Pré-Cálculo

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 15
20 de junho de 2011
Aula 15
Pré-Cálculo
1
A função quadrática
Aula 15
Pré-Cálculo
2
A função quadrática
y = f (x) = a · x 2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x.
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Pré-Cálculo
3
A função quadrática
y = f (x) = a · x 2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x.
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4
A função quadrática
y = f (x) = a · x 2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x.
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A função quadrática
y = f (x) = a · x 2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x.
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6
A função quadrática
y = f (x) = a · x 2 + b · x + c com a 6= 0
(1) O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
(2) O coeficiente c é a ordenada do ponto de interseção da
parábola com o eixo y .
(3) Se o coeficiente a é > 0, a parábola é côncava para cima. Se
a é < 0, ela é côncava para baixo.
(4) Se ∆ = b2 − 4 · a · c < 0, então a parábola não intercepta o
eixo x.
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A função quadrática
y = f (x) = a · x 2 + b · x + c
(5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo x
em dois pontos de abscissas:
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
a
x2 =
.
2·a
2·a
(6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo x
no ponto de abscissa:
x1 = −
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b
.
2·a
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A função quadrática
y = f (x) = a · x 2 + b · x + c
(5) Se ∆ = b2 − 4 · a · c > 0, então a parábola intercepta o eixo x
em dois pontos de abscissas:
√
√
−b − ∆
−b + ∆
x1 =
a
x2 =
.
2·a
2·a
(6) Se ∆ = b2 − 4 · a · c = 0, então a parábola intercepta o eixo x
no ponto de abscissa:
x1 = −
Aula 15
b
.
2·a
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9
A função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
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10
Completamento de quadrados
Aula 15
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11
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x 2 − 8 x + 15
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
x 2 − 2 (x) (4) + ?
=
x 2 − 2 (x) (4) + 16 − 16 + 15
=
2
x −4 −1
− ? + 15
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12
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x 2 − 8 x + 15
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
x 2 − 2 (x) (4) + ?
=
x 2 − 2 (x) (4) + 16 − 16 + 15
=
2
x −4 −1
− ? + 15
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Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x 2 − 8 x + 15
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
x 2 − 2 (x) (4) + ?
=
x 2 − 2 (x) (4) + 16 − 16 + 15
=
2
x −4 −1
− ? + 15
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14
Completamento de quadrados: exemplo 1
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x 2 − 8 x + 15
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
x 2 − 2 (x) (4) + ?
=
x 2 − 2 (x) (4) + 16 − 16 + 15
=
2
x −4 −1
− ? + 15
Pré-Cálculo
15
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x 2 − 8 x + 15 = 0
⇔
(x − 4)2 − 1 = 0
⇔
(x − 4)2 = 1
⇔
Aula 15
q
(x − 4)2 =
√
1
⇔
|x − 4| = 1
⇔
x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔
x = 3 ou x = 5.
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16
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x 2 − 8 x + 15 = 0
⇔
(x − 4)2 − 1 = 0
⇔
(x − 4)2 = 1
⇔
Aula 15
q
(x − 4)2 =
√
1
⇔
|x − 4| = 1
⇔
x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔
x = 3 ou x = 5.
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17
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x 2 − 8 x + 15 = 0
⇔
(x − 4)2 − 1 = 0
⇔
(x − 4)2 = 1
⇔
Aula 15
q
(x − 4)2 =
√
1
⇔
|x − 4| = 1
⇔
x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔
x = 3 ou x = 5.
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Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x 2 − 8 x + 15 = 0
⇔
(x − 4)2 − 1 = 0
⇔
(x − 4)2 = 1
⇔
Aula 15
q
(x − 4)2 =
√
1
⇔
|x − 4| = 1
⇔
x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔
x = 3 ou x = 5.
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Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x 2 − 8 x + 15 = 0
⇔
(x − 4)2 − 1 = 0
⇔
(x − 4)2 = 1
⇔
Aula 15
q
(x − 4)2 =
√
1
⇔
|x − 4| = 1
⇔
x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔
x = 3 ou x = 5.
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Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x 2 − 8 x + 15 = 0
⇔
(x − 4)2 − 1 = 0
⇔
(x − 4)2 = 1
⇔
Aula 15
q
(x − 4)2 =
√
1
⇔
|x − 4| = 1
⇔
x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔
x = 3 ou x = 5.
