Pré-Cálculo

Pré-Cálculo
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Aula 12
06 de junho de 2011
Aula 12
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1
A função afim
Definição
Uma função f : R → R chama-se afim se existem constantes
a, b ∈ R tais que f (x) = a x + b para todo x ∈ R.
A função afim
Exemplo de função afim:
f: R → R
.
x → f (x) = 2x + 3
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2
Proposição
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5
Cuidado!
O gráfico de uma função afim f : x → y = f (x) = a x + b é uma reta.
Todo gráfico de uma função afim é uma reta no plano cartesiano, mas
nem toda reta no plano cartesiano é gráfico de uma função afim!
Demonstração. Basta verificarmos que três pontos quaisquer do gráfico de f são
colineares. Sejam, portanto,
P1 = (x1 , ax1 + b),
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P2 = (x2 , ax2 + b)
e P3 = (x3 , ax3 + b).
Para verificar que P1 , P2 e P3 são colineares é necessário e suficiente que o maior dos
três números d(P1 , P2 ), d(P2 , P3 ) e d(P1 , P3 ) seja igual à soma dos outros dois.
Sem perda de generalidade, podemos supor que as abscissas x1 , x2 e x3 foram
ordenadas de modo que x1 < x2 < x3 . A fórmula da distância entre dois pontos nos dá:
(x2 − x1 )2 + a2 (x2 − x1 )2 = (x2 − x1 ) 1 + a2 ,
d(P1 , P2 ) =
d(P2 , P3 ) = (x3 − x2 ) 1 + a2 ,
d(P1 , P3 ) = (x3 − x1 ) 1 + a2 .
Daí se segue imediatamente que d(P1 , P3 ) = d(P1 , P2 ) + d(P2 , P3 ).
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Observações
A função afim
y = f (x) = a · x + b
(1) O gráfico de uma função afim é uma reta: a é o coeficiente
angular (com relação ao eixo x) e b é o coeficiente linear da
reta.
(2) O coeficiente linear b é a ordenada do ponto de interseção da
reta com o eixo y .
(3) O coeficiente angular a mede a inclinação da reta: ele é igual
a tangente do ângulo entre a reta e o eixo x quando a mesma
escala foi usada nos dois eixos coordenados.
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Exercícios
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Proposição
Dados arbitrariamente (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) ∈ R2 , com x1 = x2 , existe uma, e somente uma,
função afim f : R → R tal que
y = f (x) = a · x + b
f (x1 ) = y1
Demonstração. Observe que:
f (x1 ) = y1 ,
f (x2 ) = y2 ,
(1) f é crescente se, e somente se, a > 0. f é decrescente se, e
somente se, a < 0.
(2) Estude a equação ax + b = 0 (isto é, f (x) = 0).
dependerá dos sinais de a e b.
A
a x1 + b = y1 ,
a x2 + b = y2 .
possui uma única solução. Mas, como x1 = x2 , este é o caso,
a=
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⇔
f (x2 ) = y2 .
Assim, existe uma única função afim f : R → R tal que f (x1 ) = y1 e f (x2 ) = y2 se, e
somente se, o sistema linear nas variáveis a e b
a x1 + b = y1 ,
a x2 + b = y2 ,
resposta
(3) Estude a inequação ax + b > 0 (isto é, f (x) > 0). A resposta
dependerá dos sinais de a e b.
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e
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y2 − y1
,
x 2 − x1
b=
x 2 y 1 − x1 y 2
.
x 2 − x1
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A taxa de variação de uma função afim
Definição
Dados, x1 , x2 ∈ R, com x1 = x2 , o número
a=
f (x2 ) − f (x1 )
x2 − x1
A função linear
é denominado taxa de variação da função f no intervalo de
extremos x1 e x2 .
Trabalho (valendo 0.5, entrega dentro de uma semana):
http://www.uff.br/cdme/afim/ ou
http://www.cdme.im-uff.mat.br/afim/
Fazer a avaliação online e preencher o formulário de acompanhamento do aluno:
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A função linear
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43
Observações
(1) Se y = f (x) = a x é uma função linear, então f (x1 + x2 ) =
f (x1 ) + f (x2 ) para todo x1 , x2 ∈ R e f (cx) = c f (x) para todo
c, x ∈ R.
