Pré-Cálculo

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 11
28 de maio de 2010
Aula 11
Pré-Cálculo
1
A função raiz quadrada
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x → y = f (x) = x 2
A função raiz quadrada
Já demonstramos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é injetiva.
Já mencionamos que f : [0, +∞) → [0, +∞) é sobrejetiva (a prova deste
fato requer ferramentas de análise).
Logo f : [0, +∞) → [0, +∞) é bijetiva e, portanto, inversível.
A função inversa f −1 de f é denominada função raiz quadrada. Usaremos
a notação
√
x
para representar
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2
Explicando. . .
Se a ≥ 0, então
real a.
√
√
Note então que, se a ≥ 0, então a é o único número real ≥ 0 que, elevado
ao quadrado, dá o número real a.
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13
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A função raiz quadrada
a é o único número real ≥ 0 que, elevado ao quadrado, dá o número
f : [0, +∞) → [0, +∞)
x → y = f (x) = x 2
f −1 (x).
f −1 : [0, +∞) → [0, +∞)
√
x → y = f −1 (x) = x
√
a ≥ 0, pois como vamos calcular a = f −1 (a), a deve estar no domínio de f −1 , que
é igual ao contradomínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a é único, pois f é bijetiva e, se não fosse único, f −1 não seria uma função.
√
√
a ≥ 0, pois a = f −1 (a) pertence ao contradomínio de f −1 , que é igual ao
domínio de f , o qual, por sua vez, é igual ao intervalo [0, +∞).
√
a elevado ao quadrado é igual ao número real a, pois
√
( a)2 = (f −1 (a))2 = f (f −1 (a)) = (f ◦ f −1 )(a) = a.
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(Ir para o GeoGebra)
35
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Propriedades
∀a ∈ R,
Propriedade: demonstração
∀a ∈ R,
a2 = |a|.
a2 = |a|.
√
√
√
∀a, b ≥ 0, a · b =
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
√
√
√
∀a, b ≥ 0, a + b ≤ a + b.
b
e
∀a, b ≤ 0, a · b =
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a·
√
√
a
a
=√
b
b
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−a ·
√
Demonstração. Considere o número p = |a|. Como vimos, p = |a| ≥ 0. Vale também
2
2
que p2 = |a|2 = a2 . De fato: se a ≥ 0, então
√ |a| = |a| · |a| = a · a = a e, se a < 0, então
2 é o único número real ≥ 0 que elevado ao
a
|a|2 = |a| · |a| = (−a) · (−a) = a2 . Como
√
quadrado é igual a a2 , segue-se que a2 = p = |a|.
−b.
√
a
−a
=√ .
b
−b
√
a<
√
b.
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42
Propriedade: demonstração
√
√ √
∀a, b ≥ 0, a · b = a · b
e
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59
Propriedade: demonstração
√
√
√
∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b.
∀a ≥ 0, ∀b > 0,
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√
a
a
=√
b
b
e
∀a ≤ 0, ∀b < 0,
√
a
−a
=√ .
b
−b
√ √
√ √
0 como
Demonstração. Considere o número p = a/ b. Note que p = a · b√≥ √
divisão de um número ≥ 0 por um número > 0. Vale também que p2 = ( a/ b)2 =
a/b. De fato:
√
√ 2
( a)2
a
a
= √
= .
p2 = √
b
b
( b)2
Como a/b é o único número real ≥ 0 que elevado
ao quadrado é igual a a/b, segue
√
√
√ √
se que a/b = p = a/ b. ∀a ≤ 0, ∀b < 0, a/b = −a/ −b fica como exercício.
√ √
√ √
que
p = a · b ≥ 0 como
Demonstração. Considere o número p = a · b. Note
√
√
produto de dois números ≥ 0. Vale também que p2 = ( a · b)2 = a · b. De fato:
√
√ √
√
p2 = ( a · b)2 = ( a)2 · ( b)2 = a · b.
√
Como √a · b é o único√número
√ real ≥ 0 que elevado ao quadrado é√igual a a√· b, segue√
se que a · b = p = a · b. A demonstração de que ∀a, b ≤ 0, a · b = −a · −b
fica como exercício.
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85
Propriedade: demonstração
Propriedade: demonstração
A função raiz quadrada é crescente: ∀a, b ≥ 0, a < b ⇒
Demonstração.
Sejam a, b ≥ 0 com a < b. Note que b > 0,
√
√
b + a > 0. Uma vez que
√
√
√
√
(b − a) = ( b − a) · ( b + a),
podemos escrever que
√
b−
√
a= √
√
√
a<
√
√
√
√
∀a, b ≥ 0, a + b ≤ a + b.
b.
b > 0, b − a > 0 e
b−a
√ .
a
b+
√
√
√
√
Assim, b − a > 0 como divisão de dois números
√ > 0.√ Em particular, a < b.