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21
Completamento de quadrados: exemplo 1
Logo:
x 2 − 8 x + 15 = 0
⇔
(x − 4)2 − 1 = 0
⇔
(x − 4)2 = 1
⇔
Aula 15
q
(x − 4)2 =
√
1
⇔
|x − 4| = 1
⇔
x − 4 = −1 ou x − 4 = 1
⇔
x = 3 ou x = 5.
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Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x2
2
+ 3x + 2
=
=
=
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
3
x + 2 (x)
+ ? − ? +2
2
9
9
3
2
+
−
+2
x + 2 (x)
2
4
4
3 2 1
x+
− .
2
4
2
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Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x2
2
=
=
=
Aula 15
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
3
+ ? − ? +2
x + 2 (x)
2
9
9
3
2
+
−
+2
x + 2 (x)
2
4
4
3 2 1
x+
− .
2
4
+ 3x + 2
e
2
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Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x2
2
=
=
=
Aula 15
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
3
+ ? − ? +2
x + 2 (x)
2
9
9
3
2
+
−
+2
x + 2 (x)
2
4
4
3 2 1
x+
− .
2
4
+ 3x + 2
e
2
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Completamento de quadrados: exemplo 2
Lembre-se que:
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x2
2
=
=
=
Aula 15
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
3
+ ? − ? +2
x + 2 (x)
2
9
9
3
2
+
−
+2
x + 2 (x)
2
4
4
3 2 1
x+
− .
2
4
+ 3x + 2
e
2
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Completamento de quadrados: exemplo 2
x2 + 3 x + 2 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔
x+
2
4
2
3
1
⇔
x+
=
2
4
s
2 r
3
1
=
x+
⇔
2
4
3 1
⇔ x + =
2
2
3
1
3
1
= − ou x + =
2
2
2
2
⇔
x+
⇔
x = −2 ou x = −1.
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Completamento de quadrados: exemplo 2
x2 + 3 x + 2 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔
x+
2
4
2
1
3
=
⇔
x+
2
4
s
2 r
3
1
=
x+
⇔
2
4
3 1
⇔ x + =
2
2
3
1
3
1
= − ou x + =
2
2
2
2
⇔
x+
⇔
x = −2 ou x = −1.
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Completamento de quadrados: exemplo 2
x2 + 3 x + 2 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔
x+
2
4
2
1
3
=
⇔
x+
2
4
s
2 r
3
1
=
x+
⇔
2
4
3 1
⇔ x + =
2
2
3
1
3
1
= − ou x + =
2
2
2
2
⇔
x+
⇔
x = −2 ou x = −1.
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Completamento de quadrados: exemplo 2
x2 + 3 x + 2 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔
x+
2
4
2
1
3
=
⇔
x+
2
4
s
2 r
3
1
=
x+
⇔
2
4
3 1
⇔ x + =
2
2
3
1
3
1
= − ou x + =
2
2
2
2
⇔
x+
⇔
x = −2 ou x = −1.
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Completamento de quadrados: exemplo 2
x2 + 3 x + 2 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔
x+
2
4
2
1
3
=
⇔
x+
2
4
s
2 r
3
1
=
x+
⇔
2
4
3 1
⇔ x + =
2
2
3
1
3
1
= − ou x + =
2
2
2
2
⇔
x+
⇔
x = −2 ou x = −1.
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Completamento de quadrados: exemplo 2
x2 + 3 x + 2 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔
x+
2
4
2
1
3
=
⇔
x+
2
4
s
2 r
3
1
=
x+
⇔
2
4
3 1
⇔ x + =
2
2
3
1
3
1
= − ou x + =
2
2
2
2
⇔
x+
⇔
x = −2 ou x = −1.
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Completamento de quadrados: exemplo 2
x2 + 3 x + 2 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔
x+
2
4
2
1
3
=
⇔
x+
2
4
s
2 r
3
1
=
x+
⇔
2
4
3 1
⇔ x + =
2
2
3
1
3
1
= − ou x + =
2
2
2
2
⇔
x+
⇔
x = −2 ou x = −1.
