral Definida como Limite de uma Soma
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
A Integral Definida como Limite de uma Soma
1.A regra do ponto médio
2.A integral definida como limite de uma soma
1. A regra do ponto médio
Em aula anterior, vimos que é possível
utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo para
calcular uma integral definida se pudermos achar
uma antiderivada do integrando.
Quando isto não é possível, procuramos
aproximar o valor da integral mediante uma técnica
de aproximação. Uma dessas técnicas é a Regra do
Ponto Médio.
1. A regra do ponto médio
Exemplo 1: Utilize os cinco retângulos da figura a
seguir para obter uma aproximação da área da
região delimitada pelo gráfico de f (x) = -x2 + 5,
pelo eixo x e pelas retas x = 0 e x = 2.
1. A regra do ponto médio
1. A regra do ponto médio
Podemos determinar as alturas dos cinco
retângulos calculando f no ponto médio de cada um
dos intervalos seguintes.
 2   2 4   4 6   6 8   8 10 
0,
,
,
,
,
,
,
,
,
 5  5 5  5 5  5 5  5 5 

 
 
 
 

Calcular f ( x ) nos pontos médios destes intervalos
A largura de cada retângulo é 2/5. Logo, a
soma das cinco áreas é
1. A regra do ponto médio
2  1 2 3 2 5 2 7 2 9
Área ≈ ⋅ f   + ⋅ f   + ⋅ f   + ⋅ f   + ⋅ f  
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
2   1   3   5   7   9 
Área ≈ ⋅ f   + f   + f   + f   + f   
5   5   5   5   5   5 
2  124 116 100 76 44  920
Área ≈ ⋅ 
+
+
+
+
=
= 7,36

5  25
25
25 25 25  125
1. A regra do ponto médio
Para a região do Exemplo 1, podemos
determinar a área exata como uma integral
definida.
2
(
)
Área = ∫ − x 2 + 5 dx
0
2
 x

= −
+ 5x 
 3
0
3
 ( 2 )3
  ( 0 )3
 22
= −
+ 5 ⋅ 2 −  −
+ 5 ⋅ 0 =
≈ 7,33
 3
  3
 3
1. A regra do ponto médio
O processo de aproximação empregado no
Exemplo 1 constitui a Regra do Ponto Médio.
Podemos aplicar esta regra para obter uma
aproximação de qualquer integral – e não apenas
daquelas que representam uma área.
1. A regra do ponto médio
Para obter uma aproximação da integral
definida
∫
b
a
f ( x ) dx
com a Regra do Ponto Médio, adotam-se os
procedimentos a seguir.
1. A regra do ponto médio
Diretrizes para a Utilização da Regra do Ponto Médio
1. Dividamos o intervalo [a, b] em n subintervalos, cada
um deles com largura
b−a
∆x =
n
2. Determinemos o ponto médio de cada subintervalo.
Pontos médios
= { x1, x2 , x3 ,…, xn }
3. Calculemos f em cada ponto médio e formemos a soma
b−a
∫a f ( x ) dx ≈ n ⋅ f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + … + f ( xn )
b
1. A regra do ponto médio
OBS 1: No Exemplo 1, aplicamos a Regra do Ponto
Médio para aproximar o valor de uma integral cujo
valor exato pode ser obtido com o Teorema
Fundamental do Cálculo. Isto foi feito para
ilustrar a precisão da regra. Na prática,
naturalmente, utilizamos a Regra do Ponto Médio
para aproximar os valores de integrais definidas
para as quais não podemos determinar uma
antiderivada. Os Exemplos 2 e 3, a seguir,
ilustram tais integrais.
1. A regra do ponto médio
OBS 2: Uma característica importante da Regra
do Ponto Médio é que a aproximação tende a
melhorar com o crescer de n. A tabela a seguir
mostra a aproximação da área da região do
Exemplo 1 para diversos valores de n. Por exemplo,
para n = 10 a Regra do Ponto Médio dá
∫(
2
0
2   1  3 
 19  
− x + 5 dx =
⋅ f   + f   + … + f   
10   10   10 
 10  
2
)
∫(
2
0
)
− x 2 + 5 dx ≈ 7,3400
1. A regra do ponto médio
n
Aproximação
5
7,360000
10
7,340000
30
7,334074
50
7,333600
100
7,333400
1.000
7,333334
10.000
7,333333
Note que, com o crescer de n, a aproximação
tende para o valor exato da integral, que já
sabemos ser 22/3 ≅ 7,333333…
1. A regra do ponto médio
Exemplo 2: Aplique a Regra do Ponto Médio com
n = 5 para aproximar
1
∫0 x 2 + 1dx
1
1. A regra do ponto médio
Com n = 5, o intervalo [0, 1] fica dividido em
cinco subintervalos.
 1  1 2 2 3  3 4   4 
0, 5  ,  5 , 5  ,  5 , 5  ,  5 , 5  ,  5 , 1

