Teoria Algébrica dos Autómatos

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§0. Introdução
Ciência da Computação Teórica
construção de modelos teóricos de suporte à Computação
Teoria Algébrica dos Autómatos
2010-2011
Motivação
estudo de redes neuronais (biólogos)
Vı́tor Hugo Fernandes
Departamento de Matemática
circuitos eléctricos (engenheiros, aplicação em hardware)
FCT/UNL
fundamentos da Lógica (matemáticos)
gramáticas para linguagens naturais (linguistas)
Matemática
Álgebra, Combinatória, ...
c Estas notas são parcialmente baseadas em apontamentos do Prof. Dr. Mário Branco da Faculdade de Ciências da
!
Universidade de Lisboa e em apontamentos do Prof. Dr. Manuel Delgado da Faculdade de Ciências da Universidade do Porto.
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!
Gödel
Tarski
Church
Post
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Turing
Thue
Chomsky
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Monóides. Linguagens. Gramáticas
Monóide: (M, ·), em que
M é um conjunto não vazio
“·” é uma operação binária sobre M
Programa
associativa (i.e. (M, ·) é um semigrupo)
possui elemento neutro (identidade)
Monóides. Linguagens. Gramáticas
Linguagens Reconhecı́veis e Linguagens Racionais
Linguagem: L ⊆ A∗ , em que
Variedades de Monóides Finitos e Variedades de Linguagens
A é um conjunto finito (alfabeto)
A∗ = {(a1 , a2 , . . . , an ) | a1 , a2 , . . . , an ∈ A, n ∈ N0 }
Hierarquia de Chomsky: Gramáticas vs. Linguagens vs. Máquinas
n ≥ 1, (a1 , a2 , . . . , an ) " a1 a2 · · · an , palavra (não vazia) de A∗
n = 0, sequência vazia " 1 (ε ou λ), palavra vazia de A∗
Problemas de (in)decidibilidade
O conjunto A∗ munido da operação de concatenação,
(a1 a2 · · · am ) · (b1 a2 · · · bn ) = a1 a2 · · · am b1 a2 · · · bn
é um monóide com elemento neutro 1.
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Linguagens Reconhecı́veis e Linguagens Racionais
Gramática (formal): G = (V , A, P, S), em que
V é um alfabeto (de sı́mbolos não terminais/variáveis)
A é um alfabeto, disjunto de V , (de sı́mbolos terminais)
P ⊆ (V ∪ A)∗ V (V ∪ A)∗ × (V ∪ A)∗ é um conjunto finito de
produções/regras de derivação (um elemento (α, β) ∈ P representa-se
por α → β)
S ∈ V é um elemento fixo designado sı́mbolo inicial/variável inicial/
axioma
G = (V , A, P, S), com
V = {"frase#, "sujeito#, "predicado#, "artigo#, "nome#, "verbo#, "complemento directo#}
A = {coelho, erva, raposa, come, o, a}, S = "frase# e P o conjunto das seguintes
produções: "frase# → "sujeito#"predicado#, "sujeito# → "artigo#"nome#,
"predicado# → "verbo#"complemento directo#, "complemento directo# → "artigo#"nome#,
"artigo# → o | a, "nome# → coelho | erva | raposa e "verbo# → come.
"frase#
Gramáticas Lineares à Direita/Esquerda (Tipo 3/Regulares)
Autómatos (finitos)
Exemplo
"frase#
Linguagens Racionais (Regulares)
∗
⇒
∗
⇒
o coelho come a erva
|
Linguagens Reconhecı́veis (por autómatos finitos). O Teorema de
Kleene
Monóide de Transições (de um autómato) e Monóide Sintáctico (de
uma linguagem)
Linguagens Reconhecı́veis (por monóides finitos)
a raposa come o coelho
a erva come a raposa
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Hierarquia de Chomsky: Gramáticas vs. Linguagens vs.
Máquinas
Variedades de Monóides Finitos e Variedades de
Linguagens
Rac(A∗ ) = Rec(A∗ ) = L3 (A∗ ) ! L2 (A∗ ) ! L1 (A∗ ) ! L0 (A∗ ) ! 2A
∗
# Linguagens racionais/reconhecı́veis
# Autómatos finitos
Gramáticas algébricas/tipo 2 # Linguagens livres de contexto
# Autómatos de pilha
Gramáticas contextual/tipo 1 # Linguagens sensı́veis ao contexto
# Autómatos lineares limitados
Gramáticas quaisquer/tipo 0 # Linguagens recursivamente enumeráveis
# Máquinas de Turing
Gramáticas regulares/tipo 3
Variedades de Monóides Finitos (Pseudovariedades)
Variedades de Linguagens (reconhecı́veis)
O Teorema das Variedades de Eilenberg
Estrutura dos Monóides Finitos
Linguagens Livre de Estrela e Linguagens Testáveis por Pedaços
L1 (A∗ ) ! LR (A∗ ) ! L0 (A∗ )
Linguagens recursivas
# Máquinas de Turing que páram com qualquer input
$%
Decidibilidade
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Problemas de (in)decidibilidade
Alguma Bibliografia
Problema da correspondência de Post (PCP)
Dadas duas sequências u1 , u2 , . . . , uk e v1 , v2 , . . . , vk de palavras sobre o
mesmo alfabeto, existe uma sequência de números naturais i1 , i2 , . . . , in ,
com n ≥ 1, tal que ui1 ui2 · · · uin = vi1 vi2 · · · vin ?
J. Berstel, Transductions and context-free languages, B. G. Teubner,
1979, e de Gruyter, 1990.
Exemplos:
J. E. Hopcroft e J. D. Ullman, Introduction to automata theory,
languages, and computation, Addison-Wesley Publ. Co., 1979.
A = {a, b}, u1 = a, u2 = aba3 , u3 = ab, v1 = a3 , v2 = ab, v3 = b
Tem solução: n = 4, i1 = 2, i2 = 1, i3 = 1, i4 = 3
(u2 u1 u1 u3 = aba6 b = v2 v1 v1 v3 )
J. E. Hopcroft, R. Motwani e J. D. Ullman, Introduction to automata
theory, languages, and computation, Addison-Wesley Publ. Co., 2006.
J. M. Howie, Automata and Languages, Clarendon Press, 1991.
J.E. Pin, Varieties of Formal Languages, Plenum, New-York, 1986.
A = {a, b}, u1 = ab, u2 = ba2 , u3 = aba, v1 = aba, v2 = a2 ,
v3 = ba2
Não tem solução!
M. Sipser, Introduction to the theory of computation, PWS Publ.
Co., 1a edição, 1997, e 2a edição, 2006.
S. Y. Yan, An introduction to formal languages and machine
computation, World Scientific, Singapore, 1998.
No entanto:
O PCP é INDECIDÍVEL!
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§1. Monóides. Linguagens. Gramáticas
1.1 Semigrupos e Monóides
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Definição.
Definição.
Um semigrupo é um par (S, α), em que S é um conjunto não vazio e α é
uma operação binária sobre S associativa, i.e. α é uma função de S × S
em S tal que α(α(a, b), c) = α(a, α(b, c)), para quaisquer a, b, c ∈ S.
Um monóide é um terno (M, ·, 1) em que (M, ·) é um semigrupo e 1 é um
elemento neutro de (M, ·), i.e. 1 ∈ M e 1 · a = a · 1 = a, para qualquer
a ∈ M.
Em linguagem aditiva, escrevemos (M, +, 0).
Proposição.
Habitualmente, usamos o sı́mbolo · (linguagem multiplicativa) ou +
(linguagem aditiva) para denotar a operação binária de um semigrupo.
Em linguagem multiplicativa a operação é designada por multiplicação e,
dados a, b ∈ S, escrevemos a · b, ou simplesmente ab, em vez de ·(a, b).
Em linguagem aditiva a operação é designada por adição e, dados
a, b ∈ S, escrevemos a + b em vez de +(a, b).
Com estas convenções, a associatividade traduz-se por (ab)c = a(bc), em
linguagem multiplicativa, e por (a + b) + c = a + (b + c), em linguagem
aditiva, para quaisquer a, b, c ∈ S.
Em geral, vamos usar a linguagem multiplicativa.
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Um elemento neutro de um semigrupo (M, ·), quando existe, é único.
Efectivamente, se u e v são ambos elementos neutros de (M, ·), então
u = u · v (por v ser um elemento neutro) e u · v = v (por u ser um
elemento neutro), donde u = v .
O elemento neutro de um monóide também se designa por identidade.
Em geral, se não houver ambiguidade, representamos um semigrupo (S, ·)
por S e um monóide (M, ·, 1) por (M, ·) ou, simplesmente, por M.
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Mais exemplos.
Sejam X um conjunto e T (X ) o conjunto de todas as funções de X
em X (de domı́nio e conjunto de chegada iguais a X ). Então
(T (X ), ◦) (operação de composição de funções: dados f , g ∈ T (X ),
então (f ◦ g )(x) = f (g (x)), para qualquer x ∈ X ) é um monóide
(cuja identidade é a função identidade: idX (x) = x, para qualquer
x ∈ X – a função identidade sobre X também se pode representar por
IX ou 1X , ou se não houver ambiguidade simplesmente por id, I ou
1). [Exercı́cio.]
Exemplos.
(Z, ·) e (Z, +) (multiplicação e adição usuais) são semigrupos e
(Z, ·, 1) e (Z, +, 0) são monóides;
(N0 , ·) e (N0 , +) (multiplicação e adição usuais) são semigrupos e
(N0 , ·, 1) e (N0 , +, 0) são monóides;
(N+ , ·) e (N+ , +) (multiplicação e adição usuais) são semigrupos e
(N+ , ·, 1) é um monóide, mas (N+ , +) não é um monóide;
Sejam n ∈ N e Xn = {1, 2, . . . , n} ⊂ N. Consideremos as seguintes
operações binárias sobre Xn :
x ∨ y = max{x, y }
Sejam X um conjunto e PT (X ) o conjunto de todas as funções
parciais de X em X , i.e. funções de domı́nio Y ⊆ X e conjunto de
chegada X . Dadas funções f , g ∈ PT (X ), definimos f ◦ g como
sendo a função de domı́nio
x ∧ y = min{x, y }
e
(máximo e mı́nimo para a ordem usual em N), para quaisquer
x, y ∈ Xn . Então (Xn , ∨) e (Xn , ∧) são dois monóides. [Exercı́cio.]
Dom(f ◦ g ) = g −1 (Im g ∩ Dom f ) = {x ∈ X | g (x) ∈ Dom f }
tal que (f ◦ g )(x) = f (g (x)), para qualquer x ∈ Dom(f ◦ g ). Então
(PT (X ), ◦) é um monóide de identidade idX . [Exercı́cio.]
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!
1
2
2
3
6
4
"
3 4 5 6
6 1 2 4
"
3
6
4
1
5
2
=
!
=
!
1 2
5 −
"
=
1
5
2
5
3
3
4
2
5
3
6
1
"
;
Em PT 6 ,
!
1
2
2
−
3 4
5 −
" !
5 6
1 2
◦
5 3
3 −
que mais usalmente representamos por
!
" !
1 3 5 6
1 3 4 5
◦
2 5 5 3
3 6 1 2
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6
4
!
1
5
3 4 5
3 2 −
3
3
4
2
"
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Sejam S um semigrupo e x ∈ S. Dado n ∈ N+ , a potência x n denota o
produto x · · · x (n factores). Se S é um monóide, x 0 denota a identidade
de S, i.e. x 0 = 1.
Se X = {1, 2, . . . , n} então representamos também T (X ) por Tn e
PT (X ) por PT n .
Por exemplo:
Em T6 (ou em PT 6 ),
" !
2 3 4 5 6
1
◦
3 5 1 5 3
3
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6
−
"
Definição.
Seja S um semigrupo. Um elemento z ∈ S diz-se um zero de S se
z · s = s · z = z, para qualquer s ∈ S.
Proposição
O zero de um semigrupo S, quando existe, é único.
De facto, se z e z % são ambos zeros de S, temos z = z · z % (por z ser um
zero de S) e z · z % = z % (por z % ser um zero de S), donde z = z % .
O zero de um semigrupo S, quando existe, representa-se (em linguagem
multiplicativa) por 0 (não confundir com o elemento neutro de um
monóide em linguagem aditiva).
.
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Exemplos.
Seja X um conjunto. A função vazia de PT (X ) (i.e. a função cujo
domı́nio é o subconjunto vazio, ∅, de X ) é o zero de (PT (X ), ◦);
Se X é um conjunto com pelo menos dois elementos distintos, então
(T (X ), ◦) não possui zero. [Exercı́cio.]
Seja S um semigrupo. Seja P(S) o conjunto das partes de S, i.e. o
conjunto de todos os subconjuntos de S. Definimos em P(S) uma
operação binária do seguinte modo: dados X , Y ∈ P(S),
Então (P(S), ·) é um semigrupo (o semigrupo das partes de S).
[Exercı́cio.] Este semigrupo admite como zero o elemento ∅
(subconjunto vazio de S). Além disso, se S é um monóide, então
(P(S), ·) é um monóide de identidade {1}.
Dados x ∈ S e Y ∈ P(S), escrevemos habitualmente xY em vez de
{x}Y e Yx em vez de Y {x}.
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Se S é um semigrupo então S é um subsemigrupo de S.
Se M é um monóide então {1} e M são dois submonóides de M.
Sejam S um monóide [semigrupo] e F uma famı́lia não vazia de
submonóides [subsemigrupos] de S. Então
#
F = {x ∈ S | x ∈ T , para qualquerT ∈ F}
é um submonóide [ou vazio ou é um subsemigrupo] de S. Em particular,
se T1 , . . . , Tn , n ≥ 1, são submonóides [subsemigrupos] de S então
T1 ∩ · · · ∩ Tn é um submonóide [ou vazio ou é um subsemigrupo] de S.
Demonstração. [Exercı́cio.]
Sejam S um semigrupo e X um subconjunto não vazio de S. Então a
famı́lia FX = {T | T é subsemigrupo
de S e X$⊆ T } contém S, pelo que
$
é não vazia. Além disso,
X
⊆
F
,
pelo
que FX /= ∅ e,
X
$
consequentemente, FX é um subsemigrupo de S.
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Tn é um submonóide de PT n ;
Para k ∈ {1, 2, . . . , n − 1}, Tk e PT k são subsemigrupos de PT n mas
não são submonóides de PT n (embora ambos sejam monóides);
SingPT n = {f ∈ PT n | | Im f | < n} é um subsemigrupo de PT n ,
mas não é um submonóide de PT n (nem possui qualquer outra
identidade, i.e. não é um monóide). [Exercı́cio.]
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Definição.
Sejam S um semigrupo e X um subconjunto não vazio de S. Chamamos
subsemigrupo de S gerado
$ por X ao menor subsemigrupo de S que
contém X , ou seja, a {T | T é subsemigrupo de S e X ⊆ T }, que
representamos por 0X 1 ou por X + .
Proposição.
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Exemplos.
Seja n ∈ N+ . Consideremos o monóide PT n com a operação usual (i.e.
com a composição de funções parciais). Então:
X · Y = {x · y | x ∈ X e y ∈ Y } ∈ P(S).
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Definições.
Seja S um semigrupo. Um subconjunto não vazio T de S diz-se um
subsemigrupo de S se, para quaisquer x, y ∈ T , xy ∈ T , ou seja, se
T 2 (= TT ) ⊆ T .
