AULA DIA 19-06-06 - Henrique Dantas Neder

AULA DIA 19-06-06
PROF. HENRIQUE D. NEDER
A DISTRIBUIÇAO BINOMIAL DE PROBABILIDADE
Suponhamos que um experimento consista de tentativas repetidas, cada uma
com dois possíveis resultados que podem ser vistos como sucesso ou fracasso. Uma
aplicação obvia na área de ciências sociais aplicadas refere-se a um experimento que se
refere a selecionar repetidas vezes um elemento de amostra de uma população que
contenha apenas duas categorias, por exemplo, pessoas que votarão em um determinado
candidato ou não. Consideremos que se a pessoa for votar no candidato teremos um
resultado de sucesso e se não for votar teremos um resultado de fracasso. Outro
exemplo seria um jogo de baralho em que extraímos repetidas vezes uma carta do
conjunto de 52 cartas. Neste caso poderemos considerar como sucesso o resultado ser
uma carta numérica e fracasso o resultado ser uma carta de figura. A um experimento
definido desta forma damos o nome de processo Bernoulli. Podemos também definir
uma variável aleatória que terá valor X = 1 se ocorrer sucesso e valor X = 0 se ocorrer
fracasso. Desta forma também podemos chamar tal variável de variável aleatória
Bernoulli. Cada tentativa do experimento é denominada tentativa Bernoulli.
Podemos observar que tanto no exemplo do candidato como no exemplo das
cartas se a pessoa selecionada da população de eleitores ou se a carta selecionada do
baralho não for reposta a probabilidade de um sucesso para as repetidas tentativas muda.
Suponhamos que a nossa população de eleitores tenha 1000 pessoas e dentro desta
população 300 votarão no candidato e 700 não votarão. Na primeira tentativa do
experimento (seleção da primeira pessoa) temos uma probabilidade de sucesso igual a
300 / 1000 = 0,3. Na segunda tentativa, se não for feita a reposição da primeira pessoa
na população de origem, teremos uma probabilidade de sucesso igual a 299/999 caso
tenha ocorrido sucesso na primeira tentativa e igual a 300/299 caso tenha ocorrido
fracasso na primeira tentativa. Fica mais complicado de ver o que ocorrerá na terceira
tentativa, pois o resultado irá depender do que ocorreu na primeira e na segunda
tentativas. Neste caso não teremos tentativas Bernoulli porque a probabilidade de
sucesso não se mantém constante no decorrer das tentativas seqüenciais.
Iremos definir um processo Bernoulli da forma como segue. Estritamente
falando, um processo Bernoulli dever ter as seguintes propriedades:
1) O experimento consiste de n tentativas repetidas.
2) Cada tentativa tem um resultado que pode ser classificado como um sucesso ou um
fracasso.
3) A probabilidade de sucesso, denotada por p, permanece constante de tentativa para
tentativa.
4) As tentativas repetidas são independentes.
Considere um conjunto de tentativas Bernoulli onde três itens são selecionados
aleatoriamente de um processo de fabricação. A seguir eles são inspecionados e
classificados como defeituosos ou não defeituosos. Um item defeituoso é designado
como um sucesso. O numero de sucesso é uma variável aleatória X com valores de 0 a
3. O espaço amostral destes experimento é definido por oito eventos:
S = {NNN, NDN, NND, DNN, NDD, DND, DDN, DDD}
Temos então a seguinte tabela de resultados para esta variável aleatória:
Resultado
X
NNN
0
NDN
1
NND
1
DNN
1
NDD
2
DND
2
DDN
2
DDD
3
Como os itens são selecionados independentemente de um processo que digamos,
produz 25 % de defeituosos, teremos, por exemplo:
3 1 3 9
 0,14
 .  .  
 4   4   4  64
P(NDN) = P(N).P(D).P(N) = 
Se não houvesse independência estatistica entre as tentativas Bernoulli e se tivéssemos
um lote de produção de 1000 pecas, teríamos o seguinte resultado:
P( NDN )  P( N1 ).P( D2 / N1 ).P( N 3 / N1  D2 ) 
750 250 749


 0,14086
1000 999 998
Como pode ser visto, existe uma pequena diferença no valor da probabilidade quando
calculamos considerando como tentativas Bernoulli (tentativas independentes e com
probabilidade de sucesso constante) e quando consideramos que as tentativas não são
independentes (neste ultimo caso não são tentativas Bernoulli).
Vamos agora calcular o valor das probabilidades para cada valor da variável aleatória X
(numero de sucessos). Para isto construímos a seguinte tabela de distribuição de
probabilidades:
x
f(x) = P(X=x)
0
27/64
1
27/64
2
9/64
3
1/64
A variável aleatória X que é definida como o numero de sucessos é chamada de variável
aleatória Binomial. A distribuição de probabilidade é chamada de distribuição binomial.
Podemos generalizar este resultado com a seguinte definição:
Distribuição binomial
Uma tentativa Bernoulli pode resultar em um sucesso com probabilidade p e com
fracasso com probabilidade q = 1- p. Então a distribuição de probabilidade de uma
variável aleatória binomial X, o numero de sucessos em n tentativas independentes, é
n
b( x; n, p)    p x q n x , x = 0,1,2,...,n.
 x