Enviado por Do utilizador4364

capitulo-4a-Torcao-Circular3

Propaganda
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Momento torsor
26 de setembro de 2016
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Este capítulo é dividido em duas partes:
1
Torção em barras de eixo reto e seção transversal circular
(cheia) ou anular (coroa circular).
00000000000
11111111111
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
2
D = 2R
00000000000
11111111111
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
d = 2r D = 2R
Torção em tubos de paredes finas
T
T
τ
T
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
26 de setembro de 2016
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Torção em eixos de seção circular
Barras sujeitas à torção pura: somente o efeito do momento
torsor (torque), sendo os demais esforços simples nulos.
Barras de eixo reto e seção transversal circular (cheia) ou
anular (coroa circular). Barras com estas características são
comumente denominadas de eixos
0000000000
1111111111
1111111111
0000000000
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
0000000000
1111111111
D = 2R
00000000000
11111111111
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
Momento torsor
d = 2r D = 2R
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Eixos sujeitos à momento torsor constante.
T
T
T
A
B
T
=
DMT
+
A
B
A
B
Pequenas deformações: as seções permanecem planas e
perpendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas.
As deformações são deslocamentos angulares (ângulos de
torção), em torno do eixo-x (eixo da barra), de uma seção em
relação a outra.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
..
z
y
dFx
P
dFz
x
z
dFy
T=
R
A
(τxy z − τxz y)dA
dF
y
T=
Momento torsor
R
A
ρτ dA
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Análise de tensões e deformações na torção
Figura : Mecanismo de deformação de um eixo solicitado por momentos
torsores.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
γ a distorção angular do “retângulo” abcd, contido em uma
superfície cilíndrica de raio ρ e comprimento dx.
dθ o deslocamento angular (ângulo de torção) elementar da
seção Sd em relação à seção Se.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
bb′ = ρdθ
′
bb
= γdx
(1)
(2)
Igualando as equações 1 e 2 tem-se:
γ=ρ
dθ
dx
Momento torsor
(3)
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Da Lei de Hooke tem-se:
τ = Gγ
lembrando que G é o módulo de elasticidade transversal.
Substituindo o valor de γ da equação 3 na equação 4 tem-se:
τ=ρ
dθ
dx G
֒→
constante
Momento torsor
(4)
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
dθ
dx G
= constante = K
⇓
τ = Kρ
Pode-se concluir então que τ é função somente de ρ, não é função de
θ, portanto constante em pontos de mesmo ρ ( 0 ≤ ρ ≤ R ), para
qualquer θ ( 0 ≤ θ ≤ 2π ) . Desta forma, a variação de τ com ρ é
linear
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Figura : Variação da tensão cisalhante em função de ρ para uma seção cheia.
Figura extraída de Hibbeler (2008).
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Cálculo da constante
K
R
τ = Kρ → T = A ρτ dA
T=
Z
A
ρτ dA =
Z
Z
ρ2 dA
|A {z }
ρKρ dA = (K
A
Momento de inercia polar: Io
Logo:
K=
T
Io
τ=
T
Io ρ
e:
Momento torsor
) = K.I0
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
τ=
T
Io ρ
Tensão cisalhante máxima se dá para ρ = R:
τmax =
T
R
Io
Razão entre Io e R é chamada de módulo de resistência à torção
(Wo ). Então:
T
τmax =
Wo
π 4
⋄ Seção circular → Io = 32
D
⋄ Seção anular, De o diâmetro externo, Di o diâmetro interno do
π 4
π
(D4e − D4i ) = 32
De (1 − n4)
eixo e n = Di /De → Io = 32
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Ângulo de torção
Ângulo de torção é a rotação relativa entre duas seções distantes de L
unidades de comprimento.
Lei de Hooke
θ=
Z
0
L
dθ =
Z
L
0
γ
dx =
ρ
|{z}
Z
0
L
z}|{
τ
G
dθ
γ=ρ dx
Momento torsor
1
dx
ρ
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Substituindo o valor de τ =
θ =
Tρ
I0
, a equação pode ser reescrita como:
Z
0
L
T
1
ρ
dx
Io G ρ
|{z}
τ= ITo ρ
θ=
TL
G Io
