sistemas lineares

ENSINO MÉDIO
LISTA DE EXERCÍCIOS – 2ª SÉRIE – EM
PROF. MARCELO
DISCIPLINA : MATEMÁTICA
SISTEMAS LINEARES
1) Resolva, por escalonamento, os sistemas:
x  2 y  z  0

a. 3x  4 y  5 z  10
x  y  z  1

x  y  z  1

d. 2 x  3 y  2 z  2
4 x  9 y  4 z  4

x  2 y  z  2

b. 2 x  y  3z  9
3x  3 y  2 z  3

2 x  y  z  2

e. 3x  y  z  3
x  y  z  0

x  y  z  2

c. 2 x  3 y  2 z  4
3x  4 y  z  6

x  y  2

2) Determinar m, de modo que o sistema  x  my  z  0 seja impossível.
 x  y  z  4

3) Discutir os sistemas seguintes:
a.
mx  y  2

x  y  m
7 x  y  3z  10

b.  x  y  z  6
4 x  y  pz  q

4) Calcule a e b para que o sistema
6 x  ay  12
seja possível e indeterminado.

4 x  4 y  b
 y  az  2

5) Determine a para que o sistema  x  y  z  a
seja possível e determinado.
ax  2 y  4 z  5

RESPOSTAS:
1) a) S.P.D. {(2,-1,0)}
b)S.P.D. {(1,2,3)}
c) S.P.I.  8  4 2   
,
 ,


2) m=-1
3) a) se m
1 = S.P.D
se m = 1 = S.I.

4) a = 6 e b = 8.
5) a -4 ou a
1



5
b) se p
-1 = S.P.D
se p = -1 e q = 8 = S.P.I.
se p = -1 e q
8 = S.I.

5 
d) S.P.I.  ,0,1   
e) S.I. { }
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1) Um shopping center possui 4 portas de entradas para o andar térreo, 5 escadas rolantes ligando o
térreo ao primeiro pavimento e 3 elevadores que conduzem do primeiro para o segundo pavimento.
De quantas maneiras diferentes uma pessoa, partindo de forma do shopping center, pode atingir o
segundo pavimento usando os acessos mencionados?
2) Uma linha ferroviária tem 16 estações. Quantos tipos de bilhetes devem ser impressos, se cada
bilhete deve registrar a estação de origem e a de destino?
3) Quanto automóveis podem ser licenciados no sistema em que cada placa é formada por 2 vogais e 4
algarismos?
4) Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados somente por algarismos ímpares?
5) Quantos são os números de 4 algarismos distintos formados somente por algarismos pares?
6) Quantas comissões com 4 elementos podemos formar numa classe de 20 alunos?
7) Quantos triângulos podemos formar com 10 pontos de um plano, sabendo que não existem 3 pontos
alinhados?
8) A diretoria de uma firma é constituída de 7 diretores brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões de
3 brasileiros e 3 japoneses podem ser formadas?
9) Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos de 1 a 9?
10) Com a palavra ADEUS, podemos formar:
a) quantos anagramas?
b) Quantos anagramas que iniciam com a letra A?
c) Quantos anagramas que iniciam por vogal?
d) Quantos anagramas que iniciam por consoante?
e) Quantos anagramas que iniciam com consoante e terminam em vogal?
11) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de modo
que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e , além disso, os de Física, entre si,
fiquem sempre na mesma ordem?
12) Um trem de passageiros é constituído de 1 locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles
restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir à frente e que o vagão restaurante não pode ser
colocado imediatamente após a locomotiva, ache o número de modos diferentes para montar a
composição.
13) Determine o número de anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal.
14) Quantos são os anagramas da palavra MACACA?
15) Quantos são os anagramas da palavra INDEPENDENTE, começados pelas letras INP, juntas e em
qualquer ordem?
16) A figura seguinte representa a fachada de um prédio com 9 janelas. Este prédio se encontra de frente
para o mar e é usado por um espião para enviar mensagens a navios durante a noite. Admita que
cada janela possa ser iluminada independentemente das demais. Cada código usado pelo espião é
formado por um determinados número de janelas acesas. Se todos os códigos são distinguíveis,
quantos códigos o espião pode utilizar?
17) Quantos números de 7 dígitos maiores que 6000000 podem ser formados com os algarimos
0,1,3,4,6,7 e 9, sem repeti-los?
18) Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com 1,2,3,4
e 5, em que posição estará o número 32415?
19) Dentre os números naturais de quatro algarismos distintos formados com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6,
quantos são pares e maiores que 4000?
RESPOSTAS:
ANÁLISE COMBINATÓRIA
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
60
240
250000
120
96
4845
120
140
3024
a)120 b)24
72
600
48
60
22680
511
2160
57ª
84
c)72 d)48
e)36