Definição
Uma função f : R → R chama-se linear se existe constante
a ∈ R tais que f (x) = a x para todo x ∈ R.
(2) A função linear é o modelo matemático para os problemas de
proporcionalidade. A proporcionalidade é, provavelmente, a
noção matemática mais difundida na cultura de todos os povos
e seu uso universal data de milênios.
Exemplo de função afim:
(3) Uma proporcionalidade direta é uma função f : R → R tal que,
para quaisquer números reais c, x tem-se f (cx) = c f (x).
f: R → R
.
x → f (x) = 2x
(4) Uma proporcionalidade inversa é uma função f : R∗ → R∗
(onde R∗ = R − {0}) tal que, para quaisquer números c, x ∈ R∗
tem-se f (cx) = f (x)/c.
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O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 1
Seja f : R+ → R+ uma função crescente que satisfaz a seguinte propriedade:
f (k x) = k f (x) para todo k ∈ N e todo x ∈ R+ .
O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 1
Seja f : R+ → R+ uma função crescente que satisfaz a seguinte propriedade:
f (k x) = k f (x) para todo k ∈ N e todo x ∈ R+ .
(1)
(1)
Então f (x) = a · x para todo x ∈ R+ , com a = f (1).
Então f (x) = a · x para todo x ∈ R+ , com a = f (1).
Demonstração. Primeiro mostraremos que f (x) = a · x para todo x racional > 0 e,
depois, que f (x) = a · x para todo x irracional > 0.
Demonstração (continuação).
(Caso 2) Observe que a = f (1) > 0. Suponha, por absurdo, que exista algum número
irracional x > 0 tal que f (x) = a · x. Para fixar ideias, admitamos que f (x) < a · x (o caso
f (x) > a · x seria tratado de modo análogo). Temos então que f (x)/a < x. Tomemos
um número racional r entre f (x)/a e x:
(Caso 1) Seja r um número racional > 0. Logo, r = m/n, com m ∈ N e n ∈ N.
Usando (1) temos que
n · f (r · x) = f (n · r · x) = f (m · x) = m · f (x),
f (x)
< r < x.
a
logo
m
· f (x) = r · f (x).
n
Seja a = f (1). Temos que para todo r racional,
f (r · x) =
Então f (x) < a · r < a · x, ou seja, f (x) < f (r ) < a · x. Mas isto é absurdo, pois f
é crescente logo, como r < x, deveríamos ter f (r ) < f (x). Esta contradição completa
a demonstração.
f (r ) = f (r · 1) = r · f (1) = r · a = a · r .
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O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 1
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Aplicação
A área de um retângulo de altura a e base x é igual a a · x.
Seja f : R+ → R+ uma função crescente que satisfaz a seguinte propriedade:
f (k x) = k f (x) para todo k ∈ N e todo x ∈ R+ .
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(1)
Então f (x) = a · x para todo x ∈ R+ , com a = f (1).
Demonstração. Seja f (x) a área do retângulo de altura a e base x. É claro que f é uma
função crescente de x. Além disso, é claro que um retângulo de altura a e base k · x
pode ser decomposto em k retângulos de mesma altura a, com um com base x.
Demonstração (continuação).
(Caso 2) Observe que a = f (1) > 0. Suponha, por absurdo, que exista algum número
irracional x > 0 tal que f (x) = a · x. Para fixar ideias, admitamos que f (x) < a · x (o caso
f (x) > a · x seria tratado de modo análogo). Temos então que f (x)/a < x. Tomemos
um número racional r entre f (x)/a e x:
f (x)
< r < x.
a
Então f (x) < a · r < a · x, ou seja, f (x) < f (r ) < a · x. Mas isto é absurdo, pois f
é crescente logo, como r < x, deveríamos ter f (r ) < f (x). Esta contradição completa
a demonstração.
