aula_9 triângulos OK

EMBAP – ESCOLA DE MÚSICA E BELAS ARTES DO PARANÁ
DISCIPLINA DE DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA
Profª Eliane Dumke
e-mail: [email protected]
Aula 09 (material didático produzido por Paula Rigo)
Propriedades dos Triângulos
Congruência e Semelhança de Triângulos
Do latim - triangulu, é um polígono de três lados e três ângulos.
Os três ângulos (vértices) de um triângulo são designados por
três letras maiúsculas A, B e C e os lados opostos a eles, pelas
mesmas três letras, minúsculas a, b e c.
Elementos
Altura: É um segmento de reta traçado a partir de um vértice de
forma a encontrar o lado oposto ao vértice formando um ângulo
reto. BH é uma altura do triângulo.
Mediana (do latim - mediana) de um triângulo é o segmento de
reta que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Ceviana de um triângulo é o segmento de reta com um extremo
num vértice e o outro extremo na reta que contém o lado oposto.
Incentro de um triângulo é o ponto de encontro das três
bissetrizes do triângulo. É também o centro da circunferência
inscrita no triângulo.
Baricentro (do grego - baros "peso", do latim - centrum "centro de
gravidade") de um triângulo é também chamado de centro de
gravidade ou centróide. É o ponto de encontro das três medianas
de um triângulo. É também o ponto que divide cada mediana do
triângulo em duas partes: um terço a contar do lado e dois terços a
contar do vértice.
Circuncentro de um triângulo (de circun + centro) é o ponto de
encontro das mediatrizes dos lados do triângulo. O circuncentro
pode ser interno ou externo ao triângulo. É também o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo.
Ortocentro de um triângulo é o ponto de encontro das três alturas
do triângulo. O ortocentro pode ser interno ou externo ao triângulo.
Classificação pelos Ângulos
- A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre igual a 180 graus.
- Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a esse
ângulo externo.
Acutângulo é o triângulo que tem todos os ângulos
agudos.
Eqüiângulo é o triângulo que possui os seus três
ângulos congruentes. Um triângulo eqüiângulo
também é um triângulo eqüilátero.
Obtusângulo é o triângulo que possui um ângulo
obtuso.
Retângulo é o triângulo que possui um ângulo reto.
Veja a demonstração do teorema de Pitágoras.
Classificação pelos Lados
Eqüilátero é o triângulo que possui seus três lados
congruentes, ou seja, iguais. Um triângulo eqüilátero
também é um triângulo eqüiângulo
Escaleno é o triângulo que não possui os seus três
lados congruentes.
Isósceles é o triângulo que possui dois lados e os dois
ângulos adjacentes à base congruentes.
Triângulo inscrito em Triângulo
Órtico é um triângulo cujos vértices A'B'C' são os pontos
resultantes da interseção das alturas de um outro triângulo
ABC com suas respectivas bases (pés das alturas). Portanto
ele se encontra inscrito dentro de um outro triângulo.
Congruência entre Triângulos
Dois triângulos (ou de forma geral, duas figuras planas) são congruentes quando têm a mesma forma e as
mesmas dimensões, ou seja, o mesmo tamanho.
Já a semelhança entre triângulos aborda o conceito mais amplo, onde se têm triângulos com a mesma
forma, mas não necessariamente com o mesmo tamanho. Em outras palavras, congruência é um caso
particular de semelhança entre triângulos, no sentido de que se dois triângulos são congruentes,
necessariamente eles são semelhantes, mas o contrário não é verdadeiro.
Definição de Semelhança entre Triângulos
Dizemos que dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem seus três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos (homo = mesmo, logos = lugar) proporcionais.
Podemos, ainda, definir a semelhança entre triângulos através da frase: dois triângulos são semelhantes
se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro.
Propriedades
a) Reflexiva: Todo triângulo é semelhante a si próprio.
b) Simétrica: Se um triângulo é semelhante a um outro, este é semelhante ao primeiro.
c) Transitiva: Se um triângulo é semelhante a um segundo e este é semelhante a um terceiro, então o
primeiro é semelhante ao terceiro.
Teorema Fundamental
Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e
intercepta os outros dois em pontos distintos, então o
triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro.A
demonstração do Teorema Fundamental é feita a partir
do Teorema de Tales, que por sua vez pode ser
demonstrado a partir dos critérios de semelhança
definidos ao lado.
Se um feixe de retas paralelas tem duas transversais,
então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma é
igual à razão entre os segmentos correspondentes na
outra.
Demonstração do Teorema Fundamental:
A demonstração da congruência dos ângulos
dos triângulos ABC e ADE (figura ao lado)
decorre
do
fato
de
que
ângulos
correspondentes determinados por duas
paralelas são congruentes. Assim, o ângulo
B é congruente ao D e o ângulo C é
congruente ao E. Como o ângulo A é comum
aos dois triângulos concluímos a primeira
parte da demonstração.
Critérios de Semelhança de Triângulos
Critério AA => Ângulo-Ângulo: Se dois triângulos têm dois ângulos internos correspondentes congruentes,
então os triângulos são semelhantes.