Seja M um monóide. Um subsemigrupo T de M diz-se um submonóide de
M se 1 ∈ T (i.e. se o subsemigrupo T de M for um monóide com a
mesma identidade de M).
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Se X = ∅ também representamos por X + o conjunto
$
{T | T é subsemigrupo de S e X ⊆ T }, que neste caso pode ser vazio.
Sejam M um monóide e X um subconjunto de M. Então a famı́lia
FX = {T | T é submonóide$de M e X ⊆ T } contém M, pelo que é não
vazia. Consequentemente, FX é um submonóide de S.
Observemos que se X = ∅ então X ∗ = {1}.
Definição.
Sejam M um monóide e X um subconjunto de M. Chamamos submonóide
de
a
$ S gerado por X ao menor submonóide de M que contém X , ou seja,
{T | T é submonóide de M e X ⊆ T }, que representamos por 0X 11 ou
por X ∗ .
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Exemplo.
Proposição.
Sejam S um semigrupo e X um subconjunto não vazio de S. Então
%
X+ =
X n = {x1 x2 · · · xn | n ∈ N+ , x1 , x2 , . . . , xn ∈ X }.
Consideremos o monóide T3 e o seu subconjunto X = {a, b}, em que
n∈N+
Temos a2 =
!
1
3
a=
!
3
3
"
2
3
1
2
2
3
3
3
, ab =
!
"
1
2
e
2
2
b=
3
3
"
!
1
1
, ba =
2
1
!
3
3
1
1
"
2
3
.
3
3
"
, b 2 = b,
a3 = a2 , a2 b = a2 , aba = a, abb = ab, ba2 = a2 e bab = b, donde
X + = {a, b, a2 , ab, ba} e X ∗ = {1, a, b, a2 , ab, ba}.
Demonstração. [Exercı́cio.]
1
Proposição.
Sejam M um monóide e X um subconjunto de M. Então
%
X∗ =
X n = {1} ∪ X + .
1
a
b
a
n∈N0
aa
ab
ba
bb
aaa aab
aba abb
baa bab
bba bbb
b
aa
ab
ba
aaa
X aab
X
aba
X
X abb
baa
X bab
X
bb
X
Além disso, X + = XX ∗ = X ∗ X .
Definição.
Demonstração. [Exercı́cio.]
Um semigrupo [monóide] S diz-se gerado por um seu subconjunto X se
S = X + [S = X ∗ ]. Neste caso X diz-se um conjunto de geradores de S.
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Definição.
Um semigrupo [monóide] S diz-se finitamente gerado se possui um
conjunto de geradores finito.
Definição.
Um monóide (G , ·, u) diz-se um grupo se todos os elementos de G são
invertı́veis, i.e. se para qualquer x ∈ G , existe x % ∈ G tal que
xx % = x % x = u.
Exemplos.
Seja S um semigrupo [monóide]. Como S + = S [S ∗ = S], se S é finito
então S é finitamente gerado.
O monóide
[semigrupo] T2 é gerado '
por
&
"
!
!
"
!
1 2
1 2
: a2 = 1 e ab = 12
X = a = 2 1 ,b = 1 1
2
2
"
, pelo que
T2 = {1, a, b, ab} = X + = X ∗ .
O monóide
[semigrupo] T3 é gerado por
&
!
"
!
"
!
X = a = 12 21 33 , b = 12 23 31 , c = 11
Sejam (G , ·, u) um grupo e x ∈ G . Então existe um único elemento
x % ∈ G tal que xx % = x % x = u. [Exercı́cio.] Este elemento é usualmente
denotado por x −1 .
Definição.
2
1
"'
3
. [Exercı́cio.]
3
O semigrupo (N+ , +) é gerado por X = {1}, pelo que é finitamente gerado.
Seja (S, ·) um semigrupo. Um subconjunto G de S diz-se um subgrupo de
S se, para algum elemento u ∈ G (necessariamente único), o terno
(G , ·, u) for um grupo.
O semigrupo (N+ , ·) não é finitamente gerado. [Exercı́cio.]
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Observação.
Em T5 , por exemplo, os elementos
Seja (M, ·, 1) um monóide. Um subgrupo (G , ·, u) de M não tem
necessariamente que ter a mesma identidade que M, i.e. podemos ter
u /= 1.
O subconjunto
!
%
%
!
%
U(M) = {x ∈ M | (∃x ∈ M) xx = x x = 1}
é um subgrupo de M com a mesma identidade de M. Este subgrupo é
designado por subgrupo das unidades de M e é o maior (para a relação de
inclusão) subgrupo de M com a mesma identidade de M.
Definição.
Um elemento e de um semigrupo S diz-se idempotente se e 2 = e.
Exemplos.
Se (G , ·, u) é um subgrupo de um semigrupo S então u é idempotente.
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Um semigrupo S gerado por um elemento a ∈ S (i.e. tal que {a} é um
conjunto de geradores de S) diz-se monogénico.
Teorema.
Seja S um semigrupo gerado por um elemento a. Então S é isomorfo a
(N+ , +) ou S é finito. Neste último caso, existem inteiros n ∈ N0 e
r ∈ N+ tais que an = an+r , S = {a, a2 , . . . , an+r −1 } e tem n + r − 1
elementos, G = {an , an+1 , . . . , an+r −1 } é um subgrupo de S e o único
idempotente de S é a identidade de G .
Demonstração. [Exercı́cio.]
Corolário
Todo o semigrupo finito possui pelo menos um idempotente.
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e
são idempotentes, mas os elementos
e
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não são idempotentes.
Exercı́cio.
Mostre que f é um idempotente de Tn se e só se Im(f ) ⊆ Fix(f ), em que
Fix(f ) = {i ∈ {1, . . . , n} | f (i) = i}.
Definições.
Sejam S e T dois semigrupos e ϕ : S −→ T uma função. Dizemos que ϕ
é um homomorfismo (ou simplesmente morfismo) de semigrupos se
ϕ(xy ) = ϕ(x)ϕ(y ), para quaisquer x, y ∈ S.
Se S e T forem monóides, dizemos que uma função ϕ : S −→ T é um
homomorfismo (ou simplesmente morfismo) de monóides se for um
homomorfismo de semigrupos e ϕ(1) = 1.
Um homomorfismo bijectivo ϕ : S −→ T diz-se um isomorfismo. Neste
caso, os semigrupos (ou monóides) S e T dizem-se isomorfos (S 3 T ).
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Definição.
Sejam S um semigrupo. Um subconjunto I não vazio de S diz-se um ideal
[ideal direito, ideal esquerdo] de S se S 1 IS 1 ⊆ I [IS 1 ⊆ I , S 1 I ⊆ I ].
É fácil ver que um subconjunto I de um semigrupo S é um ideal se e só se
é simultaneamente um ideal esquerdo e um ideal direito. [Exercı́cio.]
Definição.
Sejam S um semigrupo e ρ uma relação de equivalência sobre S. Dizemos
que ρ é uma relação de congruência (ou simplesmente, uma congruência)
sobre S se, para quaisquer x, y ∈ S tais xρy e para qualquer z ∈ S, se tem
xzρyz e zxρzy .
Sejam S um semigrupo e ρ uma congruência sobre S. No conjunto
cociente S/ρ definimos uma operação binária do seguinte modo:
[x]ρ · [y ]ρ = [x · y ]ρ , para quaisquer x, y ∈ S.
Com esta operação, S/ρ é um semigrupo que designamos por semigrupo
cociente (de S por ρ). Além disso, se S é um monóide então o cociente
S/ρ é também um monóide de identidade [1]ρ .
Seja S um semigrupo. Definimos o monóide S 1 do seguinte modo:
Se S é um monóide então S 1 = S;
Se S não é um monóide então S 1 = S ∪ {1}, em que 1 /∈ S e sua
multiplicação resulta de estender a multiplicação de S definindo
1 · x = x · 1 = x, para qualquer x ∈ S 1 .
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Exemplos.
Sejam S um semigrupo e I um ideal de S. Definimos a relação binária ≡I
sobre S do seguinte modo: dados x, y ∈ S,
x ≡I y se e só se x = y ou x, y ∈ I .
Então ≡I é uma relação de congruência sobre S [Exercı́cio.] designada por
congruência de Rees (associada a I ). O conjunto cociente S/ ≡I denota-se
mais usualmente por S/I .
Sejam S e T dois semigrupos e ϕ : S −→ T um homomorfismo.
Definimos a relação binária ∼ϕ sobre S do seguinte modo: dados
x, y ∈ S,
x ∼ϕ y se e só se ϕ(x) = ϕ(y ).
Então ∼ϕ é uma relação de congruência sobre S [Exercı́cio.]
designada por congruência nuclear (associada a ϕ) ou núcleo de ϕ.
Observação.
Sejam S um semigrupo e ρ uma congruência sobre S. Então a função
Sejam S um semigrupo e P um subconjunto de S. Definimos a relação
binária ∼P sobre S do seguinte modo: dados x, y ∈ S,
ρ# : S
x
x ∼P y se e só se (∀s, t ∈ S 1 ) sxt ∈ P ⇔ syt ∈ P.
Então ∼P é uma relação de congruência sobre S [Exercı́cio.] designada por
congruência sintática de P.
A relação ∼P é a maior congruência de S que satura P (i.e. tal que P é
uma união de classes módulo ∼P ). [Exercı́cio.]
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−→ S/ρ
8→ [x]ρ
é um homomorfismo sobrejectivo [Exercı́cio.] designado por projecção
canónica ou projecção natural.
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1.2 Linguagens
Teorema.
Sejam S e T dois semigrupos e ϕ : S −→ T um homomorfismo. Seja
π =∼#ϕ a projecção canónica de S sobre S/ ∼ϕ . Então, existe um único
homomorfismo ϕ̄ : S/ ∼ϕ −→ T tal que ϕ = ϕ̄ ◦ π. Além disso, ϕ̄ é um
isomorfismo de S/ ∼ϕ sobre ϕ(S).
ϕ
S
o conjunto de todas as sequências finitas de elementos de A.
Em A+ definimos a operação binária · do seguinte modo:
(a1 , a2 , . . . , am ) · (b1 , b2 , . . . , bn ) = (a1 , a2 , . . . , am , b1 , b2 , . . . , bn )
T
com a1 , a2 , . . . , am , b1 , b2 , . . . , bn ∈ A e m, n ∈ N+ . Esta operação binária
é, claramente, associativa, pelo que o conjunto A+ forma assim um
semigrupo.
Usualmente, representamos uma sequência (a1 , a2 , . . . , an ) de A+ , n ≥ 1,
por
a1 a2 · · · an .
_
ϕ
π
Seja A um conjunto finito e não vazio.
Seja
A+ = {(a1 , a2 , . . . , an ) | a1 , a2 , . . . , an ∈ A, n ∈ N+ }
S / ~ϕ
Demonstração. [Exercı́cio.]
Em particular, uma sequência (a), com a ∈ A, é identificada com o
elemento a ∈ A, pelo que podemos considerar A como sendo um
subconjunto de A+ .
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alfabeto ao conjunto A;
Na origem das designações anteriores está o resultado seguinte, que nos
garante que um homomorfismo de A+ [A∗ ] num semigrupo [monóide]
qualquer S fica definido conhecendo apenas as imagens das letras:
letras aos elementos de A;
Proposição.
Justificam-se deste modo as seguintes designações. Chamamos:
palavras (sobre o alfabeto A) aos elementos de A+ .
Representemos o monóide (A+ )1 por A∗ .
Observemos que o semigrupo A+ não possui elemento neutro, pelo que
para obter A∗ juntamos a A+ um novo elemento.
Ao elemento neutro 1 de A∗ (por vezes também representado por ε ou λ)
chamamos palavra vazia (visto ser usualmente interpretado como sendo a
sequência vazia).
Tendo em conta que consideramos A ⊂ A+ , então A+ e A∗ são
respectivamente o semigrupo gerado por A e o monóide gerado por A.
Definição.
Designamos A+ [A∗ ] por semigrupo [monóide] livre gerado por (/sobre/de
base) A .
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Seja S um semigrupo [monóide] finito. Então existem um alfabeto e uma
congruência ρ sobre A+ [A∗ ] tal que S 3 A+ /ρ [S 3 A∗ /ρ].
Demonstração.
Tome-se A = S e considere-se
S
i
A+
π
ϕ
A+/~ϕ
[Exercı́cio.]
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i
ϕ
A+ [A* ]
é comutativo, i.e. ϕ(a) = θ(a), para qualquer a ∈ A.
Demonstração. [No quadro.]
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Definições.
Sejam A um alfabeto e u ∈ A∗ .
Chamamos conteúdo de u ao conjunto c(u) das letras do alfabeto A
que ocorrem em u (i.e. que formam a palavra u):
&
c(1) = ∅
c(u) =
c(a1 a2 · · · an ) = {a1 , a2 , . . . , an }, a1 , a2 , . . . , an ∈ A, n ≥ 1
Chamamos comprimento de u ao número de letras (não distintas
necessariamente) que ocorrem em u, i.e. ao comprimento de u como
sequência de elementos de A. O comprimento de u representa-se por
|u|. Temos:
&
|1| = 0
|a1 a2 · · · an | = n, a1 , a2 , . . . , an ∈ A, n ≥ 1
_
ϕ
S
Chamamos linguagem (formal) sobre um alfabeto A a qualquer
subconjunto de A∗ , i.e. a qualquer conjunto de palavras sobre A.
Proposição.
i
θ
A
Definição.
Seguidamente mostramos que todo o semigrupo [monóide] finito (a
finitude não é condição essencial) é, a menos de um isomorfismo, um
cociente de um semigrupo [monóide] livre:
A
Sejam A um alfabeto, S um semigrupo [monóide] e θ : A −→ S uma
função. Então, existe um e um só homomorfismo de semigrupos [de
monóides] ϕ : A+ −→ S [ϕ : A∗ −→ S] tal que, sendo i : A −→ A+
[i : A −→ A∗ ] a função definida por i(a) = a, para qualquer a ∈ A, o
diagrama
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Dado a ∈ A, representamos por |u|a o número de ocorrências da letra
a na palavra u. Recursivamente, podemos definir

 |1|a = 0&
|v |a
se b /= a
, v ∈ A∗ , b ∈ A .
 |vb|a =
|v |a + 1 se b = a
Definições.
A um alfabeto e u, v ∈ A∗ . Dizemos que:
v é um factora de u se existem x, y ∈ A∗ tais que u = xvy ;
v é um sufixo (ou factor direito) de u se existe x ∈ A∗ tal que u = xv ;
v é um prefixo (ou factor esquerdo) de u se existe y ∈ A∗ tal que
u = vy ;
v é uma subpalavraa de u se existem a1 , a2 , . . . , an ∈ A e
u0 , u1 , . . . , un ∈ A∗ tais que v = a1 a2 · · · an e u = u0 a1 u1 a2 u2 · · · an un ;
Observações.
Sejam A um alfabeto e u, v ∈ A∗ . Então
1
c(uv ) = c(u) ∪ c(v );
2
|u|a = 0 se se só se a /∈ c(u), para qualquer a ∈ A;
3
|uv |a = |u|a + |v |a , para qualquer a ∈ A;
+
+
|u| = a∈c(u) |u|a = a∈A |u|a .
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a palavra u é o reverso da palavra u se tem as mesmas letras de u
mas por ordem inversa, i.e. temos
&
1=1
a1 a2 · · · an−1 an = an an−1 · · · a2 a1 , com a1 , a2 , . . . , an ∈ A, n ≥ 1 .
