lista-de-exercicios-matrizes-e

Nome
Professora: ________________ Disciplina: Matemática
2ª Série: ______ No _____
____________ Data
LISTA DE EXERCÍCIOS
1. (Unifesp 2002) Considere a matriz mostrada na figura adiante, onde x varia no conjunto dos
números reais.
Calcule:
a) o determinante da matriz A;
b) o valor máximo e o valor mínimo deste determinante.
2. (Ufrrj 2001) Dada a matriz A = (aij)2x2, tal que
aij = 2, se i < j
aij = 3i + j, se i ≥ j,
encontre o DETERMINANTE da matriz At.
3. (Uerj 2001) Os números 204, 782 e 255 são divisíveis por 17.
Considere o determinante de ordem 3 a seguir:
Demonstre que esse determinante é divisível por 17.
4. (Ufsc 2003) Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) O número de elementos de uma matriz quadrada de ordem 12 é 48.
02) Somente podemos multiplicar matrizes de mesma ordem.
x x x
04) A soma das raízes da equação 4 x x  0 é 8.
4 4 x
08) Uma matriz quadrada pode ter diversas matrizes inversas.
3x  2y  0
x  y  0
16) O sistema 
é indeterminado.
Material produzido em papel ecológico feito a partir do bagaço da cana-de-açúcar.
5. (Unicamp 2003) Seja a um número real e seja:
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.
b) Encontre os valores de a para os quais a equação p(x) = 0 tenha uma única raiz real.
6. (Ufscar 2003) Sejam as matrizes
Calcule:
a) o determinante da matriz (B - A).
b) a matriz inversa da matriz (B - A).
7. (Ufrrj 2004) Resolvendo a equação
encontramos 3 raízes reais.
Determine-as, sabendo que a soma de duas dessas raízes é igual a 4.
8. (Unesp 2005) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de
500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se
que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, onde
2
Com base na fórmula p(x) = det A, determine:
a) o peso médio de uma criança de 5 anos;
b) a idade mais provável de uma criança cujo peso é 30 kg.
9. (Ufal 2006) A matriz A-1 é a inversa da matriz
Se o determinante de A-1 é igual a -
1
, calcule o determinante da matriz A + A-1.
2
10. (Ufpr 2010) Considere a função f definida pela expressão
cos(2x) senx 0 


1
f(x)  det  cos x
0
2


0
2
 1

a) Calcule f(0) e f =   .
4
b) Para quais valores de x se tem f(x) = 0?
11. (Ufpe 2005) Um grupo de alunos dos cursos 1, 2 e 3 solicita transferência para outro curso,
escolhido entre os mesmos 1, 2 e 3. A matriz abaixo representa o resultado obtido após as
transferências:
8 
132 7
 12 115 13 


 14 15 119
- para i ≠ j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i
que se transferiram para o curso j;
- para i = j, na interseção da linha i com a coluna j, encontra-se o número de estudantes do curso i
que permaneceram no curso i.
Admitindo que cada aluno pode se matricular em apenas um curso, analise as afirmações seguintes,
3
de acordo com as informações acima.
( ) Antes das transferências, existiam 147 alunos no curso 1.
(
) Após as transferências, existem 137 alunos no curso 2.
(
) Foram transferidos 26 alunos para o curso 3.
(
) O total de alunos transferidos é 69.
(
) O total de alunos nos cursos 1, 2 e 3 é de 363 alunos.
12. (Ufc 2006) As matrizes A e B são quadradas de ordem 4 e tais que
Determine a matriz BA.
13. (Ita 2006) Sejam as matrizes
Determine o elemento c34 da matriz C = (A + B)-1.
14. (Uerj 2006) Três barracas de frutas, B1, B2 e B3, são propriedade de uma mesma empresa. Suas
vendas são controladas por meio de uma matriz, na qual cada elemento bij representa a soma dos
valores arrecadados pelas barracas Bi e Bj, em milhares de reais, ao final de um determinado dia de
feira.
4
Calcule, para esse dia, o valor, em reais:
a) arrecadado a mais pela barraca B3 em relação à barraca B2;
b) arrecadado em conjunto pelas três barracas.
15. (Ufc 2008) A matriz quadrada A de ordem 3 é tal que
 2 1 1
A 2   1 2 1
 1 1 2
a) Calcule A2 - 3 . I, em que I é a matriz identidade de ordem 3.
b) Sabendo-se que A cumpre a propriedade A3 - 3 . A = 2 . I, determine a matriz inversa de A.
16. (Uerj 2008) Observe parte da tabela do quadro de medalhas dos Jogos Pan-americanos do Rio
de Janeiro em 2007(tabela I).
Com base na tabela, é possível formar a matriz quadrada A cujos elementos aij representam o
número de medalhas do tipo j que o país i ganhou, sendo i e j pertencentes ao conjunto {1, 2, 3}.
Para fazer outra classificação desses países, são atribuídos às medalhas os seguintes valores:
- ouro: 3 pontos;
- prata: 2 pontos;
- bronze: 1 ponto.
3 
Esses valores compõem a matriz V  2 .
1 
Tabela I – Quadro de medalhas Jogos Pan-americanos RJ 2007
Determine a partir do cálculo do produto A.V, o número de pontos totais obtidos pelos três países
separadamente.
5
17. (Ufal 2006) Uma pessoa tem apenas x moedas de 5 centavos, y moedas de 10 centavos e z
moedas de 25 centavos, num total de 32 unidades e totalizando a quantia de R$ 3,90.
Use essas informações para afirmar se as sentenças seguintes são falsas ou verdadeiras.
1 2 5 
x
3,9 
 