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Torque Aplicado ao eixo na Transmissão de Potência
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Em um eixo de tranmissão de potência, o trabalho executado pelo
momento torsor T, constante, é:
dW = Tdφ
onde φ é o deslocamento angular, em radianos.
Como potência é trabalho por unidade de tempo tem-se:
P=
dφ
dW
=T
= Tω
dt
dt
ou:
P = Tω
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
P = Tω
(5)
Para se aplicar a expressão 5, que relaciona a pôtencia aplicada a um
eixo que gira com uma velocidade angular ω ao torque T, deve-se
observar as unidades, que devem estar no SI, ou seja:
Potência (P): Watt (1W = 1 Nm/s).
Velocidade angular ω = 2πf : rad/s.
Freqüência f : Hertz = Hz
Torque (T): Nm.
Se a potência for expressa em cavalos-vapor (CV) ou horse-power
(hp), então os fatores de conversão para W são, respectivamente:
1 CV = 736 W e 1 hp = 746 W
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Exercícios
Calcular o momento torsor máximo admissível e o correspondente
ângulo de torção em um eixo de comprimento de 2 m dados τadm = 80
MPa e G = 85 GPa e seção:
(a) Circular, D = 250 mm; Resposta: T = 245,4 kNm e θ = 0,01506
rad.
(b) Anular, com d = 150 mm e D = 250 mm;
Resposta: T = 213,63 kNm e θ = 0,01504 rad.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
A barra circular maciça BC, de aço, é presa à haste rígida AB, e
engastada ao suporte rígido em C, como mostra a Figura. Sabendo-se
que G = 75GPa, determinar o diâmetro da barra, de modo que, para
P = 450N, a deflexão do ponto A não ultrapasse 2mm e que a máxima
tensão de cisalhamento não exceda o valor de 100MPa. Resposta:
d = 40, 5mm.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
O eixo ABCD da figura possui 20 mm de diâmetro e o módulo
tangente do material que o constitui é de 80 GPa. Este eixo é
submetido aos torques indicados. Pede-se:
(a) O diagrama de momento torsor;
(b) As tensões máximas em cada trecho;
(c) O ângulo de torção da polia C em relação ao apoio A;
(d) O ângulo de torção da polia D em relação ao apoio A.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Um eixo é composto por cinco polias que estão submetidas aos
torques indicados na Figura. Os trechos (1) e (4) têm 25 mm de
diâmetro e os trechos (2) e (3) têm 50 mm diâmetro. Dado G = 80
GPa, determinar:
(a) A tensão máxima no eixo;
(b) o ângulo de rotação entre as polias D e B;
(c) o ângulo de rotação entre as polias E e A.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
A haste da figura tem diâmetro de 12mm e peso de 80N/m. Determine
a tensão máxima de cisalhamento devido à torção na seção A
provocada pelo seu peso próprio.
Resposta: 159, 15MPa .
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Dimensionar o eixo de uma máquina, de 9 m de comprimento, que
transmite 200 CV de potência, dados τ = 21 MPa e G = 85 GPa a uma
velocidade angular de 120 rpm, e calcular o correspondente
deslocamento angular, adotando:
Seção circular cheia. Resposta: D = 142 mm, θ = 0, 03107 rad.
Seção anular com d/D = 0,5.
Resposta: D = 145 mm, θ = 0, 03048 rad.
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
O eixo sólido ABC da Figura de 50 mm de diâmetro é acionado em A
por um motor que transmite 50 kW ao eixo a uma freqüência de 10
Hz. As engrenagens B e C acionam maquinários que necessitam de
potência igual a 35 kW e 15 kW respectivamente. Calcule a tensão
máxima de cisalhamento no eixo e o ângulo de torção entre o motor
em A e a engrenagem em C, sabendo-se que o módulo tangente é de
80 GPa.
Figura : Figura extraída de Gere e Goodno (2009)
Momento torsor
Torção em eixos de seção circular
Análise de tensões e deformações na torção
Exercícios
Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do
motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a uma freqüência 175
rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm = 100
MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm.
Momento torsor
Download
Random flashcards
paulo

2 Cartões paulonetgbi

A Jornada do Herói

6 Cartões filipe.donner

Criar flashcards