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Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
2 x2
2
− 3x + 1
=
=
=
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
3
2
2 x − 2 (x)
+ ? − ? +1
4
9
9
3
2
+
−
+1
2 x − 2 (x)
4
16
8
3 2 1
2 x−
−
4
8
Pré-Cálculo
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Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
2 x2
2
− 3x + 1
=
=
=
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
3
2
2 x − 2 (x)
+ ? − ? +1
4
9
9
3
2
+
−
+1
2 x − 2 (x)
4
16
8
3 2 1
2 x−
−
4
8
Pré-Cálculo
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Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
2 x2
2
− 3x + 1
=
=
=
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
3
2
2 x − 2 (x)
+ ? − ? +1
4
9
9
3
2
+
−
+1
2 x − 2 (x)
4
16
8
3 2 1
2 x−
−
4
8
Pré-Cálculo
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Completamento de quadrados: exemplo 3
Lembre-se que:
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
2 x2
2
− 3x + 1
=
=
=
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
3
2
2 x − 2 (x)
+ ? − ? +1
4
9
9
3
2
+
−
+1
2 x − 2 (x)
4
16
8
3 2 1
2 x−
−
4
8
Pré-Cálculo
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Completamento de quadrados: exemplo 3
2 x2 − 3 x + 1 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔ 2 x−
4
8
2
3
1
⇔
x−
=
4
16
s
r
3 2
1
=
x−
⇔
4
16
3 1
⇔ x − =
4
4
3
1
3
1
= − ou x − =
4
4
4
4
⇔
x−
⇔
x = 1 ou x =
1
.
2
Pré-Cálculo
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Completamento de quadrados: exemplo 3
2 x2 − 3 x + 1 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔ 2 x−
4
8
2
1
3
=
⇔
x−
4
16
s
r
3 2
1
=
x−
⇔
4
16
3 1
⇔ x − =
4
4
3
1
3
1
= − ou x − =
4
4
4
4
⇔
x−
⇔
x = 1 ou x =
1
.
2
Pré-Cálculo
39
Completamento de quadrados: exemplo 3
2 x2 − 3 x + 1 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔ 2 x−
4
8
2
1
3
=
⇔
x−
4
16
s
r
3 2
1
=
x−
⇔
4
16
3 1
⇔ x − =
4
4
3
1
3
1
= − ou x − =
4
4
4
4
⇔
x−
⇔
x = 1 ou x =
1
.
2
Pré-Cálculo
40
Completamento de quadrados: exemplo 3
2 x2 − 3 x + 1 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔ 2 x−
4
8
2
1
3
=
⇔
x−
4
16
s
r
3 2
1
=
x−
⇔
4
16
3 1
⇔ x − =
4
4
3
1
3
1
= − ou x − =
4
4
4
4
⇔
x−
⇔
x = 1 ou x =
1
.
2
Pré-Cálculo
41
Completamento de quadrados: exemplo 3
2 x2 − 3 x + 1 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔ 2 x−
4
8
2
1
3
=
⇔
x−
4
16
s
r
3 2
1
=
x−
⇔
4
16
3 1
⇔ x − =
4
4
3
1
3
1
= − ou x − =
4
4
4
4
⇔
x−
⇔
x = 1 ou x =
1
.
2
Pré-Cálculo
42
Completamento de quadrados: exemplo 3
2 x2 − 3 x + 1 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔ 2 x−
4
8
2
1
3
=
⇔
x−
4
16
s
r
3 2
1
=
x−
⇔
4
16
3 1
⇔ x − =
4
4
3
1
3
1
= − ou x − =
4
4
4
4
⇔
x−
⇔
x = 1 ou x =
1
.
2
Pré-Cálculo
43
Completamento de quadrados: exemplo 3
2 x2 − 3 x + 1 = 0
Aula 15
Logo:
3 2 1
− =0
⇔ 2 x−
4
8
2
1
3
=
⇔
x−
4
16
s
r
3 2
1
=
x−
⇔
4
16
3 1
⇔ x − =
4
4
3
1
3
1
= − ou x − =
4
4
4
4
⇔
x−
⇔
x = 1 ou x =
1
.