Observemos que uv = v u e u = u.
a
Usamos nestas duas designações a terminologia da Escola Francesa. Outros autores
usam as designações “subword” e “scattered subword” (“palavra dispersa“) para
“factor” e “subpalavra”, respectivamente.
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Definições (operações sobre linguagens).
Sejam A um alfabeto e L e K duas linguagens de
Observação.
diferença: (L, K ) 8→ L \ K = {u ∈ A∗ | u ∈ L e u ∈
/ K }.
Usualmente, dada uma palavra u ∈ A∗ identificamos {u} com u. Por
exemplo, escrevemos Lu, u −1 L e u ∗ em vez de L{u}, {u}−1 L e {u}∗ ,
respectivamente.
complementação (em A∗ ): L 8→ A∗ \ L = {u ∈ A∗ | u ∈
/ L}.
produto (em P(A∗ )): (L, K ) 8→ L · K = {uv | u ∈ L e v ∈ K }.
fecho positivo: L 8→ L+ , em que L+ = ∅, se L = ∅, e L+ é o
subsemigrupo de A∗ gerado por L, i.e.
,
L+ = {u1 u2 · · · un | u1 , u2 , · · · , un ∈ L, n ≥ 1} = n∈N+ Ln , caso
contrário.
Exemplos.
Sejam A = {a, b, c}, L = {a, a3 , bac} e K = {1, a, a2 , ca}. Então:
a+ = {an | n ≥ 1} = {a, a2 , a3 , . . .};
A∗
fecho ou estrela: L 8→
em que
é o submonóide de
gerado
por L, i.e.
,
L∗ = {u1 u2 · · · un | u1 , u2 , · · · , un ∈ L, n ≥ 0} = n∈N0 Ln = {1} ∪ L+ .
Observemos que L+ e L∗ não são, em geral, livres sobre L.
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cociente direito de L por K :
(L, K ) 8→ LK −1 = {u ∈ A∗ | (∃v ∈ K ) uv ∈ L}.
intersecção: (L, K ) 8→ L ∩ K = {u ∈ A∗ | u ∈ L e u ∈ K }.
L∗
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cociente esquerdo de K por L:
(L, K ) 8→ L−1 K = {v ∈ A∗ | (∃u ∈ L) uv ∈ K }.
A∗ .
união: (L, K ) 8→ L ∪ K = {u ∈ A∗ | u ∈ L ou u ∈ K }
(também denotada por L + K ).
L∗ ,
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a∗ = {an | n ≥ 0} = {1, a, a2 , a3 , . . .};
(a3 )∗ = {(a3 )n | n ≥ 0} = {1, a3 , a6 , a9 , . . .};
{a2 , a3 }∗ = a∗ \ a [Exercı́cio.];
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L−1 K = {1, a};
Exemplos.
K −1 L
Seja A = {a, b, c}. Notemos que A∗ = ({a} ∪ {b} ∪ {c})∗ = (a + b + c)∗ .
=
{a, a3 , bac, 1, a2 };
LK −1 = {a, a3 , bac, 1, a2 } (= K −1 L);
KL−1
= {1, a, c} (/=
Conjunto das palavras de A∗ que começam pela letra a:
L−1 K );
(ba2 )−1 {a2 , a2 ba, b 2 a2 b, ba5 b 2 , ba5 b 2 a2 , ba2 }
a+ (a3 )−1 = a∗ ;
a+ (a3 b)−1
aA∗ = a(a + b + c)∗ .
= {a3 b 2 , a3 b 2 a2 , 1};
Conjunto das palavras que começam e acabam pela letra a:
= ∅.
aA∗ a ∪ {a} = a(a + b + c)∗ a + a .
Um dos objectivos principais da Teoria das Linguagens formais é a
descrição finitária (i.e. por meio de uma expressão envolvendo um número
finito de sı́mbolos) de uma linguagem. Naturalmente, uma linguagem finita
pode ser descrita fazendo uma lista (finita) de todos os seus elementos. E
no caso de uma linguagem infinita? Por exemplo, certas linguagens podem
ser descritas por meio de uma expressão finitária envolvendo apenas letras
(i.e. linguagens formadas por uma palavra de uma só letra) e as operações
de união, produto e estrela (ditas expressões “racionais” ou “regulares”).
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Conjunto das palavras w ∈ A∗ tais que |w |b = |w |c = 1 (b e c ocorrem uma
única vez em w ):
(A∗ bA∗ ∩ A∗ cA∗ ) \ (A∗ bA∗ bA∗ ∪ A∗ cA∗ cA∗ ) = a∗ ba∗ ca∗ + a∗ ca∗ ba∗ .
Conjunto das palavras onde não ocorre a letra a três vezes consecutivas:
A∗ \ A∗ a3 A∗ = (1 + a + a2 )((b + c)+ (1 + a + a2 ))∗ .
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Proposição.
Definição.
Seja A um alfabeto. Definimos o conjunto Rat(A∗ ) como sendo o menor
conjunto R (para a relação de inclusão) de linguagens de A∗ (i.e.
R ⊆ P(A∗ )) que verifica as seguintes condições:
1
∅, {a} ∈ R, para qualquer a ∈ A;
2
R é fechado para as operações de união, produto e estrela, i.e., para
quaisquer L, K ∈ R,
L ∪ K , LK , L∗ ∈ R .
Uma vez que P(A∗ ) satisfaz as condições (1) e (2) da definição anterior, a
existência de Rat(A∗ ) está garantida, tendo-se
#
Rat(A∗ ) = {R ⊆ P(A∗ ) | R satisfaz (1) e (2)}.
No entanto, é mais útil a seguinte descrição recursiva:
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,
Seja A um alfabeto. Então Rat(A∗ ) = n∈N0 Rn , em que Rn , n ∈ N0 , são
os conjuntos de linguagens de A∗ definidos recursivamente por:

 R0 = {∅} ∪ {{a} | a ∈ A}
Rn+1 = Rn ∪ {L ∪ K | L, K ∈ Rn } ∪ {LK | L, K ∈ Rn } ∪ {L∗ | L ∈ Rn },

n ∈ N0 .
Demonstração. [No quadro.]
Definição.
Seja A um alfabeto. Aos elementos de Rat(A∗ ) chamamos linguagens
racionais de A∗ (ou sobre A).
Assim, uma linguagem racional é uma linguagem que pode ser expressa a
partir do conjunto vazio e das letras do alfabeto usando um número finito
de vezes as operações de união, produto e estrela. Uma expressão deste
tipo diz-se uma expressão racional.
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Proposição.
Seja A um alfabeto.
1.3 Gramáticas
1
A união de um número finito de linguagens racionais é uma
linguagem racional.
2
O produto de um número finito de linguagens racionais é uma
linguagem racional.
3
Para qualquer u ∈ A∗ , {u} ∈ Rat(A∗ ).
4
Qualquer linguagem finita é racional.
5
Se L ∈ Rat(A∗ ) então L+ ∈ Rat(A∗ ).
6
A, A+ , A∗ ∈ Rat(A∗ ).
Definição.
Uma gramática (formal) é um quádruplo ordenado G = (V , A, P, S), em
que:
V é um alfabeto, designado por alfabeto não terminal;
A é um alfabeto, disjunto de V , designado por alfabeto terminal;
P é um subconjunto finito de (V ∪ A)∗ V (V ∪ A)∗ × (V ∪ A)∗ ;
S é um elemento fixo de V , designado por sı́mbolo inicial, variável
inicial ou axioma.
Demonstração. [No quadro.]
Proposição.
Sejam A um alfabeto e L ∈ Rat(A∗ ). Então L = {u | u ∈ L} ∈ Rat(A∗ ).
Demonstração. [Exercı́cio.]
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Observemos que um elemento de P ⊂ (V ∪ A)∗ V (V ∪ A)∗ × (V ∪ A)∗ é
da forma (α, β) em que:
α é uma palavra sobre o alfabeto V ∪ A onde ocorre pelo menos um
sı́mbolo não terminal (variável);
Aos elementos de V chamamos sı́mbolos não terminais ou variáveis.
Aos elementos de A chamamos sı́mbolos terminais.
Aos elementos de P chamamos produções ou regras de derivação (ou,
simplesmente, regras).
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Exemplo.
G = ({S, T }, {a, b, c}, P, S), com
P
=
=
{(S, aSb), (S, 1), (aS, caTbc), (T , caT ), (T , bc)}
{S → aSb | 1, aS → caTbc, T → caT | bc}
β é uma palavra (qualquer) sobre o alfabeto V ∪ A.
é uma gramática.
Habitualmente, um elemento (α, β) ∈ P é representado por α → β ou, em
caso de ambiguidade, por α →
G β.
Abreviamos n regras de derivação do tipo α → β1 , α → β2 , . . . , α → βn
por α → β1 | β2 | · · · | βn ou por α → β1 + β2 + · · · + βn .
Em geral, usamos:
letras romanas maiúsculas para representar sı́mbolos não terminais –
S, T , U, X , Z , W , B, . . .;
letras romanas minúsculas para representar sı́mbolos terminais –
a, b, c, d, . . ..
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Sejam α, β ∈ (V ∪ A)∗ . Dizemos que β deriva directamente de α se
existirem µ, ν ∈ (V ∪ A)∗ e uma regra de derivação δ → θ tais que
α = µδν
e
β = µθν.
Neste caso, ao par (α, β) chamamos derivação directa em G e
representamo-lo por α ⇒ β ou, em caso de ambiguidade, por α ⇒ β.
G
Assim, as derivações directas em G são da forma
µδν ⇒ µθν
em que δ → θ (é uma regra de derivação) e µ, ν ∈ (V ∪ A)∗ .
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Seja n ∈ N+ . Uma derivação de comprimento (ou ordem ) n em G é uma
sequência (α0 , α1 , . . . , αn ) de n + 1 palavras de (V ∪ A)∗ tais que
αi ⇒ αi+1 (é uma derivação directa), para i ∈ {0, 1, . . . , n − 1}, e
representamo-la por α0 ⇒ α1 ⇒ · · · ⇒ αn−1 ⇒ αn .
Sejam α, β ∈ (V ∪ A)∗ . Dizemos que β deriva de α se α = β ou existir
uma derivação de comprimento n (n ∈ N+ ) da forma
α = α0 ⇒ α1 ⇒ · · · ⇒ αn−1 ⇒ αn = β.
Neste caso, dizemos que o par (α, β) é uma derivação em G e
∗
∗
representamo-lo por α ⇒ β ou, em caso de ambiguidade, por α ⇒ β.
Se (α, β) é uma derivação trivial, i.e. se α = β, dizemos que tem
0
comprimento zero e representamo-la por α ⇒ β ou, em caso de
0
ambiguidade, por α ⇒ β. Caso contrário (i.e. se existe uma derivação de
G
comprimento n ∈ N+ de α para β), dizemos também que o par (α, β) tem
n
+
comprimento n e representamo-lo por α ⇒ β ou α ⇒ β ou, em caso de
n
+
ambiguidade, por α ⇒ β ou α ⇒ β.
G
Uma regra de derivação é uma derivação (em particular, é uma
derivação directa).
Uma derivação directa é uma derivação de comprimento um.
∗
A relação binária ⇒ sobre (V ∪ A)∗ é o fecho reflexivo e transitivo da
∗
relação binária ⇒ sobre (V ∪ A)∗ , i.e. ⇒ é a menor (para a inclusão)
relação reflexiva e transitiva sobre (V ∪ A)∗ que contém a relação ⇒.
[Exercı́cio.]
Exemplos.
G
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Observações.
A motivação original para as gramáticas “independentes de contexto” foi a
descrição das linguagens naturais.
Consideremos a gramática G = (V , A, P, 0frase1) em que
V = {0frase1, 0sujeito1, 0verbo1, 0complemento directo1, 0artigo1,
0substantivo1, 0adjectivo1} ,
A = {o, lindo, feio, gato, rato, abelha, comeu}
G
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e
P = {0frase1 → 0sujeito10verbo10complemento directo1,
0sujeito1 → 0artigo10substantivo10adjectivo1,
0complemento directo1 → 0artigo10substantivo1 | 0sujeito1,
0artigo1 → o,
0substantivo1 → gato | rato | abelha,
0adjectivo1 → lindo | feio,
0verbo1 → comeu} .
Observemos que as letras do alfabeto A são palavras da lı́ngua portuguesa.
Vamos calcular algumas derivações:
0frase1 → 0sujeito10verbo10complemento directo1
⇒ 0artigo10substantivo10adjectivo10verbo10complemento directo1
⇒ 0artigo10substantivo10adjectivo10verbo10artigo10substantivo1
⇒ o0substantivo10adjectivo10verbo10artigo10substantivo1
⇒ o gato0adjectivo10verbo10artigo10substantivo1
⇒ o gato feio0verbo10artigo10substantivo1
⇒ o gato feio comeu0artigo10substantivo1
⇒ o gato feio comeu o0substantivo1
⇒ o gato feio comeu o rato ,
∗
pelo que obtemos 0frase1 ⇒ o gato feio comeu o rato ;
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0frase1
∗
⇒ 0artigo10substantivo10adjectivo10verbo10complemento directo1
⇒ 0artigo10substantivo10adjectivo10verbo10sujeito1
⇒ o0substantivo10adjectivo10verbo10sujeito1
∗
⇒ o gato lindo comeu0sujeito1
⇒ o gato lindo comeu0artigo10substantivo10adjectivo1
⇒ o gato lindo comeu o0substantivo10adjectivo1
∗
⇒ o gato lindo comeu o rato feio ,
∗
pelo que obtemos 0frase1 ⇒ o gato lindo comeu o rato feio .
∗
Temos ainda, por exemplo, 0frase1 ⇒ o abelha lindo comeu o gato . [Exercı́cio.]
Assim, embora as gramáticas “independentes de contexto” desempenhem
um papel importante em Linguı́stica, não são completamente adequadas
para descrever linguagens naturais: é preciso informação semântica para
que não se obtenham frases sem sentido.
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Definição.
Linguagens de Programação. Por exemplo, o Pascal:
O alfabeto não terminal tem as variáveis
0programa1, 0cabeçalho1, 0bloco1, 0identificador1, 0letra ou número1, etc.
O alfabeto terminal tem as letras
A, B, C , . . . , Z , a, b, c, . . . , z, 0, 1, . . . , 9, :=, begin, end, if, for, etc.
As regras de derivação são do tipo:
0programa1 → 0cabeçalho10bloco1
0cabeçalho1 → program0identificador1 · · ·
0identificador1 → 0letra10letra ou número1
0letra ou número1 → 0letra1 | 0número1
etc.
O sı́mbolo inicial é 0programa1.
Consideremos a gramática G = ({S, T }, {a, b}, P, S), em que P é
constituı́do pelas seguintes regras de derivação: S → aTSb | ab | 1,
T → bSb | a, TS → bSb, aTSTb → aTb | aa, SbSb → SSb.
∗
∗
Então, temos por exemplo, S ⇒ ab, S ⇒ 1, TS ⇒ bSb ⇒ baTSbb, donde
∗
TS ⇒ baTSbb.
∗
Também, por exemplo, aabSaaaT ⇒ aabaabaaababb. [Exercı́cio.].
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Seja G = (V , A, P, S) uma gramática. À linguagem sobre o alfabeto A
cujas palavras derivam da variável inicial,
∗
L(G ) = {u ∈ A∗ | S ⇒ u} ,
chamamos linguagem gerada por G .
Exemplos.
