Exame de Métodos Numéricos A - norg

Exame de Métodos Numéricos A
a
2 chamada, 25 de Junho (3 horas) Ano lectivo de 2006/07
Mestrados Integrados em Engenharia Biológica e Engenharia Biomédica
Universidade do Minho, Escola de Engenharia, Departamento de Produção e Sistemas
Apresente todos os cálculos que tiver de efectuar
1. A pressão máxima, P , em Kg/mm2 que um cabo metálico suporta é dada por
P (d) = 25d2 + ln(d)
em que d é o diâmetro em mm. Determine o valor do diâmetro necessário para suportar uma
pressão de 1.5×10−4 Kg/mm2 . A partir da aproximação inicial d1 = 0.2, use o método iterativo
que recorre à informação da derivada para calcular uma aproximação com erro relativo inferior
a 0.5 × 10−3 (nmax = 3). Use 6 casas decimais nos cálculos.
2. Considere as seguintes observações relativas à função f
xi
fi
-3 0
-10 a
2
0
5
b
Sabendo que a aproximação polinomial de grau 1 dos mínimos quadrados é p1 (x) = −4 + 2x,
determine a e b. Use 6 casas decimais nos cálculos.
3. A tabela seguinte representa o crescimento de uma cultura de bactérias num líquido ao longo
de 20 dias
Dia
0
4
12 18
20
no de bactérias ×106 a 78.6 91.7 b 112.6
(a) Pretende-se calcular uma spline cúbica completa para estimar o número de bactérias no
líquido. Apresente o sistema das equações lineares que precisaria para calcular os valores
dos M’s, em função das constantes a e b.
(b) Para a = 67.4 e b = 107.0, estime o número de bactérias presentes no líquido ao fim de 10
dias, usando a spline cúbica completa.
4. Considere um vaso sanguíneo representado por um cilindro de raio R0 , com paredes móveis
constituídas por um tecido elástico, incompressível, homogéneo e isótropo de espessura H. Um
modelo simples que permite descrever o comportamento mecânico das paredes do vaso e da sua
interacção com o fluxo sanguíneo é o modelo dos anéis independentes.
1
A aplicação da lei de Newton ao sistema dos anéis independentes conduz à seguinte equação
diferencial que modela o comportamento mecânico da parede do vaso sanguíneo em função do
tempo
y ′′ (t) + βy ′(t) + αy(t) = γ(p(t) − p0 )
em que α = E/(ρR02 ) , γ = 1/(ρH) e β é uma constante positiva. Os parâmetros físicos ρ e E
designam respectivamente a densidade da parede e o módulo de Young do tecido vascular.
Pretende-se calcular valores aproximados do deslocamento das paredes do vaso sanguíneo nas
condições indicadas, admitindo que y(0) = y ′(0) = 0. Para certos valores dos parâmetros
físicos, obteve-se γ = 3.3 e α = 4 × 106 .
A função sinusoidal
p(t) − p0 = x∆p(a + b cos(ωt))
utiliza-se como modelo para obter a variação da pressão em função da direcção x e do tempo,
sendo x∆p = 25 , a = 1000 , b = 100 e com a pulsação ω = 8 rad. correspondente a um
batimento cardíaco.
√
Para β = α, implemente um passo de um método de 2a ordem, considerando h = 0.001.
5. Dada a seguinte tabela de valores de uma função f
xi
f (xi )
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
1.00 0.83 0.71 0.62 0.36 0.30
R1
(a) Será possível calcular um valor aproximado para o integral I = 0 f (x) dx com base nos
valores da tabela, com um erro de truncatura que não exceda 10−3 usando a fórmula
composta do trapézio? Justifique.
(b) Calcule um valor aproximado para I usando a informação disponível sobre f .
6. Considere a seguinte tabela da função f (x)
xi
f (xi )
0.0
1.0
2.0
0.0000 0.8415 0.9093
(a) Determine um valor aproximado de I =
pézio com h = 1.
R2
0
f (x) dx, usando a fórmula composta do tra-
(b) Sabendo que um valor aproximado de I, usando a fórmula composta do trapézio com
h = 0.5 é T (0.5) = 1.2667, determine uma nova aproximação de I, usando a fórmula
composta de Simpson com h = 0.5.
FIM
2