 
 
 
 

Os pontos médios desses subintervalos são
1
3
5
7
9
,
,
,
,
10 10 10 10 10
1. A regra do ponto médio
Como cada intervalo tem uma amplitude de
1− 0) 1
(
∆x =
= ,
5
5
podemos aproximar o valor da integral definida
como a seguir
1
1  1
1
1
1
1 
∫0 x 2 + 1dx = 5 ⋅  1,01 + 1,09 + 1,25 + 1,49 + 1,81  ≈ 0,786
1
1. A regra do ponto médio
A figura a seguir mostra a região cuja área
é representada pela integral definida. A área
efetiva dessa região é π/4 ≅ 0,785. Assim, a
aproximação difere apenas por 0,001.
1. A regra do ponto médio
1. A regra do ponto médio
Exemplo 3: Aplique a Regra do Ponto Médio com
n = 10 para aproximar
∫
3
1
x + 1 dx
2
1. A regra do ponto médio
Comecemos dividindo o intervalo [1, 3] em
dez subintervalos.
 12   12 14   14 16 
 28 
1, 10  ,  10 , 10  ,  10 , 10  ,…,  10 , 3 

 
 



Os pontos médios desses subintervalos são
11 13 3 17 19 21 23 5 27
,
,
,
,
,
,
,
,
10 10 2 10 10 10 10 2 10
e
29
10
1. A regra do ponto médio
Como cada intervalo tem uma amplitude de
3 − 1) 1
(
∆x =
= ,
10
5
aproximamos o valor da integral definida como a
seguir
∫
3
1
1 
x + 1 dx = ⋅ 
5 
2
(1,1)
2
+1+
(1,3 )
2
+1 +… +
( 2,9 )
2
+ 1  ≈ 4,504

1. A regra do ponto médio
A figura a seguir mostra a região cuja área
é representada pela integral definida. Com
técnicas adequadas, pode-se mostrar que o valor
efetivo da área é
(
(
)
(
1
⋅ 3 10 + ln 3 + 10 − 2 − ln 1 + 2
2
) ) ≈ 4,505
Assim, o erro de aproximação é de apenas
0,001.
1. A regra do ponto médio
2. A integral definida como
limite de uma soma
Consideremos o intervalo fechado [a, b]
dividido em n subintervalos cujos pontos médios
são xi e cujas amplitudes são
b − a)
(
∆x =
n
2. A integral definida como
limite de uma soma
Já vimos que a aproximação por pontos
médios
∫
b
a
f ( x ) dx ≈ f ( x1 ) ⋅ ∆x + f ( x2 ) ⋅ ∆x + f ( x3 ) ⋅ ∆x + … + f ( xn ) ⋅ ∆x
= f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + … + f ( xn )  ⋅ ∆x
torna-se mais precisa na medida em que n aumenta.
2. A integral definida como
limite de uma soma
O limite desta soma, quando n tende para
infinito, é exatamente igual ao valor da integral
definida; isto é,
∫
b
a
f ( x ) dx = lim f ( x1 ) + f ( x2 ) + f ( x3 ) + … + f ( xn )  ⋅ ∆x
n →∞
Pode-se mostrar que este limite é válido
desde que xi seja qualquer ponto do imo intervalo.
2. A integral definida como
limite de uma soma
Exemplo 4: Com auxílio de uma planilha eletrônica,
obtenha uma aproximação (com seis casas
decimais) da integral definida
1
∫e
0
− x2
dx
2. A integral definida como
limite de uma soma
n
Aproximação
5
0,748053
10
0,747131
30
0,746858
50
0,746836
100
0,746827
1.000
0,746824
2. A integral definida como
limite de uma soma
Utilizando a planilha eletrônica, com n = 5,
10, 30, 50, 100 e 1.000, verificamos que o valor da
integral, com aproximação de seis casas decimais,
é 0,746824.
2. A integral definida como
limite de uma soma
Exemplo 5: Utilizando a Regra do Ponto Médio
para aproximar a integral definida
1
∫0 x 2 dx
1
encontramos os seguintes valores para as
aproximações com n = 10, 20, 30, 40, 50 e 60,
conforme a tabela a seguir.
2. A integral definida como
limite de uma soma
n
Aproximação
10
48,3
20
97,7
30
147,0
40
196,4
50
245,7
60
295,1
Por que os valores das aproximações se
tornam cada vez maiores? Por que não vale aqui a
Regra do Ponto Médio?