2
Pré-Cálculo
44
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
− x2 + 2 x − 1
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
− x 2 − 2 (x) (1) + ? + ? − 1
=
− x 2 − 2 (x) (1) + 1 + 1 − 1
=
2
− x −1
Pré-Cálculo
45
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
− x2 + 2 x − 1
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
− x 2 − 2 (x) (1) + ? + ? − 1
=
− x 2 − 2 (x) (1) + 1 + 1 − 1
=
2
− x −1
Pré-Cálculo
46
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
− x2 + 2 x − 1
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
− x 2 − 2 (x) (1) + ? + ? − 1
=
− x 2 − 2 (x) (1) + 1 + 1 − 1
=
2
− x −1
Pré-Cálculo
47
Completamento de quadrados: exemplo 4
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
− x2 + 2 x − 1
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
− x 2 − 2 (x) (1) + ? + ? − 1
=
− x 2 − 2 (x) (1) + 1 + 1 − 1
=
2
− x −1
Pré-Cálculo
48
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0
Aula 15
⇔
− (x − 1)2 = 0
⇔
(x − 1)2 = 0
⇔
q
√
(x − 1)2 = 0
⇔
|x − 1| = 0
⇔
x −1=0
⇔
x = 1.
Pré-Cálculo
49
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0
Aula 15
⇔
− (x − 1)2 = 0
⇔
(x − 1)2 = 0
⇔
q
√
(x − 1)2 = 0
⇔
|x − 1| = 0
⇔
x −1=0
⇔
x = 1.
Pré-Cálculo
50
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0
Aula 15
⇔
− (x − 1)2 = 0
⇔
(x − 1)2 = 0
⇔
q
√
(x − 1)2 = 0
⇔
|x − 1| = 0
⇔
x −1=0
⇔
x = 1.
Pré-Cálculo
51
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0
Aula 15
⇔
− (x − 1)2 = 0
⇔
(x − 1)2 = 0
⇔
q
√
(x − 1)2 = 0
⇔
|x − 1| = 0
⇔
x −1=0
⇔
x = 1.
Pré-Cálculo
52
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0
Aula 15
⇔
− (x − 1)2 = 0
⇔
(x − 1)2 = 0
⇔
q
√
(x − 1)2 = 0
⇔
|x − 1| = 0
⇔
x −1=0
⇔
x = 1.
Pré-Cálculo
53
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0
Aula 15
⇔
− (x − 1)2 = 0
⇔
(x − 1)2 = 0
⇔
q
√
(x − 1)2 = 0
⇔
|x − 1| = 0
⇔
x −1=0
⇔
x = 1.
Pré-Cálculo
54
Completamento de quadrados: exemplo 4
Logo:
− x2 + 2 x − 1 = 0
Aula 15
⇔
− (x − 1)2 = 0
⇔
(x − 1)2 = 0
⇔
q
√
(x − 1)2 = 0
⇔
|x − 1| = 0
⇔
x −1=0
⇔
x = 1.
Pré-Cálculo
55
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x2 + 2 x + 4
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
x 2 + 2 (x) (1) + ?
− ? +4
=
x 2 + 2 (x) (1) + 1
− 1 +4
=
2
x +1 +3
Pré-Cálculo
56
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x2 + 2 x + 4
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
x 2 + 2 (x) (1) + ?
− ? +4
=
x 2 + 2 (x) (1) + 1
− 1 +4
=
2
x +1 +3
Pré-Cálculo
57
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x2 + 2 x + 4
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
x 2 + 2 (x) (1) + ?
− ? +4
=
x 2 + 2 (x) (1) + 1
− 1 +4
=
2
x +1 +3
Pré-Cálculo
58
Completamento de quadrados: exemplo 5
Lembre-se que:
2
2
(u + v ) = u + 2 (u)(v ) + v 2
x2 + 2 x + 4
Aula 15
e
(u − v )2 = u 2 − 2 (u)(v ) + v 2 .
=
x 2 + 2 (x) (1) + ?
− ? +4
=
x 2 + 2 (x) (1) + 1
− 1 +4
=
2
x +1 +3
Pré-Cálculo
59
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0
⇔
(x + 1)2 + 3 = 0
⇔
(x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x 2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
60
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0
⇔
(x + 1)2 + 3 = 0
⇔
(x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x 2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
61
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0
⇔
(x + 1)2 + 3 = 0
⇔
(x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x 2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
62
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0
⇔
(x + 1)2 + 3 = 0
⇔
(x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x 2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
63
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0
⇔
(x + 1)2 + 3 = 0
⇔
(x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x 2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
64
Completamento de quadrados: exemplo 5
Logo:
x2 + 2 x + 4 = 0
⇔
(x + 1)2 + 3 = 0
⇔
(x + 1)2 = −3.
