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Equações Algébricas
2º. O polinômio P(x) = x 4 (x + 1)2 (x - 3) admite 7 raízes, sendo:
Quatro raízes nulas (zero é raiz quádrupla).
Duas raízes iguais a -1 (raiz dupla).
Uma raiz igual a 3 (raiz simples)
Introdução
Equação algébrica ou polinomial é toda equação que pode
ser reduzida à forma:
anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0 = 0
onde an , a n–1, …, a1, a0 são números reais e n ∈ N.
Resolver uma equação algébrica é determinar todos os
números x ∈ C que a verificam, ou seja, é determinar as raízes
complexas (reais ou não) do polinômio P(x) = anxn + an–1xn–1 + … +
a1x + a0.
Observe que:
P(x) = 0 → equação polinomial
P(x) ≡ 0 → polinômio identicamente nulo.
Nota: Os coeficientes an, an - 1, …, a1, a0 poderiam ser
complexos: no entanto, estudaremos somente as equações de
coeficientes reais.
Raízes NÃO REAIS:
Toda equação algébrica de coeficientes reais que admite a
raiz não-real a + bi também admite o complexo conjugado a - bi
como raiz.
Consequências:
1) O número de raízes não-reais de uma equação polinomial
de coeficientes reais é sempre par.
2) Uma equação polinomial de grau ímpar e coeficientes reais
admite pelo menos uma raiz real.
Raízes RACIONAIS:
Consideremos a equação algébrica de coeficientes inteiros:
P(x) = anxn + an–1xn–1 + … + a1x + a0, com an ≠ 0 e p/q um
número racional irredutível (p ∈ Z e q ∈ Z*).
Se p/q é raiz de P(x) = 0, então:
Teorema Fundamental da Álgebra
Toda equação algébrica de grau n ≥ 1 admite, pelo menos,
uma raiz complexa.
Uma equação algébrica de grau n ≥ 1 admite n, e somente n,
raízes reais ou complexas.
Decomposição de um Polinômio em Fatores do 1º Grau:
Dada a equação P(x) = 0 de raízes α1, α2, …, αn temos:
P(x) = an (x - α1) (x - α2) · … · (x - αn) = 0
onde, an é o coeficiente do termo de maior grau.
Exemplo:
Fatorar o polinômio P(x) = 3x4 + x3 + x2 + x - 2, sabendo-se que
suas raízes são 2/3, -1, i e -i.
Então:
2