Consideremos a gramática G = ({S, T }, {a, b}, P, S) do (último) exemplo
anterior. Então 1, ab ∈ L(G ), mas aTSb ∈
/ L(G ). Também
(ab)2 ba2 b 2 ∈ L(G ). De facto,
S → aTSb ⇒ abSbSb ⇒ (ab)2 bSb ⇒ (ab)2 baTSb 2
⇒ (ab)2 baTb 2 ⇒ (ab)2 ba2 b 2 .
Seja G1 = ({S}, {a, b}, {S → aSb | 1}, S). Então
L(G1 ) = {an b n | n ∈ N0 }.
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[Exercı́cio.]
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Definições.
Também para G2 = ({S, T }, {a, b}, {S → aTb | 1, T → aSb | 1}, S)
temos
L(G2 ) = {an b n | n ∈ N0 }. [Exercı́cio.]
Para G = ({S}, {a, b}, {S → aSb | ab}, S), temos
L(G ) = {an b n | n ∈ N+ }.
[Exercı́cio.]
A partir dos exemplos anteriores podemos concluir que duas gramáticas
distintas podem gerar a mesma linguagem.
Definição.
Dizemos que duas gramáticas G1 e G2 são equivalentes se L(G1 ) = L(G2 ).
Observação.
O problema da equivalência de gramáticas é indecidı́vel!
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Seja G = (V , A, P, S) uma gramática. Dizemos que:
G é do tipo 0 ou não restringida se as suas regras de derivação são de
qualquer tipo, i.e. uma gramática do tipo 0 é simplesmente uma
qualquer gramática, de acordo com a definição considerada. A uma
linguagem gerada por uma gramática do tipo 0 (i.e. a qualquer
linguagem gerada por uma gramática) chamamos recursivamente
enumerável ou do tipo 0;
G é do tipo 1 ou contextual/dependente de contexto se as suas regras
de derivação são da forma
αX β → αγβ
(substituição de X por γ no contexto α&'β), com X ∈ V ,
α, β ∈ (V ∪ A)∗ e γ ∈ (V ∪ A)+ . É ainda permitida em P a regra
S →1,
desde S não ocorra na palavra da direita de nenhuma outra regra de
derivação de G . A uma linguagem gerada por uma gramática do tipo
1 chamamos dependente de contexto/contextual ou do tipo 1;
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G é do tipo 2 ou algébrica/independente de contexto/livre de
contexto se as suas regras de derivação são da forma
X →α,
∗
com X ∈ V e α ∈ (V ∪ A) . A uma linguagem gerada por uma
gramática do tipo 2 chamamos independente de contexto/livre de
contexto/algébrica ou do tipo 2;
Observações.
Uma gramática do tipo 3 não pode ter simultâneamente regras do
tipo X → uY e B → Cv , com X , Y , B, C ∈ V e u, v ∈ A∗ .
Uma gramática G = (V , A, P, S) diz-se linear se as suas regras de
derivação são da forma
X → uYv ou X → u ,
com X , Y ∈ V e u, v ∈ A∗ .
G é linear à direita se as suas regras de derivação são da forma
X → uY ou X → u ,
com X , Y ∈ V e u ∈ A∗ ;
G é linear à esquerda se as suas regras de derivação são da forma
X → Yu ou X → u ,
com X , Y ∈ V e u ∈ A∗ ;
G é do tipo 3 ou regular se G for linear à direita ou linear à esquerda.
A uma linguagem gerada por uma gramática do tipo 3 chamamos
regular ou do tipo 3.
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Há autores que definem uma gramática linear à direita admitindo
apenas regras de derivação da forma
X → aY ou X → a ou X → 1 ,
com X , Y ∈ V e a ∈ A. De modo análogo para gramáticas lineares à
esquerda.
Estas definições são equivalentes (no sentido de gerarem as mesmas
linguagens). De facto, podemos até eliminar as regras da forma
X → a, com X ∈ V e a ∈ A, da definição anterior.
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Assim, dizemos que uma gramática G = (V , A, P, S) é super-regular (à
direita) se as suas regras de derivação são da forma
X → aY ou X → 1 ,
com X , Y ∈ V e a ∈ A.
Temos então:
Dados um alfabeto A e i ∈ {0, 1, 2, 3}, denotamos por Li (A∗ ) o conjunto
das linguagens do tipo i sobre o alfabeto A.
Atendendo às definições, temos de imediato que
Proposição.
Toda a gramática linear à direita é equivalente a uma gramática
super-regular (à direita).
(visto que toda a gramática é do tipo 0 e que toda a gramática do tipo 3
é também, claramente, do tipo 2).
Mais adiante mostraremos que:
L3 (A∗ ) ⊆ L2 (A∗ ) ⊆ L0 (A∗ )
e
L1 (A∗ ) ⊆ L0 (A∗ )
Teorema (Hierarquia de Chomsky).
Demonstração. [Exercı́cio.]
Para qualquer alfabeto A, temos
(Tenha em conta que é necessário “substituir/eliminar” todas as regras da
forma X → Y , com X , Y ∈ V – estas são designadas por triviais –, bem
como as da forma X → a1 a2 · · · an Y , com X , Y ∈ V , a1 , a2 , . . . , an ∈ A e
n ≥ 2, e ainda as da forma X → a1 a2 · · · an , com X ∈ V ,
a1 , a2 , . . . , an ∈ A e n ≥ 1.)
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L3 (A∗ ) ⊆ L2 (A∗ ) ⊆ L1 (A∗ ) ⊆ L0 (A∗ ) .
Além disso, estas inclusões são em geral estritas, i.e., existe um alfabeto A
tal que
L3 (A∗ ) ! L2 (A∗ ) ! L1 (A∗ ) ! L0 (A∗ ) .
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Seja G = (V , A, P, S) uma gramática. Para cada α ∈ (V ∪ A)∗ , definimos
Exemplos.
Seja G = ({S}, {a, b}, P, S), com P = {S → aSb | 1}. Como vimos atrás
L(G ) = {an b n | n ∈ N0 }, pelo que esta linguagem é algébrica (visto G ser
algébrica).
Sejam A um alfabeto (qualquer), a ∈ A e G = ({S}, A, P, S), com
P = {S → aS | 1}. Como G é uma gramática linear à direita, então L(G ) é
uma linguagem regular. Temos L(G ) = a∗ [Exercı́cio.], pelo que a∗ é uma
linguagem regular.
Sejam A um alfabeto (qualquer), a ∈ A e G = ({S, T }, A, P, S), com
P = {S → aSaT | a | 1, T → Ta | 1}. Temos L(G ) = a∗ [Exercı́cio.], pelo
que G , apesar de não ser uma gramática regular, gera uma linguagem
regular.
Seja G = ({S}, {a, b}, {S → aSbS | 1}, S). Então G é uma gramática
∗
algébrica e a linguagem L(G ) é usualmente denotada por D " 1 (linguagem de
Dyck restrita).
Interpretando a e b como sendo os parêntesis ( e ), respectivamente, então
∗
D " 1 é constituı́do pelas palavras de parêntesis “bem emparelhados”.
[Exercı́cio.]
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∗
LG (α) = {w ∈ A∗ | α ⇒ w },
a que chamamos linguagem gerada por G a partir de α.
Observemos que L(G ) = LG (S).
Proposição.
Sejam G = (V , A, P, S) uma gramática algébrica, α1 , α2 , β ∈ (V ∪ A)∗ e
n
n ∈ N0 . Então α1 α2 ⇒ β se e só se existem β1 , β2 ∈ (V ∪ A)∗ e
n
n
n1 , n2 ∈ N0 tais que α1 ⇒1 β1 , α2 ⇒2 β2 , β = β1 β2 e n = n1 + n2 .
Além disso, nesta situação, as regras de derivação usadas na derivação
n
α1 α2 ⇒ β coincidem com as regras de derivação usadas nas derivações
n
n
α1 ⇒1 β1 e α2 ⇒2 β2 .
Demonstração. [No quadro.]
Corolário.
Sejam G = (V , A, P, S) uma gramática algébrica e α1 , α2 ∈ (V ∪ A)∗ .
Então LG (α1 α2 ) = LG (α1 )LG (α2 ).
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Proposição.
Demonstração. [Exercı́cio.]
Seja G = (V , A, P, S) uma gramática algébrica tal que L(G ) /= ∅. Então
existe uma gramática algébrica equivalente a G em que todas as variáveis
são produtivas (i.e. sem variáveis improdutivas).
Proposição.
Sejam G = (V , A, P, S) uma gramática algébrica e X ∈ V . Então
%
LG (X ) =
LG (α),
Demonstração. [Esboço.]
Consideramos a gramática G1 = (V1 , A, P1 , S), em que
V1 = {X ∈ V | X é produtiva (em G )} e P1 = P ∩ V1 × (V1 ∪ A)∗ .
Observe-se que S ∈ V1 , visto que L(G ) /= ∅, e que P1 ⊆ V1 × (V1 ∪ A)∗ , donde
G1 é uma gramática algébrica.
[No quadro.]
Mostra-se que, para X ∈ V1 , LG (X ) ⊆ LG1 (X ) (donde LG (X ) = LG1 (X ), visto
que P1 ⊆ P). A partir desta inclusão resulta de imediato que G1 não tem
variáveis improdutivas e que é equivalente a G .
α∈PX
em que PX = {α ∈ (V ∪ A)∗ | X → α ∈ P}.
Demonstração. [No quadro.]
Definição.
Definição.
Seja G = (V , A, P, S) uma gramática. Dizemos que uma variável X ∈ V é
∗
produtiva se existir w ∈ A∗ tal que X ⇒ w . Caso contrário dizemos que X
é improdutiva.
Seja G = (V , A, P, S) uma gramática. Dizemos que um sı́mbolo
∗
x ∈ V ∪ A é acessı́vel se existirem α, β ∈ (V ∪ A)∗ tais que S ⇒ αxβ.
Caso contrário dizemos que x é inacessı́vel.
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Proposição.
Observação.
∗
Observe-se que se S ⇒ γ, com γ ∈ (V ∪ A)∗ , então todos os sı́mbolos que
ocorrem em γ são acessı́veis.
Proposição.
Toda a gramática algébrica é equivalente a uma gramática algébrica só
com sı́mbolos acessı́veis (i.e. sem sı́mbolos inacessı́veis).
Demonstração. [Esboço.]
Seja G = (V , A, P, S) uma gramática algébrica. Consideramos a gramática
G1 = (V1 , A1 , P1 , S), em que V1 = {X ∈ V | X é acessı́vel (em G)},
A1 = {a ∈ A | a é acessı́vel (em G)} e P1 = P ∩ V1 × (V1 ∪ A1 )∗ .
∗
Observe-se que S ∈ V1 , visto que S ⇒
1S1.
G
[No quadro.]
∗
∗
Mostra-se que, para α ∈ (V ∪ A)∗ , se S ⇒
α, então α ∈ (V1 ∪ A1 )∗ e S ⇒
α.
G
G1
Deste modo, prova-se que G1 não possui sı́mbolos inacessı́veis e, em particular,
que L(G ) ⊆ L(G1 ), donde L(G ) = L(G1 ), visto que P1 ⊆ P.
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Exemplo.
Seja G = ({X , Y , Z , W , T }, {a, b, c}, P, X ), com
P = {X → aXb | YaZ | YaX | b, Y → YaZa | Xa | 1, Z → WbcZ ,
W → Zb | WcW | c, T → aX | aTb | 1}.
Seja G1 = (V1 , A, P1 , X ) a gramática sem variáveis improdutivas obtida a
partir de G de acordo com a construção considerada. Então
V1 = {X , Y , W , T } e
P1 = {X → aXb | YaX | b, Y → Xa | 1, W → WcW | c,
T → aX | aTb | 1}.
Seja G2 = (V2 , A2 , P2 , X ) a gramática sem sı́mbolos inacessı́veis obtida a
partir de G1 de acordo com a construção considerada. Então V2 = {X , Y },
A2 = {a, b} e P2 = {X → aXb | YaX | b, Y → Xa | 1}.
Construı́mos a partir de G a gramática G1 = (V1 , A, P1 , S) como na prova da
penúltima proposição. De seguida, construı́mos a partir de G1 a gramática
G2 = (V2 , A2 , P2 , S) como na prova da última proposição. Claro que G2 é
equivalente a G e G2 não tem sı́mbolos inacessı́veis (por construção).
[No quadro.]
Além disso, prova-se que G2 também não tem variáveis improdutivas.
Observação.
Se a partir de uma gramática algébrica G construirmos (pelo processo
descrito atrás) uma gramática algébrica G1 sem sı́mbolos inacessı́veis e a
partir de G1 construirmos (pelo processo descrito atrás) uma gramática
algébrica G2 sem variáveis improdutivas, não podemos garantir que G2 não
tenha sı́mbolos inacessı́veis.
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Seja G1% = (V1% , A%1 , P1% , X ) a gramática sem sı́mbolos inacessı́veis
obtida a partir de G de acordo com a construção considerada. Então
V1% = {X , Y , Z , W }, A%1 = {a, b, c} e
P1% = {X → aXb | YaZ | YaX | b, Y → YaZa | Xa | 1, Z → WbcZ ,
W → Zb | WcW | c}.
Seja G2% = (V2% , A%1 , P2% , X ) a gramática sem variáveis improdutivas
obtida a partir de G1% de acordo com a construção considerada. Então
V2% = {X , Y , W } e
P2% = {X → aXb | YaX | b, Y → Xa | 1, W → WcW | c}.
A gramática G2% é equivalente a G mas, no entanto, possui sı́mbolos
inacessı́veis: W e c.
Seja L /= {1} uma linguagem algébrica. Então L \ {1} é gerada por uma
gramática algébrica sem variáveis improdutivas, sem sı́mbolos inacessı́veis
e sem regras da forma X → 1.
Vamos agora trocar a ordem das construções.
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Demonstração. [Esboço.]
Proposição.
Assim, G2 é uma gramática (algébrica) equivalente a G sem variáveis
improdutivas e sem sı́mbolos inacessı́veis.
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Seja G = (V , A, P, S) uma gramática algébrica tal que L(G ) /= ∅. Então
existe uma gramática algébrica equivalente a G sem variáveis improdutivas
nem sı́mbolos inacessı́veis.
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Demonstração. [Esboço.]
Seja G = (V , A, P, S) uma gramática algébrica tal que L(G ) = L.
Seja P " o conjunto de regras de derivação da forma X → x1 x2 · · · xn obtidas a
partir de alguma regra de derivação de P da forma X → y1 y2 · · · yn (X ∈ V e
∗
y1 , y2 , . . . , yn ∈ V ∪ A, n ≥ 1) do seguinte modo: para i ∈ {1, . . . , n}, se yi ⇒ 1
então xi ∈ {yi , 1}, caso contrário, xi = yi (apenas).
Seja P1 = P " \ {X → 1 | X ∈ V }. Observe-se que P \ {X → 1 | X ∈ V } ⊆ P1 .
Então a gramática G1 = (V , A, P1 , S) é algébrica e não tem regras de derivação
da forma X → 1.
Além disso, L(G1 ) = L(G ) \ {1} (= L \ {1} =
/ ∅). [Exercı́cio.]
Seja G2 = (V2 , A2 , P2 , S) a gramática obtida a partir de G1 usando a construção
da demonstração da proposição anterior (“eliminando” em primeiro lugar as
variáveis improdutivas e de seguida os sı́mbolos inacessı́veis). Então, G2 é
algébrica e não tem variáveis improdutivas nem sı́mbolos inacessı́veis. Além disso,
L(G2 ) = L(G1 ) = L \ {1} e, como P2 ⊆ P1 , então G2 não tem regras de derivação
da forma X → 1.