Moral: como (x + 1)2 ≥ 0 para todo x ∈ R e −3 < 0, segue-se
que a equação x 2 + 2 x + 4 = 0 não possui solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
65
Completamento de quadrados: caso geral
a x2 + b x + c
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
Aula 15
Hipótese: a 6= 0.
b
2
x + 2 (x)
+ ?
− ? +c
2a
b
b2
2
x + 2 (x)
+
− ? +c
2a
4 a2
b
b2
b2
2
x + 2 (x)
+
+c
−
2a
4a
4 a2
2
b
b2
b
2
x + 2 (x)
−c
+
−
2a
4a
4 a2
2
b
b − 4 ac
b2
2
x + 2 (x)
+
−
2a
4a
4 a2
2 b
∆
x+
−
2a
4a
Pré-Cálculo
66
Completamento de quadrados: caso geral
a x2 + b x + c
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
Aula 15
Hipótese: a 6= 0.
b
2
x + 2 (x)
+ ?
− ? +c
2a
b
b2
2
x + 2 (x)
+
− ? +c
2a
4 a2
b
b2
b2
2
x + 2 (x)
+
+c
−
2a
4a
4 a2
2
b
b2
b
2
x + 2 (x)
−c
+
−
2a
4a
4 a2
2
b
b − 4 ac
b2
2
x + 2 (x)
+
−
2a
4a
4 a2
2 b
∆
x+
−
2a
4a
Pré-Cálculo
67
Completamento de quadrados: caso geral
a x2 + b x + c
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
Aula 15
Hipótese: a 6= 0.
b
2
x + 2 (x)
+ ?
− ? +c
2a
b
b2
2
x + 2 (x)
+
− ? +c
2a
4 a2
b
b2
b2
2
x + 2 (x)
+
+c
−
2a
4a
4 a2
2
b
b2
b
2
x + 2 (x)
−c
+
−
2a
4a
4 a2
2
b
b − 4 ac
b2
2
x + 2 (x)
+
−
2a
4a
4 a2
2 b
∆
x+
−
2a
4a
Pré-Cálculo
68
Completamento de quadrados: caso geral
a x2 + b x + c
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
Aula 15
Hipótese: a 6= 0.
b
2
x + 2 (x)
+ ?
− ? +c
2a
b
b2
2
x + 2 (x)
+
− ? +c
2a
4 a2
b
b2
b2
2
x + 2 (x)
+
+c
−
2a
4a
4 a2
2
b2
b
b
2
x + 2 (x)
−c
+
−
2a
4a
4 a2
2
b
b − 4 ac
b2
2
x + 2 (x)
+
−
2a
4a
4 a2
2 b
∆
x+
−
2a
4a
Pré-Cálculo
69
Completamento de quadrados: caso geral
a x2 + b x + c
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
Aula 15
Hipótese: a 6= 0.
b
2
x + 2 (x)
+ ?
− ? +c
2a
b
b2
2
x + 2 (x)
+
− ? +c
2a
4 a2
b
b2
b2
2
x + 2 (x)
+
+c
−
2a
4a
4 a2
2
b2
b
b
2
x + 2 (x)
−c
+
−
2a
4a
4 a2
2
b
b − 4 ac
b2
2
x + 2 (x)
+
−
2a
4a
4 a2
2 b
∆
x+
−
2a
4a
Pré-Cálculo
70
Completamento de quadrados: caso geral
a x2 + b x + c
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
Aula 15
Hipótese: a 6= 0.
b
2
x + 2 (x)
+ ?
− ? +c
2a
b
b2
2
x + 2 (x)
+
− ? +c
2a
4 a2
b
b2
b2
2
x + 2 (x)
+
+c
−
2a
4a
4 a2
2
b2
b
b
2
x + 2 (x)
−c
+
−
2a
4a
4 a2
2
b
b − 4 ac
b2
2
x + 2 (x)
+
−
2a
4a
4 a2
2 b
∆
x+
−
2a
4a
Pré-Cálculo
71
Completamento de quadrados: caso geral
a x2 + b x + c
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
=
a
Aula 15
Hipótese: a 6= 0.
b
2
x + 2 (x)
+ ?