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a
x
x
x
x
Logo, f (k · x) = k · f (x). Assim, pelo teorema fundamental da proporcionalidade, temos
que
f (x) = c · x,
onde c = f (1) é a área do retângulo de base 1 e altura a. Vamos mostrar que c = a.
O mesmo argumento aplicado aos retângulos de mesma base 1 e altura variável mostra
que f (1) = a · u, onde u é área do quadrado de lado 1a qual, por definição, é igual a 1.
Logo, c = f (1) = a.
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O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2
Seja f : R → R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2
Seja f : R → R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) f (k x) = k f (x) para todo k ∈ Z e todo x ∈ R.
(1) f (k x) = k f (x) para todo k ∈ Z e todo x ∈ R.
(2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) = a · x para todo x ∈ R.
(2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) = a · x para todo x ∈ R.
(3) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) para quaisquer x1 , x2 ∈ R.
(3) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) para quaisquer x1 , x2 ∈ R.
Demonstração. Vamos mostrar primeiro que (1) ⇒ (2). Vamos dividir a demonstração
em dois casos: primeiro mostraremos que f (x) = a · x para todo x racional e, depois,
que f (x) = a · x para todo x irracional.
(Caso 1) Seja r um número racional. Logo, r = m/n, com m ∈ Z e n ∈ Z∗ . Usando (1)
temos que
n · f (r · x) = f (n · r · x) = f (m · x) = m · f (x),
Demonstração (continuação).
(Caso 2) Como f (0) = f (0 · 0) = 0 · f (0) = 0, o fato de f ser crescente nos dá que
a = f (1) > f (0) = 0. Assim, a é positivo. Suponha, por absurdo, que exista algum
número irracional x tal que f (x) = a · x. Para fixar ideias, admitamos que f (x) < a · x
(o caso f (x) > a · x seria tratado de modo análogo). Temos então que f (x)/a < x.
Tomemos um número racional r entre f (x)/a e x:
logo
f (x)
< r < x.
a
m
· f (x) = r · f (x).
n
Seja a = f (1). Temos que para todo r racional,
f (r · x) =
Então f (x) < a · r < a · x, ou seja, f (x) < f (r ) < a · x. Mas isto é absurdo, pois f é
crescente logo, como r < x, deveríamos ter f (r ) < f (x). Esta contradição completa a
prova de que (1) ⇒ (2).
f (r ) = f (r · 1) = r · f (1) = r · a = a · r .
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O teorema fundamental da proporcionalidade: parte 2
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Versão para ser aplicada em grandezas positivas
Seja f : R+ → R+ uma função crescente, onde R+ = {x ∈ R | x > 0}. As seguintes
afirmações são equivalentes:
Seja f : R → R uma função crescente. As seguintes afirmações são equivalentes:
(1) f (k x) = k f (x) para todo k ∈ Z e todo x ∈ R.
(1+ ) f (n x) = n f (x) para todo n ∈ N e todo x ∈ R+ .
(2) Pondo a = f (1), tem-se f (x) = a · x para todo x ∈ R.
(2+ ) Pondo a = f (1), tem-se f (x) = a · x para todo x ∈ R+ .
(3) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) para quaisquer x1 , x2 ∈ R.
(3+ ) f (x1 + x2 ) = f (x1 ) + f (x2 ) para quaisquer x1 , x2 ∈ R+ .
Demonstração (continuação).
As implicações (2) ⇒ (3) e (3) ⇒ (1) são mais fáceis de se demonstrar e ficam como
exercício.
Demonstração. Defina F : R → R por
⎧
⎨
F (x) =
⎩
f (x), se x > 0,
0, se x = 0,
−f (−x), se x < 0.
Cada uma das afirmações (1+ ), (2+ ) e (3+ ) para f equivale a umas das afirmações (1),
(2) e (3) do teorema fundamental da proporcionalidade para f .
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O gráfico da função modular
Definição
x, se x ≥ 0,
f (x) = |x| =
−x, se x < 0.
O gráfico da função modular
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Gráfico da função modular
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