Corolário.
Uma linguagem L é algébrica se e só se a linguagem L \ {1} for algébrica.
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Demonstração. [Esboço.]
Como 1 /∈ L /= ∅, então, pela proposição anterior, L = L \ {1} é gerada por uma
gramática algébrica G = (V , A, P, S) sem variáveis improdutivas, sem sı́mbolos
inacessı́veis e sem regras da forma X → 1.
Seja P1 o conjunto das regras de derivação da forma X → α, com
α ∈ (V ∪ A)∗ \ V , tais que existe Y ∈ V em que Y → α é uma regra de
∗
derivação de G (i.e. pertence a P) e X ⇒
Y.
G
∗
Observe-se que, uma vez que X ⇒
X , então P1 contém todas as regras não
G
triviais de P.
Além disso, a gramática G1 = (V , A, P1 , S) gera L e não possui variáveis
improdutivas, regras da forma X → 1 e nem regras triviais (mas pode ter
sı́mbolos inacessı́veis). [Exercı́cio]
Aplicando a contrução da prova da proposição do slide 56 (“eliminação” de
sı́mbolos inacessı́veis) à gramática G1 obtemos uma gramática G2 nas condições
do enunciado.
Definição.
Uma gramática G = (V , A, P, S) diz-se na forma normal de Chomsky se
as suas regras de derivação são da forma X → YZ ou X → a, com
X , Y , Z ∈ V e a ∈ A.
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Demonstração. [Esboço.]
Se 1 /∈ L o resultado é trivial. Suponhamos então que 1 ∈ L.
Admitamos que L é algébrica. Se L /= {1}, pela proposição anterior L \ {1} é uma
linguagem algébrica. Se L = {1} então L \ {1} = ∅ e é gerada, por exemplo, pela
gramática (algébrica) ({S}, {a}, {S → S}, S), pelo que L \ {1} é uma linguagem
algébrica.
Reciprocamente, suponhamos que L \ {1} é uma linguagem algébrica e
consideremos uma gramática algébrica G = (V , A, P, S) tal que L(G ) = L \ {1}.
Seja então T um (novo) sı́mbolo (não terminal) tal que T /∈ V ∪ A e
consideremos a gramática (algébrica) G " = (V ∪ {T }, A, P ∪ {T → S | 1}, T ).
Então L(G " ) = L, pelo que L é algébrica. [Exercı́cio.]
Proposição.
Se L é uma linguagem algébrica tal que 1 /∈ L /= ∅, então L é gerada por
uma gramática algébrica sem variáveis improdutivas, sem sı́mbolos
inacessı́veis, sem regras da forma X → 1, com X ∈ V , e sem regras triviais
(i.e. da forma X → Y , com X , Y ∈ V ).
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Teorema.
Toda a linguagem algébrica L tal que 1 /∈ L é gerada por uma gramática
na forma normal de Chomsky.
Demonstração. [Esboço.]
Se L = ∅ então é claro que L é gerada pela gramática ({S}, A, {S → SS}, S) que
está na forma normal de Chomsky.
Suponhamos então que L /= ∅. Atendendo à proposição anterior, L é gerada por
uma gramática algébrica (sem variáveis improdutivas nem sı́mbolos inacessı́veis)
sem regras da forma X → 1, X ∈ V , nem regras triviais.
Seja B o subconjunto de A constituı́do por todas as letras a ∈ A que ocorrem
numa componente direita de comprimento maior ou igual a dois de alguma regra
de G (note-se que eventualmente B = ∅).
Seja V1 = {Xa | a ∈ B} um (novo) conjunto de variáveis disjunto de V e
equipotente a B (i.e. com o mesmo número de elementos que B).
Consideremos então a gramática (algébrica) G1 = (V ∪ V1 , A, P1 , S), em que P1
é constituı́do pelas seguintes regras:
X → a, se X → a for um regra de G , com X ∈ V e a ∈ A;
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X → X1 X2 · · · Xn , n ≥ 2, obtida a partir de uma regra de G da forma
X → x1 x2 · · · xn , com x1 , x2 , . . . , xn ∈ V ∪ A, substituindo os sı́mbolos a ∈ A
que ocorrem na componente direita por Xa , i.e.
&
xi , se xi ∈ V
Xi =
Xa , se xi = a ∈ B;
O conjunto V2 das variáveis de G2 é constituı́do pelas variáveis de G1 e pelas
(eventuais) novas variáveis exigidas na construção das regras de G2 .
Claramente G2 está na forma normal de Chomsky. Além disso, prova-se que G2 é
equivalente a G1 . [Exercı́cio.]
Xa → a, com a ∈ B.
Exemplo.
Prova-se que G1 é uma gramática (algébrica) equivalente a G . [Exercı́cio.]
Note-se que as regras de derivação de G1 são da forma X → X1 X2 · · · Xn , com
X , X1 , X2 , . . . , Xn variáveis e n ≥ 2, ou da forma X → a, com X uma variável e a
um sı́mbolo terminal.
De seguida, consideramos a gramática G2 = (V2 , A, P2 , S), em que P2 é
constituı́do pelas seguintes regras:
X → X1 X2 , se X → X1 X2 for um regra de G1 , com X , X1 , X2 ∈ V ∪ V1 ;
X → X1 Y1 , Y1 → X2 Y2 , . . . , Yn−3 → Xn−2 Yn−2 , Yn−2 → Xn−1 Xn , com
Y1 , Y2 , . . . , Yn−2 novas variáveis, se X → X1 X2 · · · Xn for um regra de G1 ,
com X , X1 , X2 , . . . , Xn ∈ V ∪ V1 e n ≥ 3.
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§2. Linguagens Reconhecı́veis e Linguagens Racionais
2.1 Gramáticas Regulares vs. Linguagens Racionais
Teorema.
Sejam A um alfabeto e L uma linguagem de A∗ gerada por uma gramática
linear à direita [à esquerda]. Então L é uma linguagem racional.
Demonstração. [No quadro.]
Então G2 = ({S, Xb , Xc , Y1 , Y2 , Y3 }, {a, b, c}, P2 , S) está na forma normal de
Chomsky e é equivalente a G .
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Demonstração. [Esboço.]
Vamos considerar apenas gramáticas lineares à direita.
A gramática G = ({S}, A, {S → S}, S) é linear à direita e L(G ) = ∅.
Dado a ∈ A, a gramática G = ({S}, A, {S → a}, S) é linear à direita e
L(G ) = {a}.
Sejam K e L duas linguagens de A∗ geradas por gramáticas lineares à direita
G1 = (V1 , A, P1 , S1 ) e G2 = (V2 , A, P2 , S2 ), respectivamente. Admitamos,
sem perda de generalidade, que V1 ∩ V2 = ∅.
Proposição.
Seja A um alfabeto.
A linguagem (vazia) ∅ é gerada por uma gramática linear à direita [à
esquerda].
Dado a ∈ A, a linguagem {a} é gerada por uma gramática linear à
direita [à esquerda].
Dadas duas linguagens K e L de A∗ geradas por gramáticas lineares à
direita [à esquerda], as linguagens K ∪ L, KL e L∗ são geradas por
gramáticas lineares à direita [à esquerda].
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P1 = {S → Xc SXb SXc | Xc Xb | a, Xb → b, Xc → c};
P2 = {S → Xc Y1 | Xc Xb | a, Y1 → SY2 , Y2 → Xb Y3 , Y3 → SXc ,
Xb → b, Xc → c}.
X → a, se X → a for um regra de G1 , com X ∈ V ∪ V1 e a ∈ A;
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Seja G = ({S}, {a, b, c}, {S → cSbSc | cb | a}, S).
Claramente, 1 /∈ L(G ) /= ∅.
Vamos construir uma gramática equivalente a G na forma normal de Chomsky,
usando o algoritmo da prova do teorema anterior:
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Seja G = (V1 ∪ V2 ∪ {S}, A, P, S), onde S é uma nova variável (i.e.
S /∈ V1 ∪ V2 ∪ A) e P = {S → S1 | S2 } ∪ P1 ∪ P2 . Então G é uma
gramática linear à direita e L(G ) = K ∪ L. [Exercı́cio.]
Seja G = (V1 ∪ V2 , A, P, S1 ), com
P = {X → uY | (X → uY ) ∈ P1 } ∪ {X → uS2 | (X → u) ∈ P1 } ∪ P2 .
Então G é uma gramática linear à direita e L(G ) = KL. [Exercı́cio.]
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2.2 Autómatos Finitos
Seja G = (V2 ∪ {S}, A, P, S), onde S /∈ V2 ∪ A é uma nova variável e
P = {S → S2 | 1} ∪ {X → uY | (X → uY ) ∈ P2 } ∪
{X → uS | (X → u) ∈ P2 }. Então G é uma gramática linear à direita
e L(G ) = L∗ . [Exercı́cio.]
Exemplo.
Representação gráfica de um autómato com quatro estados:
Para gramáticas lineares à esquerda é análogo. [Exercı́cio.]
Corolário.
Sejam A um alfabeto e L uma linguagem de A∗ . As seguintes afirmações
são equivalentes:
estados: 1,2,3,4
L é uma linguagem racional;
transições: (1, a, 1), (1, a, 2), (2, b, 1), (2, b, 2), (2, b, 4), (2, c, 3), (3, a, 4),
L é gerada por uma gramática linear à direita;
(3, b, 4) [também representadas por 1 −→ 1, 1 −→ 2, 2 −→ 1, . . ., 3 −→ 4]
L é gerada por uma gramática linear à esquerda.
estados iniciais: 1,2
a
a
b
b
• estados finais: 2,4
Por exemplo, a palavra a2 b 2 ca é reconhecida por este autómato:
a
a
b
b
c
a
1 −→ 1 −→ 2 −→ 2 −→ 2 −→ 3 −→ 4.
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Definição.
Q é um conjunto a cujos elementos chamamos estados;
A é um alfabeto (i.e. um conjunto finito não vazio);
E é um subconjunto de Q × A × Q, a cujos elementos chamamos
transições (ou setas);
I e F são subconjuntos de Q a cujos elementos chamamos estados
iniciais e estados finais, respectivamente.
Dizemos que A é um autómato finito se o conjunto Q for finito.
Um autómato representa-se graficamente por meio de um diagrama,
chamado diagrama de estado, que consiste num conjunto de vértices e
setas (grafo), em que:
Os vértices representam os estados: 9
q ;
As setas representam as transições: etiquetamos com uma letra a
a
uma seta de um vértice p para um vértice q, p −→ q, se (p.a, q) for
uma transição;
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Os estados iniciais são usualmente representados com uma seta “a
entrar”: →9
i ;
Os estados finais são usualmente representados com uma seta “a
sair” ou por um duplo cı́rculo: ←9
f ou 9
9
f ;
Um estado simultaneamente inicial e final pode ser representados por
↔9 .
Um autómato é um quı́ntuplo ordenado A = (Q, A, E , I , F ), em que:
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Definições.
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato.
Duas transições (p, a, q) e (p % , b, q % ) dizem-se consecutivas se q = p % ;
Um caminho é uma sequência finita de transições consecutivas
(q0 , a1 , q1 ), (q1 , a2 , q2 ), . . . , (qn−2 , an−1 , qn−1 ), (qn−1 , an , qn ) que
an−1
a1
a2
a3
an
representamos por q0 −→
q1 −→
q2 −→
· · · qn−2 −→ qn−1 −→
qn :
q0 é a origem;
qn é a extremidade;
n é o comprimento;
a palavra a1 a2 · · · an−1 an é a etiqueta.
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Uma transição é um caminho de comprimento um. Além disso,
convencionamos que um caminho de comprimento zero é da forma
1
q −→ q (etiquetado pela palavra vazia);
Se A for o autómato
então L(A) = a∗ .
Um caminho diz-se bem sucedido se tiver como origem um estado
inicial e como extremidade um estado final;
Uma palavra w ∈ A∗ diz-se reconhecida (ou aceite) pelo autómato A
se w for a etiqueta de algum caminho bem sucedido;
Ao conjunto de todas as palavras de A∗ reconhecidas por A,
Se A for o autómato
então L(A) = a+ .
Se A for o autómato
então L(A) = {a}.
Se A for o autómato
então L(A) = ∅.
∗
L(A) = {w ∈ A | w é reconhecida por A} ,
chamamos linguagem reconhecida por A.
Exemplos.
Definição.
Seja A um alfabeto. Uma linguagem L de A∗ diz-se reconhecı́vel se for
reconhecida por algum autómato finito.
Sendo A o autómato do slide 5, temos
L(A) = (a + b)∗ + (a + b)∗ (ca + cb) = (a + b)∗ (1 + ca + cb).
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Lema da Estrela (/do Salto/da Repetição/“Pumping Lemma”)
Sejam A um alfabeto e L ⊆ A∗ uma linguagem reconhecı́vel. Então, existe
N ∈ N tal que qualquer palavra w de L de comprimento maior que N se
factoriza na forma w = xyz, em que:
x, z ∈ A∗ e y ∈ A+ ;
|xy | ≤ N;
xy ∗ z ⊆ L (i.e. xy n z ∈ L, para qualquer n ∈ N0 ).
Demonstração. [Esboço.]
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato finito tal que L(A) = L e tomemos
N = |Q| (note-se que N ∈ N, visto que A é finito).
Seja w = a1 a2 · · · ak ∈ L (a1 , a2 . . . , ak ∈ A) tal que |w | > N. Então, existe um
caminho bem sucedido etiquetado por w (note-se que N < k):
aN
ak
a1
a2
a3
→ q0 −→
q1 −→
q2 −→
· · · qN−1 −→
qN · · · qk−1 −→
qk →
Como N = |Q|, então os estados q0 , q1 , . . . , qN não são distintos dois a dois
(temos N + 1 ı́ndices), donde existem i, j ∈ {0, . . . , N} tais que i < j e qi = qj .
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Tomemos x = a1 a2 · · · ai , y = ai+1 · · · aj e z = aj+1 · · · ak . Temos então w = xyz,
y /= 1 (pois i < j) e |xy | = j ≤ N. Além disso, para qualquer n ∈ N0 , xy n z
etiqueta um caminho bem sucedido em A (de origem q0 e extremidade qk ).
O resultado anterior permite mostrar que certas linguagens não são
reconhecı́veis.
Observamos que existem outros “lemas da estrela” para linguagens
reconhecı́veis, como também para linguagens algébricas, e outras.
Exemplo.
(Note-se que este lema é imediato se L for finita.)
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Sejam A = {a, b} e L = {an b n | n ∈ N0 } ⊂ A∗ . Vimos já que L é uma linguagem
algébrica (cf. slide 52 do §1.).
Vamos usar o Lema da Estrela para mostrar que L não é reconhecı́vel.
Admitamos com vista a uma contradição que L é reconhecı́vel.
Seja N ∈ N nas condições do Lema da Estrela e tomemos w = aN b N . Então
|w | = 2N > N, pelo que w = xyz, para certos x, z ∈ A∗ e y ∈ A+ tais que
|xy | ≤ N e xy ∗ z ⊆ L. Como |xy | ≤ N então x = ar e y = as , para certos r ∈ N0
e s ∈ N+ tais que r + s = |xy | ≤ N. Assim, z = aN−r −s b N , pelo que, em
particular, aN−s b N = xz ∈ L, o que é uma contradição, visto que s ≥ 1.
Portanto, L não é reconhecı́vel.