− ? +c
2a
b
b2
2
x + 2 (x)
+
− ? +c
2a
4 a2
b
b2
b2
2
x + 2 (x)
+
+c
−
2a
4a
4 a2
2
b2
b
b
2
x + 2 (x)
−c
+
−
2a
4a
4 a2
2
b
b − 4 ac
b2
2
x + 2 (x)
+
−
2a
4a
4 a2
2 b
∆
x+
−
2a
4a
Pré-Cálculo
72
A forma canônica do trinômio
Aula 15
Pré-Cálculo
73
A forma canônica do trinômio
Forma canônica do trinômio: se a 6= 0, então
a x2
+bx +c = a
Aula 15
b
x+
2a
2
−
b2 − 4 ac
4a
Pré-Cálculo
74
Aplicação: raízes de uma equação
quadrática
Aula 15
Pré-Cálculo
75
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
∆
b 2
=
.
⇔
x+
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
76
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
∆
b 2
=
.
⇔
x+
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
77
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
∆
b 2
=
.
⇔
x+
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
78
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
b 2
∆
x+
=
.
⇔
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
79
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
b 2
∆
x+
=
.
⇔
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
80
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
b 2
∆
x+
=
.
⇔
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
81
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
b 2
∆
x+
=
.
⇔
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
82
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
b 2
∆
x+
=
.
⇔
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
83
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0.
b 2
∆
2
ax + bx + c = 0 ⇔ a x +
−
=0
2a
4a
2
∆
b
=
⇔ a x+
2a
4a
b 2
∆
x+
=
.
⇔
2a
4 a2
Moral: se ∆ = b2 − 4 ac < 0, então
∆
<0
4 a2
e
b 2
x+
≥ 0.
2a
Logo, a equação quadrática a x 2 + b x + c = 0 não possui
solução real.
Aula 15
Pré-Cálculo
84
Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
2
a
4
a2
s
2 r
b
∆
x+
=
⇔
2a
4 a2
√ √
√
∆
b
∆
∆
= √
=
=
⇔ x +
2 a
2|a| 2a 4 a2
√
√
b
∆
b
∆
⇔ x+
=−
ou x +
=+
2a
2a
2a
2a
√
√
b
∆
b
∆
⇔ x =−
−
ou x = −
+
2a
2a
2a
2a
√
√
−b − ∆
−b + ∆
⇔ x=
ou x =
.
2a
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Pré-Cálculo
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Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
2
a
4
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s
2 r
b
∆
x+
=
⇔
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√ √
√
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b
∆
∆
= √
=
=
⇔ x +
2 a
2|a| 2a 4 a2
√
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b
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⇔ x+
=−
ou x +
=+
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⇔ x =−
−
ou x = −
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⇔ x=
ou x =
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Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
2
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4
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x+
=
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√ √
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⇔ x +
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⇔ x+
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⇔ x =−
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⇔ x=
ou x =
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Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
2
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⇔ x=
ou x =
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Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
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⇔ x =−
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⇔ x=
ou x =
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Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
2
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⇔ x +
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⇔ x =−
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⇔ x=
ou x =
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Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
2
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⇔ x +
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=−
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⇔ x =−
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⇔ x=
ou x =
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Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
2
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4
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x+
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⇔ x +
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⇔ x+
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⇔ x=
ou x =
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Aplicação: raízes de uma equação quadrática
Hipótese: a 6= 0 e ∆ = b2 − 4 ac ≥ 0.
∆
b 2
=
a x2 + b x + c = 0 ⇔
x+
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⇔ x+
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⇔ x =−
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−b + ∆
⇔ x=
ou x =
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Pré-Cálculo
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
O hábito de dar o nome de Bhaskara para a fórmula de resolução da equação
do segundo grau se estabeleceu no Brasil por volta de 1960.
Esse costume
aparentemente só brasileiro (não se encontra o nome de Bhaskara para essa
fórmula na literatura internacional), não é adequado pois:
1. Problemas que recaem numa equação do segundo grau já apareciam, há quase
4 mil anos, em textos escritos pelos babilônios. Nesses textos o que se tinha era
uma receita (escrita em prosa, sem uso de símbolos) que ensina como proceder
para determinar as raízes em exemplos concretos com coeficientes numéricos.
2. Até o fim do século XVI não se usava fórmula para obter raízes de uma equação
do segundo grau, simplesmente porque não se representavam por letras os
coeficientes de uma equação. Isso passou a ser feito a partir de François Viète,
matemático francês que viveu de 1540 a 1603.