P (x) = 3  x −  ⋅ (x + 1) ⋅ (x − i) ⋅ (x + i)
3

ou
P(x) = (3x - 2) · (x + 1) · x - i) · (x + i)
p é divisor de a 0

 e
q é divisor de a
n

Exemplo:
Determinar as raízes racionais da equação 8x3 - 10x2 + x + 1 =
0.
p é divisor de a0 e a0 é 1 ⇒ p ∈ {-1; 1}
q é divisor de an e an é 8 ⇒ q ∈ {-8; -4; -2; -1; 1; 2; 4; 8}
Se
p
for raiz da equação, teremos:
q
p  1
1
1
1 1 1
∈  − ; − ; − ; − 1; 1; ; ; 
q  8
4
2
2 4 8
conjunto das possíveis raízes racionais.
NOTA: Se a equação possui raízes racionais, com certeza elas
Estudo das Raízes
pertencem ao conjunto
Raízes Múltiplas e Raízes Simples:
α é uma raiz de multiplicidade m (m ≥ 1) da equação P(x) = 0,
quando a decomposição de P(x) apresentar m fatores iguais a (x - α).
Exemplo:
1º. O polinômio P(x) = (x - 2) (x - 2)
(x - 2) (x + 5) admite 4
raízes, sendo:
Uma raiz igual a -5 (raiz simples): multiplicidade 1.
Três raízes iguais a 2 (raiz tripla): multiplicidade 3.
10
elementos de
p
, o que não quer dizer que todos os
q
p
sejam raízes, para sabermos quais são raízes,
q
basta calcularmos o valor numérico da equação para os valores de
p
, os que forem iguais a zero serão as raízes da equação. Assim:
q
P(-1/8), P(1/8), P(-1/2), P(1/4), P(-1) ≠ 0, portanto não são raízes.
P(-1/4), P(1/2), P(1) = 0, são as três raízes da equação.
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Equações Algébricas
Relações de Girard
06. (UNESP-2002) Considere a função polinomial de 3° grau,
Relações entre Coeficientes e Raízes:
Seja a equação:
p(x) = x³ - 3x + 1.
a0xn + a1xn–1 + a2xn–2 + a3xn–3 + … + an = 0,
cujas n raízes são r1, r2, r3, …, rn.
a) Calcule p(-2), p(0), p(1), p(2) e esboce o gráfico.
b) Com base no item (a), responda, justificando sua resposta;
quantas raízes reais e quantas raízes complexas (não reais) tem
p(x).
R1) Soma das raízes:
r1 + r2 + r3 + ... + rn = −
a1
a0
07. (UNICAMP-2001) Considere o polinômio p(x) = x³ - 2x²+ 5x +
26.
a) Verifique se o número complexo 2 + 3i é raiz desse polinômio.
b) Prove que p(x) > 0 para todo número real x >-2.
R2) Soma dos produtos das raízes tomadas duas a duas:
r1 ⋅ r2 + r1 ⋅ r3 + r1 ⋅ r4 + ... =
a2
a0
R3) Soma dos produtos das raízes tomadas três a três:
r1 ⋅ r2 ⋅ r3 + r1 ⋅ r2 ⋅ r4 ⋅ +... = −
a3
a0
08. (UNICAMP-2003) Seja a um número real e seja:
3 - x -1
2
0
a
x
-1
p(x) = det
0
4 1-x
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha
uma única raiz real.
R4) Produto das raízes:
a
r1 ⋅ r2 ⋅ r3 ⋅ ... ⋅ rn = ( − 1) ⋅ n
a0
n
01. (UFV) Sabendo-se que o número complexo z = 1 + i é raiz do
polinômio p(x)=2x4 + 2x² + x + a,calcule o valor de a.
02. (FUVEST)
a) Quais são as raízes inteiras do polinômio p(x)=x³ - x² - 4?
b) Decomponha o polinômio p(x) em um produto de dois
polinômios, um de grau 1 e outro de grau 2.
c) Resolva a inequação p(x)<4(x-2).
03. (FUVEST-2002) As raízes do polinômio p(x) = x³ - 3x² + m, onde
m é um número real, estão em progressão aritmética. Determine:
a) o valor de m;
b) as raízes desse polinômio.
04. (UERJ-2002) As dimensões de um paralelepípedo retângulo
são dadas pelas raízes do polinômio a seguir.
3x³ - 13x² + 7x -1
Em relação a esse paralelepípedo, determine:
a) a razão entre a sua área total e o seu volume;
b) suas dimensões.
05. (UFRJ-2002) Considere o polinômio p dado por:
09. (PUCCAMP) Sabe-se que o polinômio f = x4+4x3+8x²+16x+16
admite a raiz -2 com multiplicidade 2. As demais raízes desse
polinômio são números:
a) inteiros e opostos.
b) racionais não inteiros.
c) irracionais e positivos.
d) irracionais e opostos.
e) não reais.
10. (UFSCAR-2002) Considerando que 2i é raiz do polinômio
P(x)=5x5 - 5x4 - 80x + 80, a soma das raízes reais desse polinômio
vale:
a) 5.
b) 4.
c) 3.
d) 2.
e) 1.
Gabarito
01. a = 15/2
02. a) a raiz inteira é 2
b) p(x) = (x - 2)(x²+x+2)
c) {x ∈ IR | x < -2 ou 1 < x < 2}
03. a) 2
b) 1 - √3, 1 e 1 + √3
04. a) 14
b) Dimensões = 1/3, 2 + √3 e 2 - √3
05. Se p(i) = 1 + 4i - 6 - 4i + 5 = 0 então i é raiz de p(x).
Como p(x) é um polinômio com coeficientes reais, - i também é raiz de
p(x). Temos, então, que q(x) = (x + i)(x - i) = x² + 1 é fator de p(x).
Efetuando a divisão de p(x) por q(x) obtemos x² - 4x + 5 para quociente.
As raízes de x² - 4x + 5 são dadas por x = 4 ± √-4/2 = 2 ± i. As raízes de p(x)
são portanto: x = i, x = - i, x = 2 + i e x = 2 - i.
p(x) = x4 - 4x³ + 6x² - 4x + 5.
Mostre que i = √-1 é uma de suas raízes e calcule as demais raízes.
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Equações Algébricas
06. a) p(-2) = -1, p(0) = 1, p(1) = -1 e p(2) = 3
Observe o gráfico a seguir:
p (x)
(2, 3)
(0, 1)
1
-1 0
(-2, -1)
2
x
(1, -1)
b) 3 raízes reais e nenhuma raiz imaginária.
07. a) Se p(x) = x³ - 2x² + 5x + 26 então
p(2+3i) = (2+3i)³ - 2.(2+3i)² + 5.(2+3i) + 26
= (2+3i)².[(2+3i)-2] + 10 + 15i + 26
= (4+12i+9i²).(3i) + 36 + 15i
= (-5+12i).(3i) + 36 + 15i
= -15i + 36i² + 36 + 15i
= -15i - 36 + 36 + 15i = 0
Portanto (2 + 3i) é raiz de p(x)
b) As raízes de p(x) são (2+3i), (2-3i) e r.
Pelas relações de Girard, temos:
(2 + 3i) + (2 - 3i) + r = 2 → r = -2
O polinômio p(x), na forma fatorada, é:
p(x) = (x + 2).(x - 2 + 3i).(x - 2 - 3i)
p(x) = (x + 2).(x² - 4x + 13).
Se x > -2 ë x + 2 > 0, então p(x) > 0, visto que x²-4x+13>0,
08. a) 3; 1 - 2i; 1 + 2i
b) {a ∈ IR | - 3 < a ≤ 5}
09. e
10. e
12
A
-2
x ∈ IR.