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Para cada (p, a) ∈ P, denotemos por p · a (ou simplesmente por pa) o
único elemento q ∈ Q tal que (p, a, q) ∈ E . Assim, está definida uma
função
ϕ: P
−→ Q
Definição.
Um autómato A = (Q, A, E , I , F ) diz-se determinista se verifica as
seguintes condições:
Possui um único estado incial: I = {i};
Para quaisquer estado p ∈ Q e letra a ∈ A, existe no máximo uma
transição da forma (p, a, q), i.e. para quaisquer p, q1 , q2 ∈ Q e a ∈ A,
se (p, a, q1 ), (p, a, q2 ) ∈ E então q1 = q2 :
Um autómato que não é determinista diz-se não determinista.
Proposição.
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato determinista. Seja
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato determinista. Para quaisquer
u, v ∈ A∗ e p ∈ Q, se pu e (pu)v estiverem definidos então p(uv ) também
está definido, tendo-se p(uv ) = (pu)v .
P = {(p, a) ∈ Q × A | (∃q ∈ Q) (p, a, q) ∈ E }.
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(p, a) 8→ ϕ(p, a) = p · a
Designa-se ϕ por função de transição de A e é usual representá-la
simplesmente por ·.
Claramente, um autómato determinista fica (também) definido pelo
quı́ntuplo (Q, A, ·, i, F ).
A função de transição de um autómato determinista A = (Q, A, E , I , F )
pode ser prolongada a palavras de A∗ do seguinte modo: para quaisquer
p ∈ Q, u ∈ A∗ e a ∈ A,
&
p·1=p
p · (ua) = (p · u) · a, se p · u e (p · u) · a estão definidos.
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Demonstração.
Definição.
[Exercı́cio.] Sugestão: por indução no comprimento de v .
Um autómato A = (Q, A, E , I , F ) diz-se completo se, para quaisquer
p ∈ Q e a ∈ A, existe (pelo menos) uma transição da forma (p, a, q).
Exemplo.
Consideremos o seguinte autómato A:
Observação.
Num autómato determinista completo a função de transição tem domı́nio
Q × A.
Então
1 · b = 1, 1 · a = 2,
2 · a não está definido, 2 · b = 3
3 · a = 2 e 3 · b = 1.
Por exemplo, 1 · (bba) = (1 · (bb)) · a = ((1 · b) · b) · a =
= (1 · b) · a = 1 · a = 2.
Observe-se que L(A) = (b ∗ ab)∗ .
Definições.
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato. Um estado q ∈ Q diz-se:
acessı́vel se existe um caminho com origem num estado inicial e
a1
a2
an
extremidade q: I = i −→
q1 −→
· · · qn−1 −→
q
Observação.
Sejam A = (Q, A, ·, i, F ) um autómato determinista e u ∈
claramente,
A∗ .
co-acessı́vel se existe um caminho com origem em q e extremidade
a2
a1
an
· · · qn−1 −→
qn ∈ F .
q1 −→
num estado final: q −→
Então,
O autómato A diz-se acessı́vel [co-acessı́vel] se todos os seus estados são
acessı́veis [co-acessı́veis].
∗
L(A) = {u ∈ A | i · u está definido e i · u ∈ F }.
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Exemplo.
Sejam A e A" , respectivamente, os seguintes autómatos:
Definição.
Dois autómatos A e A% dizem-se equivalentes se L(A) = L(A% ).
De agora em diante, salvo menção em contrário, vamos considerar apenas
autómatos finitos.
Proposição.
Todo o autómato é equivalente a um autómato acessı́vel e co-acessı́vel.
Demonstração. [Esboço.]
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato. Tomemos
Q " = {q ∈ Q | q é acessı́vel e co-acessı́vel em A} e consideremos o autómato
A" = (Q " , A, E ∩ Q " × A × Q " , I ∩ Q " , F ∩ Q " ) (que resulta de A suprimindo os
estados inúteis, i.e. que não são ou acessı́veis ou co-acessı́veis). Então A" é
acessı́vel e co-acessı́vel. [Exercı́cio.] Além disso, L(A" ) = L(A). [Exercı́cio.]
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Proposição.
Todo o autómato é equivalente a um autómato completo.
Os estados acessı́veis de A são os 1,2,3,4,5,6,9 e 10 e os co-acessı́veis são os
1,2,3,6,8,9 e 10, pelo que os estados 1,2,3,6,9 e 10 são simultaneamente os
acessı́veis e co-acessı́veis em A.
O autómato A" é um autómato acessı́vel e co-acessı́vel equivalente a A.
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Observação.
Se A for determinista [acessı́vel], então o autómato completo A% (da prova
da proposição anterior) é determinista [acessı́vel].
Demonstração.
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato e admitamos que A não é completo. Seja
p um novo estado (i.e. p /∈ Q) fixo. Consideremos o autómato A" que resulta de
“acrescentar” a A o estado p e todas as transições da forma (q, a, p), para
quaisquer q ∈ Q e a ∈ A tais que não exista em A uma transição da forma
(q, a, −), e ainda todas as transições da forma (p, a, p), com a ∈ A, i.e.
Proposição.
Todo o autómato é equivalente a um autómato determinista.
Demonstração. [Esboço.]
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato e admitamos que A não é determinista.
Consideremos o autómato (determinista) A" = (P(Q), A, ·, I , F) (note-se que I é
um elemento de P(Q), o conjunto dos estados de A" ), em que
F = {P ∈ P(Q) | P ∩ F /= ∅} e a função de transição está definida por
A" = (Q ∪ {p}, A, E " , I , F ), em que
E " = E ∪ {(q, a, p) | q ∈ Q, a ∈ A, ({q} × {a} × Q) ∩ E = ∅} ∪ {(p, a, p) | a ∈ A}.
Claramente, o autómato A" é completo e equivalente a A (note-se que p não é
co-acessı́vel).
(Se A é completo podemos tomar A" = A.)
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P · a = {q ∈ Q | (∃p ∈ P) (p, a, q) ∈ E }
(note-se que ∅ · a = ∅), para quaisquer P ∈ P(Q) e a ∈ A.
O autómato A" (por construção) é determinista (e também completo). Além
disso, L(A" ) = L(A). [Exercı́cio.]
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Proposição.
Todo o autómato é equivalente a um autómato determinista, completo e
acessı́vel.
Exemplos.
DCA(A)
A
Demonstração. [Esboço.]
Seja A = (Q, A, E , I , F ) um autómato. Consideremos o autómato (determinista)
DCA(A) = (Q" , A, ·, I , F " ), em que Q" = ∪n∈N0 Qn é o subconjunto de P(Q)
definido
por

 Q0 = {I }
Q1 = {I · a | a ∈ A}

Qn+1 = {P · a | P ∈ Qn \ (Q0 ∪ Q1 ∪ · · · ∪ Qn−1 ), a ∈ A} , n ∈ N+
(note-se que, uma vez que Q é finito, a partir de certa ordem os conjuntos Qn
são todos vazios), com P · a, para a ∈ A e P ∈ P(Q), definidos do mesmo modo
que na prova da proposição anterior, e F " = {P ∈ Q" | P ∩ F /= ∅}.
Então, o autómato DCA(A) é determista, completo, acessı́vel e equivalente a A.
[Exercı́cio.]
(autómato equivalente a A e a DCA(A))
DCA(B)
B
Observação.
No autómato DCA(A) o estado ∅, se existir, nunca é co-acessı́vel.
Podemos então suprimi-lo, obtendo assim um autómato equivalente a A
(e a DCA(A)), mas que pode não ser completo.
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Observação.
Seja A = (Q, A, ·, i, F ) um autómato determinista completo.
Um autómato determinista, completo e acessı́vel (e até mesmo também
co-acessı́vel) pode possuir estados supérfluos, como mostra o seguinte
exemplo:
Para cada k ∈ N0 , definimos uma relação binária ∼k em Q do seguinte
modo: dados q, q % ∈ Q, q ∼k q % se e só se, para qualquer u ∈ A∗ tal que
|u| ≤ k, q · u ∈ F ⇔ q % · u ∈ F .
O autómato A é determinista,
completo, acessı́vel e
co-acessı́vel, mas os estados 4 e
5 desempenham o mesmo papel.
Definimos também a relação ∼= ∩k∈N0 ∼k sobre Q. Observemos que,
dados q, q % ∈ Q, q ∼ q % se e só se, para qualquer u ∈ A∗ ,
qu ∈ F ⇔ q % u ∈ F .
A
Claramente, ∼k , para qualquer k ∈ N0 , e ∼ são relações de equivalência
sobre Q.
B
O autómato B é determinista,
completo, acessı́vel e
co-acessı́vel. Além disso,
L(B) = L(A).
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Dizemos que uma palavra u ∈ A∗ separa dois estados q e q % de A se ou,
qu ∈ F e q % u /∈ F , ou, qu /∈ F e q % u ∈ F (i.e. qu ∈ F se e só se q % u /∈ F ).
Dois estados q e q % de A dizem-se equivalentes (ou indistinguı́veis) se não
existir nenhuma palavra que os separe, ou seja se q ∼ q % .
Claramente:
Para qualquer k ∈ N0 , ∼k+1 ⊆∼k ;
Se F /= Q e F /= ∅, então ∼0 tem exactamente duas classes de
equivalência: F e Q \ F ;
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Dados dois estados q e q % de A, se q ∼ q % então qu ∼ q % u, para
qualquer u ∈ A∗ .
Temos a seguinte definição recursiva das relações ∼k , k ∈ N0 :
Corolário.
Seja A = (Q, A, ·, i, F ) um autómato determinista completo tal que
n = |Q| ≥ 2. Então ∼=∼n−2 .
Proposição.
Para quaisquer q, q % ∈ Q, tem-se:
Demonstração.
q ∼0 q % se e só se q, q % ∈ F ou q, q % /∈ F ;
Para qualquer k ∈ N0 , as seguintes afirmações são equivalentes:
q ∼k+1 q % ;
q ∼k q % e, para qualquer a ∈ A, qa ∼k q % a;
q ∼0 q % e, para qualquer a ∈ A, qa ∼k q % a.
Se F = ∅ ou F = Q então ∼k = Q × Q, para qualquer k ∈ N0 , donde em
particular ∼=∼n−2 .
Admitamos então que F /= ∅ e F /= Q. Então, já vimos que |Q/∼0 | = 2.
Como ∼0 ⊇∼1 ⊇∼2 ⊇ · · · e Q é finito (pelo que possui um número finito de
relações binárias), então ∼k =∼k+1 , para algum k ∈ N0 . Seja k o menor número
natural nestas condições. Então, pelo corolário anterior,
∼0 "∼1 "∼2 " · · · "∼k−1 "∼k =∼k+1 =∼k+2 = · · · . Logo, temos
2 = |Q/∼0 | < |Q/∼1 | < · · · < |Q/∼k−1 | < |Q/∼ | ≤ n, donde k ≤ n − 2 e,
portanto, ∼n−2 =∼k =∼.
Demonstração. [Exercı́cio.]
Corolário.
Seja k ∈ N0 . Se ∼k =∼k+1 então ∼=∼k .
Definição.
Um autómato determinista e completo diz-se reduzido se for acessı́vel e
não tiver estados diferentes equivalentes, i.e. se ∼ for a relação identidade.
Demonstração. [No quadro.]
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Seja A = (Q, A, ·, i, F ) um autómato determinista completo.
Definimos o autómato Ar = (Q/∼ , A, ·, [i]∼
em que
F % = {[q]∼ | q ∈ F } e a função de transição está definida por
Q/∼ × A −→ Q/∼
([q]∼ , a)
8→ [q]∼ · a = [q · a]∼
(observemos que esta função está bem definida visto que, como já
observámos, dados dois estados q e q % de A, se q ∼ q % então qu ∼ q % u,
para qualquer u ∈ A∗ , pelo que, em particular, qa ∼ q % a, para qualquer
a ∈ A).
Observemos ainda que, dados u ∈ A∗ e q ∈ Q, [q]∼ · u = [qu]∼ .
[Exercı́cio.]
Proposição.
Seja A = (Q, A, ·, i, F ) um autómato determinista, completo e acessı́vel.
Então Ar = (Q/∼ , A, ·, [i]∼ , F % ) é um autómato reduzido equivalente a A.
Demonstração. [No quadro.]
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Exemplo.
, F % ),
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Consideremos o autómato A:
Então, A é determinista,
completo e acessı́vel.
Determinemos a equivalência ∼.
Como F = {2, 4}, então
Q/∼0 = {F , Q \ F } = {{2, 4}, {1, 3, 5, 6}}.
Temos que p ∼1 q ⇔ (p ∼0 q, pa ∼0 qa, pb ∼0 qb).
Calculemos então pa e pb, com p ∈ Q:
Temos (com os estados finais representados a negrito):
p·x a b
p·x a b
1
1 2
e
2
4 3
3
5 1
4
4 5
5
5 6
6
6 4
Logo Q/∼1 = {{2, 4}, {1, 6}, {3, 5}}.
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Definição.
Também p ∼2 q ⇔ (p ∼1 q, pa ∼1 qa, pb ∼1 qb) e temos (com cores diferentes a
representar elementos de diferentes classes-∼1 ):
p·x a b
p·x a b
p·x a b
e
e
2
4 3
1
1 2
3
5 1
4
4 5
6
6 4
5
5 6
Logo ∼2 =∼1 , pelo que ∼=∼1 e, portanto, o autómato reduzido Ar tem três
estados ({2, 4}, {1, 6} e {3, 5}):
Sejam A1 = (Q1 , A, ·, i1 , F1 ) e A2 = (Q2 , A, ·, i2 , F2 ) dois autómatos
deterministas, completos e acessı́veis. Uma aplicação ϕ : Q1 −→ Q2 diz-se
um morfismo de A1 em A2 , e representa-se por ϕ : A1 −→ A2 , se satisfaz
as seguintes condições:
(i) i1 ϕ = i2 ;
(ii) ϕ−1 (F2 ) = F1 (i.e. para qualquer q ∈ Q1 , q ∈ F1 ⇔ ϕ(q) ∈ F2 );
(iii) Para quaisquer q ∈ Q1 e a ∈ A, ϕ(q) · a = ϕ(q · a).
Dizemos que ϕ : A1 −→ A2 é um isomorfismo se for uma bijecção (de Q1
sobre Q2 ). Neste caso, dizemos também que A1 é isomorfo a A2 e
escrevemos A1 3 A2 .
Observação.
Nas condições da definição anterior, uma aplicação ϕ : Q1 −→ Q2 que
satisfaça a condição (iii) também satisfaz, mais geralmente, a condição
para quaisquer q ∈ Q1 e u ∈ A∗ , ϕ(q) · u = ϕ(q · u). [Exercı́cio.]
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Exemplo.
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Proposição.
Todo o morfismo de autómatos deterministas, completos e acessı́veis é
uma aplicação sobrejectiva.
Consideremos os autómatos
Demonstração.
Então ϕ : A1 −→ A2 definida por ϕ =
[No quadro.]
- 1 2 3.
122
Sejam A1 = (Q1 , A, ·, i1 , F1 ) e A2 = (Q2 , A, ·, i2 , F2 ) dois autómatos
deterministas, completos e acessı́veis e ϕ : A1 −→ A2 um morfismo. Seja q ∈ Q2 .
Como A2 é acessı́vel, então existe u ∈ A∗ tal que i2 · u = q. Logo,
q = i2 · u = ϕ(i1 ) · u = ϕ(i1 · u). Portanto, ϕ : Q1 −→ Q2 é sobrejectiva.