Logo, embora não se deva negar a importância e a riqueza da obra de Bhaskara,
não é correto atribuir a ele a conhecida fórmula de resolução da equação do
segundo grau.
Fonte: Revista do Professor de Matemática, SBM, vol. 39, p. 54.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
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Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15
Pré-Cálculo
112
A fórmula de Bhaskara é de Bhaskara?
Problemas que recaem numa equação do segundo grau estão entre os mais
antigos da Matemática. Em textos cuneiformes, escritos pelos babilônicos há
quase quatro mil anos, encontramos, por exemplo, a questão de achar dois
números conhecendo sua soma s e o seu produto p. Os números procurados
são raízes da equação de segundo grau x 2 − s x + p = 0. Com efeito: se x é um
dos números, então s − x é o outro (pois a soma dos dois números deve ser igual
a s). Logo, o seu produto é igual a
p = x(s − x) = s x − x 2 ,
de modo que
x 2 − s x + p = 0.
Em termos geométricos, este problema pede que se determine os lados de um
retângulo conhecendo o semiperímetro s e a área p.
Aula 15
Pré-Cálculo
113
Aplicação: o gráfico de uma função
quadrática
Aula 15
Pré-Cálculo
114
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
2
b − 4 ac
b 2
2
−
ax + bx + c = a x +
,
2a
4a
segue-se que se
f (x) = x 2
e
g(x) = a x 2 + b x + c,
g(x) = a f (x + r ) + s, onde r =
então
b
b2 − 4 ac
es=−
.
2a
4a
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x 2 .
Aula 15
Pré-Cálculo
115
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
2
b − 4 ac
b 2
2
−
ax + bx + c = a x +
,
2a
4a
segue-se que se
f (x) = x 2
e
g(x) = a x 2 + b x + c,
g(x) = a f (x + r ) + s, onde r =
então
b
b2 − 4 ac
es=−
.
2a
4a
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x 2 .
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116
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
2
b − 4 ac
b 2
2
−
ax + bx + c = a x +
,
2a
4a
segue-se que se
f (x) = x 2
e
g(x) = a x 2 + b x + c,
g(x) = a f (x + r ) + s, onde r =
então
b
b2 − 4 ac
es=−
.
2a
4a
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x 2 .
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Pré-Cálculo
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Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
2
b − 4 ac
b 2
2
−
ax + bx + c = a x +
,
2a
4a
segue-se que se
f (x) = x 2
e
g(x) = a x 2 + b x + c,
g(x) = a f (x + r ) + s, onde r =
então
b
b2 − 4 ac
es=−
.
2a
4a
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x 2 .
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Pré-Cálculo
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Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
2
b − 4 ac
b 2
2
−
ax + bx + c = a x +
,
2a
4a
segue-se que se
f (x) = x 2
e
g(x) = a x 2 + b x + c,
g(x) = a f (x + r ) + s, onde r =
então
b
b2 − 4 ac
es=−
.
2a
4a
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x 2 .
Aula 15
Pré-Cálculo
119
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
Uma vez que
2
b − 4 ac
b 2
2
−
ax + bx + c = a x +
,
2a
4a
segue-se que se
f (x) = x 2
e
g(x) = a x 2 + b x + c,
g(x) = a f (x + r ) + s, onde r =
então
b
b2 − 4 ac
es=−
.
2a
4a
Moral:
o gráfico de qualquer função quadrática pode ser obtido via um
alongamento/compressão vertical, uma translação horizontal e
uma translação vertical do gráfico da função f (x) = x 2 .
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Pré-Cálculo
120
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
(Ir para o GeoGebra)
Aula 15
Pré-Cálculo
121
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática
2
b 2
b − 4 ac
f (x) = a x + b x + c = a x +
−
,
2a
4a
2
têm coordenadas
V =
Aula 15
b
b2 − 4 ac
−
,−
2a
4a
.
Pré-Cálculo
122
Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
O vértice da parábola que é gráfico da função quadrática
2
b 2
b − 4 ac
f (x) = a x + b x + c = a x +
−
,
2a
4a
2
têm coordenadas
V =
Aula 15
b2 − 4 ac
b
,−
−
2a
4a
.
Pré-Cálculo
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Aplicação: o gráfico de uma função quadrática
(http://www.uff.br/cdme/fqa/ ou http://www.cdme.im-uff.mat.br/fqa/)
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Pré-Cálculo
124