Pré-Cálculo

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 4
23 de agosto de 2010
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Pré-Cálculo
1
A recíproca de “Se A, então B.”
Os conjuntos
N = {1, 2, 3, . . .}
Existem “infinitos” diferentes!
e
(0, 1) = {x ∈ R | 0 < x < 1}
são infinitos, mas não possuem o mesmo número cardinal.
Em um certo sentido, o intervalo (0, 1) é “mais infinito” do que o
conjunto N dos números naturais!
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2
Teorema
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6
Teorema
(5) Temos então:
N e (0, 1) não possuem o mesmo número cardinal.
f (1) = 0.d1,1 d1,2 d1,3 d1,4 . . . ,
Demonstração.
f (2) = 0.d2,1 d2,2 d2,3 d2,4 . . . ,
(1) Devemos mostrar que não existe uma bijeção entre N e (0, 1).
f (3) = 0.d3,1 d3,2 d3,3 d3,4 . . . ,
(2) Suponha, por absurdo, que uma tal bijeção exista: f : N → (0, 1).
(3) Assim, para cada n ∈ N, f (n) é um número real entre 0 e 1 e para cada número
real r entre 0 e 1 existe um único natural n tal que f (n) = r .
(4) Para cada n, vamos representar o número real f (n) através de sua expansão
decimal. No caso de números com duas expansões decimais (por exemplo,
0.5 = 0.49 = 0.4999 . . .), escolhemos aquela que é infinita (por exemplo, para
0.5 escolhemos 0.49).
(5) Temos então:
f (1) = 0.d1,1 d1,2 d1,3 d1,4 . . . ,
f (2) = 0.d2,1 d2,2 d2,3 d2,4 . . . ,
(6) Vamos construir um número real x = 0.p1 p2 p3 p4 . . . da seguinte maneira:
Se d1,1 = 5, então p1 = 4. Caso contrário, p1 = 5.
Se d2,2 = 5, então p2 = 4. Caso contrário, p2 = 5.
Se d3,3 = 5, então p3 = 4. Caso contrário, p3 = 5.
E assim por diante.
(7) O número real x = 0.p1 p2 p3 p4 . . . pertence ao intervalo (0, 1), mas x = f (1) (pois
p1 = d1,1 ), x = f (2) (pois p2 = d2,2 ), x = f (3) (pois p3 = d3,3 ), etc. Isto contradiz o
fato de f : N → (0, 1) ser sobrejetiva. Logo, não existe bijeção entre N e (0, 1).
f (3) = 0.d3,1 d3,2 d3,3 d3,4 . . . ,
f (4) = 0.d4,1 d4,2 d4,3 d4,4 . . . ,
..
.
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f (4) = 0.d4,1 d4,2 d4,3 d4,4 . . . ,
..
.
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38
Georg Cantor
Números reais
Matemático alemão (3 de março de 1845 – 6 de janeiro de 1918)
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40
Números reais
Geometricamente: através dos pontos da reta numérica.
Numericamente: através das expansões decimais.
Algebricamente: através dos axiomas de corpo ordenado completo.
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Números reais geometricamente
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42
Medir é comparar uma grandeza com uma unidade
Projeto grego: medida de segmentos
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Segmentos comensuráveis
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Dois segmentos são sempre comensuráveis?
Definições
D
Se um segmento u = CD é tomado como unidade, sua medida é, por definição,
igual a 1.
C
Considere
o quadrado ABCD
ao lado.
Segmentos congruentes, por definição, possuem a mesma medida.
Dado um segmento AB, se n pontos interiores decompuserem AB em n segmentos
justapostos, então a medida de AB será igual à soma das medidas desses n
segmentos. Se estes segmentos parciais foram todos congruentes a u, então
diremos que u cabe n vezes em AB e a medida de AB será, por definição, igual
a n.
A diagonal AC e
o lado AB do quadrado
são comensuráveis?
Diremos que dois segmentos AB e CD são comensuráveis se existe um
segmento w = RS que cabe n vezes em CD e m vezes em AB. Nesse caso,
w será então uma medida comum de CD e AB. Observe também que, nesse
caso
AB
m·w
m
=
= .
n
·
w
n
CD
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A
57
B
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60
Dois segmentos são sempre comensuráveis?
Demonstração
Suponha, por absurdo, que exista w tal que AC = m · w, AB = n · w e, por conseguinte,
D
x=
C
Note então que o número x é racional. Pelo teorema de Pitágoras,
Existe w tal que
(AC)2 = (AB)2 + (BC)2 = (AB)2 + (AB)2 = 2 · (AB)2 .
AC = m · w, AB = n · w
Portanto,
e, por conseguinte,
x =
B
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AC
AB
2
= 2.
Resumindo: x = m/n e x 2 = 2. Sem perda de generalidade, podemos supor que
x = m/n, onde m e n não possuem fatores em comum. Se x = m/n e x 2 = 2, então
(m/n)2 = 2 e, por conseguinte, m2 = 2 · n2 . Então, m2 é um número par. Por um
exercício resolvido em uma aula anterior, concluímos que m deve ser par: m = 2 · k
para algum inteiro k . Desta maneira, 2 · n2 = m2 = (2 · k )2 = 4 · k 2 . Daí, segue-se que
n2 = 2 · k 2 . Logo, n2 é par. Por por um exercício resolvido em uma anterior, concluímos
que n é par. Mas se m é par e n é par, então m e n possuem um fator em comum (2),
uma contradição.
Não!
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AC
m
= ?
n
AB
A
AC
m
= .
n
AB
62
Para desespero de Pitágoras. . .
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Para os gregos. . .
. . . os números racionais não são suficientes para descrever a medida de qualquer segmento.
. . . números são medidas de segmentos
e eles sabiam somar, multiplicar, dividir e ordenar números . . .
. . . usando geometria!
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A reta numérica
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