é um morfismo de A1 em A2 .
Proposição.
Sejam A1 = (Q1 , A, ·, i1 , F1 ) e A2 = (Q2 , A, ·, i2 , F2 ) dois autómatos
deterministas, completos e acessı́veis. Se existe um morfismo de A1 em A2
então é único e, neste caso, os autómatos A1 e A2 são equivalentes.
Proposição.
Sejam ϕ : A1 −→ A2 e ψ : A2 −→ A3 dois morfismos de autómatos
(deterministas, completos e acessı́veis). Então:
Demonstração.
A composição ψ ◦ ϕ : A1 −→ A3 é um morfismo de autómatos;
Se ϕ : A1 −→ A2 é um isomorfismo então a aplicação inversa ϕ−1 é
um ismorfismo de autómatos de A2 sobre A1 .
Demonstração. [Exercı́cio.]
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Suponhamos que existe um morfismo ϕ : A1 −→ A2 . Seja q ∈ Q1 . Como A1 é
acessı́vel, então existe u ∈ A∗ tal que i1 · u = q. Como
ϕ(q) = ϕ(i1 · u) = ϕ(i1 ) · u = i2 · u, pelo que ϕ(q) está univocamente
determinado. Assim, ϕ é o único morfismo de A1 em A2 .
Por outro lado, para u ∈ A∗ , temos u ∈ L(A1 ) ⇔ i1 · u ∈ F1 ⇔ ϕ(i1 · u) ∈ F2 ⇔
ϕ(i1 ) · u ∈ F2 ⇔ i2 · u ∈ F2 ⇔ u ∈ L(A2 ), donde L(A1 ) = L(A2 ).
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Recordemos que, dados um alfabeto A, L ⊆ A∗ e u ∈ A∗ , definimos o
cociente esquerdo de L por u como sendo o conjunto das palavras de A∗
que resultam das palavras de L “suprimindo-lhes” o prefixo u:
u −1 L = {v ∈ A∗ | uv ∈ L}.
É fácil verificar que, para quaisquer L, K ⊆ A∗ e u, v ∈ A∗ , tem-se:
(uv )−1 L = v −1 (u −1 L);
u −1 (K + L) = u −1 K + u −1 L;
u −1 (K ∩ L) = u −1 K ∩ u −1 L;
u −1 (K \ L) = u −1 K \ u −1 L
(cf. Exercı́cio 20 de §1.).
Seja L ⊆ A∗ . Consideremos o autómato (não necessariamente finito)
determinista e completo A(L) = (QL , A, ·, L, FL ) em que:
FL = {u −1 L | u ∈ L};
A função de transição está definida por
(u −1 L) · a = (ua)−1 L (= a−1 (u −1 L)), para quaisquer a ∈ A e u ∈ A∗ .
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Como u = u1 ∈ L se e só se 1 ∈ u −1 L, com u ∈ A∗ , então podemos
também escrever FL = {K ∈ QL | 1 ∈ K }.
Para quaisquer u, v ∈ A∗ , (u −1 L) · v = (uv )−1 L. [Exercı́cio.] Donde,
para quaisquer K ∈ QL e u ∈ A∗ , K · u = u −1 K . Em particular, A(L)
é um autómato acessı́vel.
Lema.
Seja A = (Q, A, ·, i, F ) um autómato determinista e completo que
reconhece a linguagem L. Então, para qualquer u ∈ A∗ , o autómato
(determinista e completo) Au = (Q, A, ·, i · u, F ) reconhece u −1 L.
Demonstração. [No quadro.]
QL = {u −1 L | u ∈ A∗ } ⊆ P(A∗ );
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Observações.
L ∈ QL , visto que L = 1−1 L.
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Proposição.
1 O autómato A(L) reconhece a linguagem L.
2
A linguagem L é reconhecı́vel se e só se QL é finito (i.e. A(L) é finito).
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Proposição.
Demonstração.
1
[No quadro.]
2
Se QL é finito, tendo em conta a propriedade 1, é imediato que L é
reconhecı́vel. Reciprocamente, suponhamos que L é reconhecı́vel e tomemos
um autómato finito, determinista e completo A = (Q, A, ·, i, F ) que
reconhece L. Pelo lema anterior, para qualquer u ∈ A∗ , o autómato
Au = (Q, A, ·, i · u, F ) reconhece u −1 L. Como existem no máximo
(exactamente, se A for acessı́vel) |Q| autómatos da forma Au , então só
podem existir no máximo |Q| linguagens da forma u −1 L, com u ∈ A∗ . Logo,
QL é finito (|QL | ≤ |Q|).
Definição.
A(L) = ({Lq | q ∈ Q}, A, ·, L, {Lq | q ∈ F }), estando a função de
transição definida por Lq · a = Lq·a , para quaisquer q ∈ Q e a ∈ A;
2
A aplicação ϕ : Q −→ {Lq | q ∈ Q} definida por ϕ(q) = Lq , para
qualquer q ∈ Q, é um morfismo de A em A(L)
(logo A(L) é “menor” que A, atendendo à sobrejectividade de ϕ);
3
A(L) 3 Ar .
1. Seja q ∈ Q. Como A é acessı́vel, então existe u ∈ A∗ tal que q = iu. Pelo
lema anterior (slide 106), Lq = u −1 L ∈ QL . Além disso, se q(= iu) ∈ F ,
então u ∈ L, pelo que Lq ∈ FL . Reciprocamente, dado u ∈ A∗ e tomando
q = iu ∈ Q, tem-se u −1 L = Lq e, supondo adicionalmente que u ∈ L, então
q = iu ∈ F .
Esta terminologia deve-se ao seguinte resultado:
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1
Demonstração. [Esboço.]
O autómato A(L) designa-se por autómato minimal de L.
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Seja L ⊆ A∗ uma linguagem reconhecı́vel e seja A = (Q, A, ·, i, F ) um
autómato finito, determinista, completo e acessı́vel que reconhece L. Para
cada q ∈ Q, seja Lq a linguagem reconhecida pelo autómato
Aq = (Q, A, ·, q, F ). Então:
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Sejam q ∈ Q e a ∈ A. Tendo em conta a acessibilidade de A, tomemos
u ∈ A∗ tal que q = iu. Então, qa = i(ua), donde (pelo lema) Lq = u −1 L e
Lqa = (ua)−1 L. Logo, Lq · a = (u −1 )L · a = (ua)−1 L = Lqa .
2. [Exercı́cio.]
Exemplo.
3. Em primeiro lugar, suponhamos que A é um autómato reduzido. Mostremos
então que, neste caso, ϕ : A −→ A(L) é um isomorfismo. Atendendo a 2. e
à primeira proposição do slide 104, basta ver que ϕ é injectiva: sejam
q, q " ∈ Q tai que ϕ(q) = ϕ(q " ). Então, Lq = Lq" . Ora, dado u ∈ A∗ , temos
qu ∈ F ⇔ u ∈ Lq [Exercı́cio.], pelo que qu ∈ F ⇔ q " u ∈ F . Logo q ∼ q " e
portanto, como A é reduzido, q = q " . Donde A 3 A(L).
No caso geral, como Ar é um autómato finito, determinista, completo e
acessı́vel que também reconhece L, podemos considerar A(L) definido à
custa de Ar tal como em 1. e um morfismo de Ar em A(L) tal como em 2..
Como Ar é também reduzido, pelo que provámos inicialmente, podemos
concluir que Ar 3 A(L).
Atendendo a que dois autómatos finitos, deterministas, completos e
acessı́veis se forem isomorfos então ou são ambos reduzidos ou nenhum
deles o é [Exercı́cio.], temos de imediato:
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Corolário.
Se L ⊆ A∗ é reconhecı́vel então A(L) é um autómato reduzido.
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Cálculo de u −1 L, com |u| = 2:
Sejam A = {a, b} e L = a∗ b ∗ (a + a2 )b + . Vamos calcular A(L). Para tal,
precisamos de calcular todos os cocientes esquerdos da forma u −1 L, com u ∈ A∗ .
Tendo em conta que (ux)−1 L = x −1 (u −1 L), para quaisquer u ∈ A∗ e x ∈ A,
podemos calcular os cocientes desejados por meio de uma sucessão (finita, porque
L é reconhecı́vel) de passos, começando por calcular x −1 L, com x ∈ A, e depois,
em cada passo, calcular x −1 K , com x ∈ A e K um cociente novo obtido no passo
imediatamente anterior. O processo termina quando num dado passo não se
obtêm novos cocientes.
Observemos que L = a∗ b ∗ ab + + a∗ b ∗ a2 b + .
Cálculo de u −1 L, com |u| = 1:
a−1 L = a∗ b ∗ ab + + b + + a∗ b ∗ a2 b + + ab + = L + b + = L1 (observe-se
que ab + ⊆ a∗ b ∗ ab + );
b −1 L = b ∗ ab + + b ∗ a2 b + = L2 .
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Assim, visto que a palavra vazia pertence somente a L3 e a L6 (donde L3 e L6 são
os estados finais), temos
a−1 L1 = a−1 L + a−1 b + = a−1 L + ∅ = L1 ;
b −1 L1 = b −1 L + b −1 b + = L2 + b ∗ = L3 ;
a−1 L2 = b + + ab + = L4 ;
b −1 L2 = L2 .
A(L) = ({L, L1 , . . . , L7 }, A, ·, L, {L3 , L6 }),
cujo diagrama de estado é:
Cálculo de u −1 L, com |u| = 3:
a−1 L3 = b + + ab + = L4 ;
b −1 L3 = b −1 L2 + b −1 b ∗ = L2 + b ∗ = L3 ;
a−1 L4 = ∅ + b + = b + = L5 ;
b −1 L4 = b ∗ + ∅ = b ∗ = L6 .
Cálculo de u −1 L, com |u| = 4:
a−1 L5 = ∅ = L7 ;
b −1 L5 = b ∗ = L6 ;
a−1 L6 = ∅ = L7 ;
b −1 L6 = b ∗ = L6 .
Como a−1 ∅ = ∅ = a−1 ∅, então não se obtêm novos cocientes com |u| ≥ 5.
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Dada uma linguagem L ⊆ A∗ reconhecı́vel, como determinar um autómato
reduzido que reconheça L?
Processo 1:
Calcular um autómato A que reconheça L;
Calcular DCA(A);
Calcular DCA(A)r (i.e. reduzir DCA(A)).
Processo 2: Calcular o autómato minimal A(L) de L.
Consideremos o autómato A = (Q, A, E , I , F ) tal que:
Observação.
Então L = L(A). [No quadro.]
Na lista de exercı́cios apresenta-se um terceiro processo (Exercı́cio §2.19).
Exemplo.
Teorema.
Toda a linguagem regular é reconhecı́vel.
Seja G = ({S, T , X , Y }, {a, b}, P, S), em que
P = {S → aS | bT | aX | aY | 1, X → bT , Y → 1, T → aX | aY }. Então G é
uma gramática super-regular e o autómato que lhe corresponde pela construção
da prova anterior é:
Q = V;
R = {(X , a, Y ) ∈ V × A × V | (X → aY ) ∈ P};
I = {S};
F = {X ∈ V | (X → 1) ∈ P}.
Demonstração. [Esboço.]
Seja A um alfabeto e seja L ⊆ A∗ uma linguagem regular. De acordo com o
corolário do slide 4, podemos supor que L é gerada por uma gramática linear à
direita. Tendo em conta a proposição do slide 50 de §1, existe então uma
gramática super-regular (à direita) G = (V , A, P, S) que gera L.
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A:
L(A) = L(G )
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Exemplo.
Teorema.
Toda a linguagem reconhecı́vel é regular.
Consideremos o autómato
Demonstração.
Seja A um alfabeto e seja L ⊆ A∗ uma linguagem reconhecı́vel. Então, existe um
autómato finito com um único estado inicial (por exemplo, um autómato
determinista) A = (Q, A, E , {i}, F ) que reconhece L.
Consideremos a gramática G = (V , A, P, S) tal que:
V = Q;
P = {p → aq | (p, a, q) ∈ E } ∪ {q → 1 | q ∈ F };
S = i.
A gramática G é, claramente, super-regular. Além disso, o autómato que se
obtém de G pela construção da prova do teorema anterior é precisamente A, pelo
que L(G ) = L(A) = L (atendendo à mesma prova).
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A:
A gramática (super-regular) G tal que L(G ) = L(A),
que lhe corresponde pela construção da prova anterior,
é G = ({q1 , q2 , q3 }, {a, b}, P, q1 ), em que
P = {q1 → bq2 | aq3 , q2 → aq1 | bq3 | 1, q3 → aq2 | 1}.
Corolário. [Teorema de Kleene]
Uma linguagem é racional se e só se é reconhecı́vel.
Seja A = {a, b}. Vimos no exemplo do slide 11 (como aplicação do Lema
da Estrela) que a linguagem (algébrica) L = {an b n | n ∈ N0 } não é
reconhecı́vel. Tendo em conta o teorema do slide 38, a linguagem L
também não é regular. Assim, temos:
Corolário.
Seja A = {a, b}. Então L3 (A∗ ) ! L2 (A∗ ).
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Definição.
2.3 Monóide de Transições e Monóide Sintático
Definições.
Sejam M e N dois monóides.
Dizemos que M divide N, e escrevemos M ? N, se existem um
submonóide N % de N e um homomorfismo sobrejectivo ϕ : N % −→ M.
Observemos que, se N for finito e M ? N então M também é finito.
Definimos o monóide dual de (M, ·) como sendo o monóide
M d = (M, ·d ), em que x ·d y = y · x, para quaisquer x, y ∈ M.
(I.e. M d tem os mesmos elementos de M mas a operação “tem a
ordem trocada”).
Definimos o produto directo de M por N como sendo o monóide
cujos elementos são os do produto cartesiano M × N e a operação
está definida (“coordenada a coordenada”) por
(a, b)(c, d) = (ac, bd), para quaisquer (a, b), (c, d) ∈ M × N.
De modo análogo, mais geralmente, se define o produto directo de
um “número qualquer” de monóides.
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Observações.
Dados a1 , a2 . . . , an ∈ A, temos
ϕa1 a2 ···an−1 an = ϕan ◦ ϕan−1 ◦ · · · ◦ ϕa2 ◦ ϕa1 , pelo que o monóide de
transições M(A) é gerado por todas as funções ϕa , com a ∈ A.
Exemplo.
Consideremos o autómato A:
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3
3
3
3
3
3
3
= a2
= a2
=a
= ab
= a2
=b
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Definição.
Ao submonóide M(A) = {ϕw | w ∈ A∗ } de T d (Q) chamamos monóide de
transições do autómato A.
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Seja A = (Q, A, ·, i, F ) um autómato determinista completo. Então, a
linguagem L(A) (reconhecida por A) é reconhecida por M(A).
Demonstração. [Esboço.]
Sejam L = L(A) e Φ : A∗ −→ M(A) o epimorfismo canónico. Prova-se que
Φ−1 (Φ(L)) = L [Exercı́cio.], pelo que Φ (donde M(A)) reconhece L.
Proposição.
Seja L ⊆ A∗ . Então L é reconhecı́vel se e só se L é reconhecida por um
monóide finito.
por w , com w ∈ A∗ ):
2
3
3
3
3
3
1
Seja A = (Q, A, ·, i, F ) um autómato determinista completo.