Naturalmente, vale também que se 0 ≤ a ≤ b, então a ≤ b.
√
√
Demonstração. Sejam a, b ≥ 0. Inicialmente, observe
√ a+b ≥ 0e a+ b ≥ 0
√ que
como soma de dois números ≥ 0. Note também que a · b ≥ 0 como produto de dois
números ≥ 0. Agora
√
√ √
√ √
√ √
√
0 ≤ a · b ⇒ 0 ≤ 2 · a · b ⇒ a + b ≤ a + 2 · a · b + b ⇒ a + b ≤ ( a + b)2 .
√
√
Como 0 ≤ a + b ≤ ( a + b)2 , usando a propriedade anterior, concluímos que
√
√
√
a + b ≤ ( a + b)2 .
Mas, pela primeira propriedade,
√
√
√
√
√
√
( a + b)2 = | a + b| = a + b.
Portanto, vale que
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100
Propriedade: demonstração
√
a+b ≤
√
a+
√
b.
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117
Exercício
√
√
√
∀a, b ≥ 0, a + b ≤ a + b.
As funções f (x) =
Observação. Note que, na expressão
acima, nem sempre vale
Tome,
√
√
√ a igualdade!
por exemplo, a = 9 e b = 16: a + b = 5 < 7 = 3 + 4 = a + b. Quando vale
a igualdade?
√
x −1
x −1
são iguais?
e g(x) = √
x −2
x −2
Resposta. As funções não são iguais, pois possuem domínios diferentes. Note, por
exemplo, que 0 pertence ao domínio de f , mas 0 não pertence ao domínio de g.
Os domínios naturais (efetivos) das funções f e g são dadas, respectivamente, por:
Df = (−∞, 1] ∪ (2, +∞)
e
Dg = (2, +∞).
Note, contudo, que restritas ao conjunto A = Df ∩ Dg = (2, +∞), as duas funções são
iguais:
= g .
f (2,+∞)
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125
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(2,+∞)
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135
A distância euclidiana entre dois pontos no plano
A distância euclidiana entre dois pontos
no plano
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136
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137
A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
y
5
A equação do círculo no plano
(x, y )
4
1
3
(4, 3)
2
1
x
−2
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−1
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0
1
2
3
4
5
6
7
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8
9
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A equação do círculo no plano
O círculo de centro em (4, 3) e raio 1 é o conjunto de todos os pontos (x, y ) no
plano cuja distância até o centro (4, 3) é igual ao raio 1.
d((x, y ), (4, 3)) = 1
⇔
⇔
⇔
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(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1
2
(x − 4)2 + (y − 3)2
= 12
Funções reais cujos gráficos são
semicírculos
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 1.
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146
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Funções reais cujos gráficos são semicírculos
Função par e função ímpar
√
Moral: o gráfico de y = f (x) = a2 − x 2 é o semicírculo superior de
centro na origem e raio |a|.
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154
Função par
Função par
Definição
O gráfico de uma função par é simétrico com relação ao eixo y !
Uma função real f : D → C é par se f (−x) = f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função par:
f: R → R
.
x → f (x) = 1 − x 4
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = 1 − (−x)4 = 1 − x 4 = f (x).
Note que a definição de função par pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
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158
Função ímpar
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159
Função ímpar
Definição
O gráfico de uma função ímpar é simétrico com relação à origem!
Uma função real f : D → C é ímpar se f (−x) = −f (x), ∀x ∈ D.
Exemplo de função ímpar:
f: R → R
.
x → f (x) = x 5 + x
De fato: para todo x ∈ R,
f (−x) = (−x)5 + (−x) = −x 5 − x = −(x 5 + x) = −f (x).
Note que a definição de função ímpar pressupõe que o domínio D seja simétrico
com relação a origem 0: se x pertence a D, então −x também deve pertencer
a D.
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164
Observações
Observações
Existe um função que seja par e ímpar ao mesmo tempo?
Existem funções que não são pares e nem ímpares:
Sim! A função identicamente nula definida em R!
f: R → R
.
x → f (x) = 2 − x 3
Toda função definida em R se escreve como soma de uma função
par e uma função ímpar:
De fato:
f (−1) = 3 = 1 = f (1)
e
f (−1) = 3 = −1 = −f (1).
f (x)
=
f (x) + f (−x)
2
par
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166
Exercício
A função y = f (x) =
x2 − 3
definida em R − {0} é par? Ela é ímpar?
x3
Justifique sua resposta!
Solução. A função f é ímpar, pois
f (−x) =
(−x)2 − 3
x2 − 3
=−
= f (x),
3
(−x)
x3
para todo x ∈ R.
A função não é par, pois f (−1) = 2 = −2 = f (1).
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Aula 11
+
f (x) − f (−x)
.
2
ímpar
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