Demonstração:
No caso dos dois triângulos serem congruentes, nada há a
demonstrar, pois por definição de congruência os triângulos
são necessariamente semelhantes.
Suponhamos, então, como indicado na figura, o triângulo ABC
maior que o triângulo DEF e construamos o triângulo AGH tal
que a medida do lado AG seja igual à medida do lado DE, o
ângulo G congruente ao ângulo E e H sobre o lado AC.
Além disso, como o ângulo A é congruente ao ângulo D, por hipótese, o triângulo AGH é congruente ao
triângulo DEF e, portanto semelhantes.
Por outro lado, pelo Teorema Fundamental, temos que o triângulo AGH é semelhante ao triângulo ABC, já
que o lado GH é paralelo ao lado BC. E, finalmente, como o triângulo ABC é semelhante ao triângulo AGH,
e AGH, por sua vez, é semelhante a DEF, concluímos, pela propriedade transitiva, que o triângulo ABC é
semelhante ao triângulo DEF.
Critério AAA => Ângulo-Ângulo-Ângulo: Se os ângulos de um triângulo forem respectivamente congruentes
aos ângulos correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são semelhantes.
Critério LAL => Lado-Ângulo-Lado: Se as medidas de dois dos lados de um triângulo são proporcionais
aos homólogos do outro triângulo e os ângulos determinados por estes lados são congruentes, então os
triângulos são semelhantes.
Critério LLL => Lado-Lado-Lado: Se as medidas dos lados de um triângulo são respectivamente
proporcionais às medidas dos lados correspondentes de outro triângulo, então os triângulos são
semelhantes.
Exercícios para a pasta
Exercício nº33 – Construir um triângulo escaleno de base 10 cm e ângulos adjacentes 75° e 45º
1. Sejam dados a base AB e os ângulos adjacentes à base.
2. Primeiro transporte o ângulo de 75° para o vérti ce A.
3. Em seguida, transporte o ângulo de 45° para o vé rtice B, encontrando assim o vértice C do triângulo.
Temos então o triângulo ABC.
Exercício nº34 – Construir um triângulo retângulo equivalente ao triângulo do exercício 4.
1. Seja a base AB a altura H do triângulo do exercício 5.
2. Levante por A uma perpendicular r à base AB.
3. Depois a partir de A, marque a altura H na reta r encontrando assim o vértice C.
4. Ligue B a C formando assim o triângulo ABC.
4
O triângulo ABC possui a mesma área que o triângulo do exercício 4. Ele possui a mesma área porque as
bases e as alturas são iguais e é um triângulo retângulo porque possui um ângulo reto CÂB.
Exercício nº35 – Construir um triângulo obtusângulo equivalente ao triângulo do exercício 4.
1. Seja a base AB e a altura do triângulo do exercício 5.
2. Levante por A uma reta r perpendicular à base AB.
3. Marque na reta r a altura H encontrando assim o ponto C.
4. Em seguida, trace por C uma reta s paralela à base do triângulo.
5. Marque um ponto C' qualquer na reta s e ligue-o ao vértice A.
6. Depois ligue C' ao vértice B.
O triângulo ABC' possui a mesma área que o triângulo do exercício 2 porque possui a mesma base e a
mesma altura. O triângulo ABC' é obtusângulo porque possui um ângulo obtuso.
Exercício nº36 – Encontrar o ortocentro, baricentro, incentro e circuncentro do triângulo do exercício 4.
BARICENTRO
1. Seja o triângulo ABC.
2. Ligue o vértice C ao ponto médio do lado oposto.
3. Depois ligue os outros dois vértices aos pontos
médios do lado oposto. Na interseção estará o
baricentro O1.
ORTOCENTRO
1. Seja o triângulo ABC.
2. Levante por A uma perpendicular ao lado BC.
3. Levante pelos outros vértices perpendiculares a
cada lado. Na interseção das perpendiculares
marque o ortocentro O.
INCENTRO
1. Seja o triângulo ABC.
2. Trace a bissetriz do ângulo CÂB (u).
3. Depois trace as bissetrizes dos outros dois
ângulos. Na interseção encontrarás o Incentro O2.
CIRCUNCENTRO
1. Seja o triângulo ABC.
2. Trace a mediatriz do lado BC.
3. Depois trace as mediatrizes dos outros lados. Na
interseção das mediatrizes estará o circuncentro
O3.
Exercício nº37 – Circunscrever e inscrever uma circunferência no triângulo do exercício 4.
1. Seja o triângulo ABC.
2. Trace as bissetrizes x, v e u.
3. Coloque o compasso na intersecção
das bissetrizes (O2) e trace a
circunferência inscrita.
4. Depois trace as mediatrizes de pelo
menos dois lados w e y. Coloque a
ponta seca do compasso na interseção
das mediatrizes O3 e com abertura até
um dos vértices do triângulo trace a
circunferência circunscrita.
Exercício nº38 – Encontrar o triângulo “órtico” do triângulo do exercício 4.
1. Seja o triângulo ABC.
2. Trace as alturas s, r e t, encontrando assim o
ortocentro.
3. Marque os pontos P, N, M na interseção das
alturas com os lados.