) Uma equação matricial que permite determinar x, y e z é 
  y   32 
1
1
1

 z   
 
( ) Há exatamente 7 possibilidades de obter-se o total de R$ 3,90 dispondo-se apenas de moedas
de 5, 10 e 25 centavos.
( ) Considere que os números de moedas de 5 e de 10 centavos somam 22 unidades e totalizam a
quantia de R$1,40. Nesse caso, o número de moedas de 5 centavos excede o de 10 centavos em 10
unidades.
(
(
) Se o número de moedas de 10 centavos fosse 4, o problema não admitiria solução.
(
) Podem existir dois tipos de moedas distintas em quantidades iguais.
18. (Ufrrj 2006) Determine a inversa da matriz A = (aij)2x2, em
que os elementos de A são definidos por
sen i  j  π, se i  j

aij = 
cos j  i π, se i  j



19. (Ufmg 2007) Milho, soja e feijão foram plantados nas regiões P e Q, com ajuda dos
fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A (fig. 1) indica a área plantada de cada cultura, em hectares, por região.
A matriz B (fig. 2) indica a massa usada de cada fertilizante, em kg, por hectare, em cada cultura.
a) Calcule a matriz C = AB.
b) Explique o significado de c23, o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz C.
6
1
0

1
20. (Uepg 2010) Dadas as matrizes A  
 e B   sen x
0 1

01) Se x = π então det B = 0.
02) A matriz A.B é transposta de B.
04) B – A = – B
08) det ( A.B) = cos2x
16) det B  0, para todo x  R.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
a) det A = sen x . cos x + 8
b) valor máximo = 8,5
valor mínimo = 7,5
Resposta da questão 2:
det (At) = 18
Resposta da questão 3:
det = 80 + 140 - 64 - 20
det = 136
det = 17 . 8
é divisível por 17
Resposta da questão 4:
04
Resposta da questão 5:
a) 3; 1 - 2i; 1 + 2i
b) {a  IR |  3  a  5}
Resposta da questão 6:
a) 50
b)
Resposta da questão 7:
2; 2 +
7 e 2- 7
Resposta da questão 8:
a) 18 kg
b) 11 anos
Resposta da questão 9:
det (A + A1) = 1
Resposta da questão 10:
Calculando o determinante, temos:
f(x) = cos2x – 2,senx.cosx
f(x) = cos2x – sen2x
a) f(0) = cos(2.0) – sen(2.0) = 1
7
sen x 
,
1 
assinale o que for correto.
 
 2. 
 2. 
 
 
b) f    cos 
– sen 
 cos    sen    0 – 1   1


4
 4 
 4 
 2
2
Resposta da questão 11:
VVFVF
Resposta da questão 12:
Sendo I a matriz identidade de ordem 4, temos:
 1 

. A . B = I

 9 

AB = 9 . I ⇔ 
 1 

. A  e B são matrizes inversíveis.

 9 

Logo 
 1
9
Desse modo, B1 =   . A ⇔ A = 9 . B 1.
E, portanto, BA = B . 9 . B 1 = 9 . (B . B 1) = 9 . I.
Resposta da questão 13:
-
2
11
Resposta da questão 14:
a) 1.200 reais.
b) 3.400 reais.
Resposta da questão 15:
2 1 1
 1 0 0   1 1 1


2
a) A  3.I   1 2 1  3. 0 1 0    1 1 1
 1 1 2
0 0 1  1 1 1
b) A 1
1
1
 1
 2
2
2


1
1
1



 2
2
2


1
1
 1
 
 2
2
2 
Resposta da questão 16:
Estados Unidos: 519
Cuba: 288
Brasil: 309
Resposta da questão 17:
FVVVV
Resposta da questão 18:
A matriz inversa é
8
Resposta da questão 19:
a)
b) c23 = 1700 significa que serão necessários 1700 kg do fertilizante Z para as culturas de milho, soja e
feijão na região Q.
Resposta da questão 20:
08 + 16 = 2
1 0 
(01) Falso, B = 
  det(B)  1
0  1
1.senx  0.( 1)   1
senx
 1.1  0.(  senx)
(02) Falso, A.B = 
e At =
   senx
0
.
1

(

1
).(

senx
)
0
.
senx

(

1
).(

1
)
1 

 
 senx 
 1
 senx
 1 

senx 
 0
  1  senx 
(04) Falso, B – A = 
e –B = 

0 
1 
 senx
 senx
(08) Verdadeiro, det(A.B) = 1 – sen2x = cos2x
(16) Verdadeiro, detB = - 1 + sen2x ( o maior valor que o quadrado de um seno é um, logo -1 + sen2x é
menor ou igual a zero para todo x)
9