Márcio Ricardo Alves

Encontrando uma Conjugação
Gregório Luı́s Dalle Vedove Nosaki,
Márcio Ricardo Alves Gouveia,
Depto de Matemática, Estatı́stica e Computação, DMEC, UNESP,
19060-900, Presidente Prudente, SP
E-mail: greg [email protected]
[email protected]
Palavras-chave: Sistemas Dinâmicos, Dinâmica Unidimensional, Conjugação, Função Unimodal
Resumo: Neste trabalho apresentaremos um método para esboçar uma boa aproximação do
gráfico de uma conjugação entre duas funções unimodais. Para isso as funções em questão devem possuir a propriedade de que suas n-ésimas iteradas sejam funções 2n−1 modais.
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Introdução
Uma função f : I → I, sendo I um intervalo da reta, é topologicamente conjugada a uma função
g : J → J, com J um intervalo da reta, se existe um homeomorfismo h : I → J tal que
h ◦ f = g ◦ h.
Não existem regras para se encontrar um homeomorfismo h satisfazendo a condição acima,
mas podemos esboçar o gráfico de tal homeomorfismo pelo método de correspondencia de zeros
no caso de funções unimodais com wiggly iteradas.
Uma função f é considerada unimodal ou de uma corcova no intervalo [a, c] se ela é contı́nua
e estritamente crescente de f (a) = 0 até f (b) = 1, e estritamente decrescente até f (c) = 0.
Sendo f n a n-ésima iterada de f , ou seja,
f n = f ◦ f ◦ f ◦ ... ◦ f
|
{z
}
n vezes
podemos definir o que são wiggly iteradas, ou seja, uma função f possui wiggly iteradas se f n
é uma função 2n−1 -modal (ou com 2n−1 corcovas), para todo n ≥ 1, e o comprimento da maior
base destas corcovas tende a zero quando n tende a infinito.
Com o objetivo de obtermos o homeomorfismo h apresentaremos um método que nos ajuda
a encontrar tal homeomorfismo com uma boa aproximação (via limite uniforme de funções).
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Método de Correspondência de zeros
Esse método consiste em descrever uma função afim por partes que é formada pela correspondencia dos zeros de f e g na sua n-ésima iterada, já que ambas possuem o mesmo número de
zeros (l = 2n−1 + 1).
O método segue os seguintes passos:
passo 1: Escolha um n ∈ N e plote os gráficos de f n e g n ;
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passo 2: Marque os zeros z1 < z2 < ... < zl de f n e os zeros w1 < w2 < ... < wl de g n ;
passo 3: Plote os pontos (zi , wi ) para 1 ≥ i ≥ l;
passo 4: Ligue esse pontos por segmentos de reta gerando uma função afim por partes hn .
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Função Tenda e Função logı́stica
Como exemplo da aplicação do método esboçaremos o gráfico da conjugação h entre as funções
tenda, representada por f : [0, 1] → [0, 1], f (x) = 1 − |2x − 1|, e logı́stica, representada por
g : [0, 1] → [0, 1], g(x) = 4x(1 − x).
Estamos interessados num homeomorfismo h : [0, 1] → [0, 1] que seja a conjugação entre f e
g. Para isso iremos utilizar o método de correspondencia de zeros. Afim de ilustrar o método
seguem os gráficos da aplicação direta dele nos casos em que n = 1, n = 2 e n = 3.
Referências
[1] J. Banks, V. Dragan, A. Jones. “Chaos: A mathematical Introduction”, New York: Cambridge University Press, 2003.
[2] R. L. Devaney, “A first course in chaotic dynamical systems :theory and experiment ”,
Addison-Wesley, 1992.
[3] R. L. Devaney, “An Introduction to Chaotic Dynamical Sys- tems”, Second Ediction,
Addison-Wesley, Menlo Park Cali- fornia, 1989.
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