4. O triângulo órtico é formado pelos pontos PMN.
Exercício nº39 – Construir um triângulo ABC (escaleno) sendo dados b, Â, c (2,5; 30°; 4,5).
1. São dados o ângulo de 30°, o lado b=2,5cm e o la do c=4,5cm. Desenhe o lado AB.
2. Depois, coloque a ponta seca do compasso no vértice A, e com qualquer abertura trace um arco que
corte AB no ponto F. Coloque a ponta seca do compasso em F e com a mesma abertura corte o arco dado
construindo assim o ângulo de 60°. Construa a bisse triz do ângulo de 60° encontrando assim a reta r qu e
passa pelo lado do triângulo.
3. Depois, como a ponta seca do compasso em A e com abertura igual a 2,5cm trace um arco que corte a
reta r no ponto C.
c = 4.5 cm
b = 2.5 cm
2.5 cm
c = 4.5 cm
b = 2.5 cm
4. Ligue C com B.
2.5 cm
‘Exercício nº40 – Construir um triângulo ABC (retângulo e isósceles) sendo dado a altura igual a 3 cm.
1. Seja h a altura do triângulo retângulo
isósceles. Construa uma semi-reta Ar
horizontal e na sua extremidade A
levante uma perpendicular s.
2. Coloque a ponta seca do compasso
no vértice A e com abertura igual a 3 cm
trace um arco que corte as duas semiretas As e Ar. Marque o vértice B em As.
3. Marque o vértice C em Ar.
4. Temos então o triângulo ABC.
5. O triângulo ABC é retângulo
isósceles.
Exercício nº41 – Construir um triângulo ABC (eqüilátero) sendo dada a altura igual a 3 cm.
1. Seja a altura h do triângulo eqüilátero. Inicie traçando
uma semi-reta vertical Mr.
2. Em seguida, marque na semi-reta Mr a partir de M a
altura h dada, encontrando assim o vértice A do
triângulo.
3. Depois, coloque a ponta seca do compasso no
vértice A e com uma abertura qualquer trace um arco
que corte a semi-reta Mr. Depois, com a mesma
abertura no compasso, coloque a ponta seca onde o
primeiro arco cortar a semi-reta Mr e corte o arco
anterior em dois pontos.
4. Em seguida, trace as bissetrizes dos ângulos,
obtendo assim dois ângulos de 30°.
5. Agora, trace por M uma perpendicular à semi-reta
Mr, encontrando assim os pontos B e C.
6. Temos então, o triângulo eqüilátero ABC.
7. Triângulo eqüilátero ABC de altura h.
Exercício nº42 – Construir um triângulo ABC sendo dados a, b, ma (7,0; 5,0; 2,5).
1. Seja o lado a, lado b e mediana do lado a do triângulo ABC.
Trace o segmento BC (lado a).
2. Trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o ponto
Médio M.
3. Em seguida, trace um arco com centro em C e raio igual ao
lado b do triângulo.
4. Depois, coloque a ponta seca do compasso no ponto médio
de BC (M) e com abertura igual à medida da mediana do lado
a, trace um arco que corta o primeiro, encontrando o vértice A
do triângulo.
5. Ligue o vértice C ao vértice A. Depois ligue o vértice A ao
vértice B.
2.5 cm
Exercício nº43 – Construir um triângulo ABC sendo dados a, hb, ma (7,0; 5,0; 6,0).
1. Seja o lado a, a altura do lado b e a mediana do lado a. Desenhe
segmento BC (lado a).
2. Em seguida, trace a mediatriz do lado BC, encontrando assim o
ponto médio de BC.
3. Coloque a ponta seca do compasso no ponto médio de BC e com
abertura igual à metade de BC trace um arco de 180° (arco capaz
do ângulo de 90°). Depois coloque a ponta seca do c ompasso em B
e com abertura igual à hb trace um arco que corte o arco anterior.
4. Ligue os pontos B e C ao ponto onde o arco corta o anterior.
5. Depois, prolongue o cateto menor do triângulo. Coloque a ponta
seca do compasso no ponto médio de BC e com abertura igual à Ma
trace um arco que corta a reta que passa por C no ponto A.
6. Em seguida, ligue o ponto B ao ponto A.
Temos então o triângulo ABC de lados a e b e mediana ma.
Exercício nº44 – Construir um triângulo ABC sendo dados a, mb, mc (7,0; 6,0; 7,0).
1. Seja o lado a, a mediana do lado b e a mediana do lado c.
2. Desenhe o segmento BC (lado a) e depois divida a
mediana do lado b e a mediana do lado e em três partes
iguais.
3. Coloque a ponta seca do compasso no vértice B e com
abertura igual à 2/3 de mb trace um arco. Depois, coloque a
pontas eca no vértice C e com abertura igual à 2/3 de mc
trace outro arco.
4. Ligue os vértices B e C à interseção dos arcos e prolongue.
5. Marque no prolongamento de cada reta, a partir da
interseção 1/3 de mb e 1/3 de mc.
6. Ligue os vértices B e C à extremidades das medianas dos
lados e prolongue, encontrando assim o vértice A.
A interseção das medianas é o baricentro do triângulo.