Tendo em conta o prolongamento da função de transição ϕ : Q × A −→ Q
a A∗ , cada palavra w ∈ A∗ define uma função ϕw : Q −→ Q tal que
ϕw (q) = q · w , para qualquer q ∈ Q.
Uma vez que q · (uv ) = (q · u) · v , para quaisquer u, v ∈ A∗ e q ∈ Q,
então ϕuv = ϕv ◦ ϕu , para quaisquer u, v ∈ A∗ . Donde, a função
Φ : A∗ −→ T (Q)d definida por Φ(w ) = ϕw , para qualquer w ∈ A∗ , é um
homomorfismo.
Proposição.
Temos um homomorfismo sobrejectivo (epimorfismo) canónico
Φ : A∗ −→ M(A), w 8→ ϕw , com w ∈ A∗ .
Temos (representando ϕw também
1 2 3
1
a 2 3 3
a3 2
b 1 1 3
a2 b 3
a2 3 3 3
aba 2
ab 1 3 3
ab 2 1
ba 2 2 3
ba2 3
b2 1 1 3 = b
bab 1
Sejam A um alfabeto (finito), η : A∗ −→ M um morfismo de monóides e
L ⊆ A∗ uma linguagem. Dizemos que η reconhece L se existe P ⊆ M tal
que L = η −1 (P) (ou, equivalentemente, se L = η −1 (η(L)) [Exercı́cio.]).
Neste caso, também dizemos que M reconhece a linguagem L.
Donde,
-123.
M(A) = -{id =
123 -, .
.
123
,
b
a = -123
233 . = 113
- ,.
123
2
a = -233 ., ab = 123
133 ,
ba = 123
}.
223
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Demonstração.
Se L é reconhecı́vel então L é reconhecida por um autómato finito, determinista e
completo A = (Q, A, ·, i, F ). Como Q é finito então M(A) ⊆ T (Q) é finito e,
pela proposição anterior, reconhece L.
Reciprocamente, suponhamos que L é reconhecida por um monóide M. Sejam
η : A∗ −→ M um homomorfismo e P ⊆ M tais que L = η −1 (P).
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Consideremos o autómato determinista completo AM = (M, A, ·, 1M , P), em que
a função de transição está definida por m · a = m η(a) (multiplicação em M),
para quaisquer m ∈ M e a ∈ A. Como
Demonstração. [Esboço.]
1M · u ∈ P ⇔ 1M η(u) ∈ P ⇔ η(u) ∈ P ⇔ u ∈ η −1 (P) = L,
para qualquer u ∈ A∗ , então L(AM ) = L. Finalmente, se M for finito então AM é
finito e portanto L é reconhecı́vel.
Proposição.
Se o monóide M reconhece a linguagem L ⊆ A∗ então também reconhece
a linguagem A∗ \ L.
Demonstração. [Esboço.]
Como M reconhece L então existem um morfismo η : A∗ −→ M e P ⊆ M tais
que L = η −1 (P). Então η −1 (M \ P) = A∗ \ L [Exercı́cio.], pelo que M reconhece
A∗ \ L.
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Proposição.
Sejam L1 ⊆ A∗ e L2 ⊆ A∗ duas linguagens reconhecidas pelos monóides
M1 e M2 , respectivamente. Então o monóide M1 × M2 reconhece as
linguagens L1 ∩ L2 e L1 ∪ L2 .
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Para i ∈ {1, 2}, sejam ηi : A∗ −→ Mi um morfismo e Pi ⊆ Mi tais que
Li = η −1 (Pi ). Consideremos a função η : A∗ −→ M1 × M2 definida por
η(w ) = (η1 (w ), η2 (w )), para qualquer w ∈ A∗ . Então η é um morfismo
[Exercı́cio.] e tem-se η −1 (P1 × P2 ) = L1 ∩ L2 [Exercı́cio.] e
η −1 ((P1 × M2 ) ∪ (M1 × P2 )) = L1 ∪ L2 [Exercı́cio.].
Proposição.
Sejam A e B dois alfabetos e ϕ : A∗ −→ B ∗ um morfismo de monóides
livres. Seja L ⊆ B ∗ uma linguagem reconhecida por um monóide M.
Então a linguagem ϕ−1 (L) ⊆ A∗ também é reconhecida por M.
Demonstração.
Sejam η : A∗ −→ M um morfismo e P ⊆ M tais que L = η −1 (P). Então
ϕ−1 (L) = ϕ−1 (η −1 (P)) = (η ◦ ϕ)−1 (P), pelo que o morfismo η ◦ ϕ : A∗ −→ M
(e portanto M) reconhece ϕ−1 (L).
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Proposição.
Sejam K e L duas linguagens de A∗ . Se o monóide M reconhece L então
também reconhece as linguagens K −1 L e LK −1 .
Seja L uma linguagem de A∗ . Recordemos que a congruência sintática ∼L
de L está definida por: dados u, v ∈ A∗ , u ∼L v se e só se, para quaisquer
x, y ∈ A∗ , xuy ∈ L ⇔ xvy ∈ L.
Demonstração. [Esboço.]
Definição.
Seja L uma linguagem de A∗ . Chamamos monóide sintático de L ao
monóide cociente M(L) = A∗ /∼L .
Sejam η : A −→ M um morfismo e P ⊆ M tais que L = η (P). Tomando
P " = {m ∈ M | (∃u ∈ K ) η(u)m ∈ P}, temos η −1 (P " ) = K −1 L [Exercı́cio.].
(Para LK −1 é análogo.)
∗
−1
Seja Rec(A∗ ) o conjunto das linguagens reconhecı́veis (i.e. reconhecidas
por autómatos finitos ou por monóides finitos). Recordemos que já vimos
(nas secções §2.1 e §2.2) que Rec(A∗ ) = Rat(A∗ ) = L3 (A∗ ).
Como resumo dos resultados anteriores, temos:
Teorema.
Seja A um alfabeto.
Rec(A∗ ) é uma álgebra de Boole.
Observemos que temos um epimorfismo canónico η : A∗ −→ M(L).
O resultado seguinte mostra que, no sentido da divisão de monóides, M(L)
é o menor monóide que reconhece L.
Proposição.
Sejam L uma linguagem de A∗ e M um monóide.
M(L) reconhece L.
M reconhece L se e só se M(L) ? M.
Se L ∈ Rec(A∗ ) e K ⊆ A∗ então K −1 L, LK −1 ∈ Rec(A∗ ).
Se ϕ : A∗ −→ B ∗ é um morfismo de monóides livres e L ∈ Rec(B ∗ )
então ϕ−1 (L) ∈ Rec(A∗ ).
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Demonstração.
[No quadro.]
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Corolário.
Seja L uma linguagem de A∗ . Sejam M e N dois monóides.
Proposição.
Sejam L uma linguagem de A∗ e A(L) = (QL , A, ·, L, FL ) o autómato
minimal de L. Então, o monóide sintático M(L) de L coincide, a menos de
um isomorfismo, com o monóide de transições M(A(L)) de A(L).
L é reconhecı́vel se e só se M(L) é finito.
Se M reconhece L e M ? N então N reconhece L.
Demonstração. [Exercı́cio.]
Demonstração.
Consideremos o epimorfismo canónico Φ : A∗ −→ M(A(L)) (w 8→ ϕw ). Tendo
em conta o teorema do slide 22 de §1., temos que A∗ /∼Φ é isomorfo a M(A(L))
(onde ∼Φ representa a congruência nuclear associada a Φ). Basta então mostrar
que ∼Φ =∼L : sejam u, v ∈ A∗ . Então,
Corolário.
Sejam L, L1 , L2 ∈ Rec(A∗ ) e K ⊆ A∗ . Temos:
M(A∗ \ L) = M(L);
u ∼Φ v
M(L1 ∩ L2 ) ? M(L1 ) × M(L2 ) e M(L1 ∪ L2 ) ? M(L1 ) × M(L2 );
M(K −1 L) ? M(L) e M(LK −1 ) ? M(L);
Se ϕ : B ∗ −→ A∗ é um morfismo de monóides livres então
M(ϕ−1 ) ? M(L).
Demonstração. [Exercı́cio.]
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⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
⇔
(∀x ∈ A∗ ) ϕu (x −1 L) = ϕv (x −1 L)
(∀x ∈ A∗ ) (x −1 L) · u = (x −1 L) · v
(∀x ∈ A∗ ) (xu)−1 L = (xv )−1 L
(∀x ∈ A∗ ) {y ∈ A∗ | xuy ∈ L} = {y ∈ A∗ | xvy ∈ L}
(∀x, y ∈ A∗ ) xuy ∈ L ⇐⇒ xvy ∈ L
u ∼L v ,
como querı́amos demonstrar.
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Exemplo.
2
+
Consideremos a linguagem L = a b (a + a )b sobre A = {a, b} do exemplo do
slide 37. Então (tendo em conta o cálculo do autómato A(L):
∗ ∗
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§3. Variedades de Monóides e
Variedades de Linguagens: uma breve introdução
3.1 Variedades de Monóides Finitos
Definição.
Uma classe V de monóides finitos diz-se uma variedade de monóides
finitos (ou uma pseudovariedade de monóides) se for fechada para a toma
de submonóides, produtos directos e imagens homomorfas, i.e. se:
Se M ∈ V e N for um submonóide de M então N ∈ V;
), o monóide sintático M(L) de L é gerado (a menos de um isomorfismo) pelas
transformações
!
"
!
"
01234567
01234567
e b=
a=
23236667
11445777
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Se M ∈ V e ϕ : M −→ N é um homomorfismo sobrejectivo então
N ∈ V.
Exemplo.
(estamos a identificar o estado L com 0 e os estados Li com i, para
i ∈ {1, 2, . . . , 7}).
Podemos verificar que M(L) possui 15 elementos. [Exercı́cio.]
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Se M, N ∈ V então M × N ∈ V;
A classe M constituı́da por todos os monóides finitos é, naturalmente, uma
pseudovariedade de monóides.
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Definições.
Seja M um monóide. Dizemos que M é:
3.2 Variedades de Linguagens Reconhecı́veis
J-trivial se, para quaisquer x, y ∈ M,
MxM = MyM =⇒ x = y ;
R-trivial se, para quaisquer x, y ∈ M,
xM = yM =⇒ x = y ;
L-trivial se, para quaisquer x, y ∈ M,
Mx = My =⇒ x = y ;
Definição.
Uma classe de linguagens reconhecı́veis é uma função C que associa a cada
alfabeto (finito) A um conjunto A∗ C de linguagens reconhecı́veis de A∗ .
Definição.
Uma ∗-variedade de linguagens é uma classe de linguagens reconhecı́veis V
tal que, para qualquer alfabeto A:
H-trivial se, para quaisquer x, y ∈ M,
Mx = My ∧ xM = yM =⇒ x = y .
Um monóide finito H-trivial também se diz aperiódico.
A∗ V é uma álgebra de Boole (fechado para a união finita, intersecção
finita(1) e complementação);
Sejam J, R, L e A as classes de todos os monóides finitos J-triviais,
R-triviais, L-triviais e H-triviais (aperiódicos), respectivamente.
Observe-se que L ⊆ A e R ⊆ A. Além disso, J = L ∩ R. [Exercı́cio.]
Se ϕ : A∗ −→ B ∗ é um morfismo de monóides livres e L ∈ B ∗ V então
ϕ−1 (L) ∈ A∗ V;
Se L ∈ A∗ V e a ∈ A então a−1 L, La−1 ∈ A∗ V.
Proposição.
As classes J, R, L e A são pseudovariedades de monóides.
− − − − −−
(1)
Na realidade, não é necessário exigir o fecho para a intersecção visto que
resulta do fecho para a união e complementação: dado um conjunto X e dados
X1 , X2 ⊆ X , tem-se X1 ∩ X2 = X \ (X \ X1 ∪ X \ X2 ).
Demonstração. [Exercı́cio.]
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Exemplo.
Tendo em conta o teorema do slide §2.50, a classe Rec que associa a cada
alfabeto A o conjunto Rec(A∗ ) das linguagens reconhecı́veis de A∗ é uma
∗-variedade de linguagens.
Recordemos que, dado um alfabeto A, definimos o conjunto Rat(A∗ ) das
linguagens racionais de A∗ como sendo o menor conjunto (para a relação
de inclusão) de linguagens de A∗ contendo as linguagens ∅ e {a}, com
a ∈ A, e fechado para as operações de união (finita), produto e estrela. De
acordo com o teorema do slide §2.50, Rat(A∗ ) forma uma álgebra de
Boole, pelo que podemos definir Rat(A∗ ) como sendo o menor conjunto de
linguagens de A∗ contendo as linguagens ∅ e {a}, com a ∈ A, e fechado
para as operações de Boole (finitas), para o produto e para a estrela.
Se nesta definição suprimirmos a operação estrela, obtemos o conjunto de
linguagens designadas por inteiras ou livre de estrela. Assim:
Definição.
Uma linguagem L de A∗ diz-se inteira ou livre de estrela se pertencer ao
menor conjunto A∗ StFr de linguagens de A∗ contendo as linguagens ∅ e
{a}, com a ∈ A, e fechado para as operações de união (finita), intersecção
(finita), complementação e produto.
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Proposição.
A classe de linguagens reconhecı́veis StFr que associa a cada alfabeto A o
conjunto A∗ StFr das linguagens livres de estrela de A∗ é uma ∗-variedade
de linguagens.
Definição.
Uma linguagem L de A∗ diz-se testável por pedaços se puder ser obtida a
partir de linguagens da forma A∗ a1 A∗ a2 A∗ · · · A∗ an A∗ , com n ≥ 0 e
a1 , a2 , . . . , an ∈ A, usando um número finito de vezes as operações
booleanas (união finita, intersecção finita e complementação).
Proposição.
A classe de linguagens reconhecı́veis PiTe que associa a cada alfabeto A o
conjunto A∗ PiTe das linguagens testáveis por pedaços de A∗ é uma
∗-variedade de linguagens.
Observação.
Toda a linguagem testável por pedaços é livre de estrela. [Exercı́cio.]
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3.3 O Teorema (das Variedades) de Eilenberg
3.4 Exemplos
Sejam V uma pseudovariedade de monóides e A um alfabeto. Denotamos
por A∗ V o conjunto das linguagens (reconhecı́veis) de A∗ cujo monóide
sintático pertence a V.
Proposição.
Nas condições anteriores, A∗ V é o conjunto das linguagens reconhecidas
por um monóide de V.
Exemplo.
Demonstração. [Exercı́cio.]
Proposição.
Seja V uma pseudovariedade de monóides. A função V que associa a cada
alfabeto A o conjunto A∗ V é uma ∗-variedade de linguagens.
Claramente, M −→ Rec, pela correspondência de Eilenberg.
Teorema. [Schützenberger]
Uma linguagem L de A∗ é livre de estrela se e só se o monóide sintático
M(L) é (finito e) aperiódico (i.e. M(L) ∈ A).
Corolário.
Se A −→ A pela correspondência de Eilenberg então A é a ∗-variedade de
linguagens livres de estrela (atrás denotada por StFr).
Demonstração. [Exercı́cio.]
Teorema. [Simon]
Uma linguagem L de A∗ é testável por pedaços se e só se o monóide
sintático M(L) é (finito e) J-trivial (i.e. M(L) ∈ J).
Teorema. [Eilenberg]
A correspondência V −→ V define uma bijecção entre pseudovariedades de
monóides e ∗-variedades de linguagens.
Corolário.
Se J −→ J pela correspondência de Eilenberg então J é a ∗-variedade de
linguagens testáveis por pedaços (atrás denotada por PiTe).
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