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Ingredientes para caos
Giovana Aparecida Bertolucci, Márcio Ricardo Alves Gouveia, Campus de São José do Rio Preto,
Instituto de Biociências, Letras e Ciências Exatas, matemática, [email protected], Fapesp.
Palavras Chave: dependência sensível, transitividade, pontos periódicos densos.
Introdução
dependência sensível em todo seu domínio com
constante de sensibilidade igual a ½.
Neste trabalho, estudaremos os fatores que levam
uma aplicação, do intervalo [0,1] nele mesmo, a
possuir comportamento caótico.
Lema 2 (wiggly implica transitividade). Se
f:[0,1]→[0,1] tem iteradas wiggly, então f é transitiva.
Objetivos
Entender como o fato de uma aplicação possuir
certas propriedades torna seu comportamento
imprevisível.
Material e Métodos
Os materiais utilizados para o desenvolvimento
deste trabalho foram livros científicos e a
metodologia empregada foi a pesquisa individual,
com a apresentação de seminários semanais sob
supervisão do professor orientador.
Resultados e Discussão
Discutiremos como o fato de uma aplicação possuir
a propriedade descrita na Definição 2 faz com que
ela seja caótica, isto é, possua os ingredientes
apresentados na Definição 1.
Definição 1. Seja V um intervalo. Dizemos que
f:V→V é caótica em V se:
i.
f tem dependência sensível com relação às
condições iniciais, ou seja, se para todo
x∈V e para algum δ>0 vale a seguinte
condição: para cada intervalo I aberto em V
n
contendo x, existe y∈I e n∈ℕ tal que |f (x) –
n
f (y)|≥δ.
ii.
f é transitiva: para todo par de subintervalos
n
I e J de V existe n∈ℕ tal que f (I)∩J≠ Ø.
iii.
os pontos periódicos de f são densos em V:
todo intervalo I⊆V contém um ponto
periódico de f.
Definição 2. Uma aplicação f tem iteradas wiggly
se:
n
n-1
i.
f é uma aplicação de 2 corcovas para
cada n≥1, e
n
ii.
O comprimento da maior base de f tende a
0 quando n tende ao infinito.
Lema 3 (wiggly implica conjunto de pontos
periódicos densos). Se f:[0,1]→[0,1] possui
iteradas wiggly, então o conjunto de todos os pontos
periódicos de f é um conjunto denso em [0,1].
E finalmente, concluiremos que ter iteradas wiggly
é um fator determinante para que uma aplicação se
comporte de forma imprevisível, mostrando que é
válido o seguinte resultado:
Teorema 1 (wiggly implica em Caos). Se
f:[0,1]→[0,1] tem iteradas wiggly, então f é caótica
em [0,1].
Para exemplificar, usaremos a aplicação logística
Q:[0,1]→[0,1], dada por Q(x)=4x(1-x), a qual temos
representado na Figura 1 abaixo seu gráfico e o
gráfico de algumas de suas iteradas.
Figura 1: Gráfico da aplicação Q(x), e de suas
2
3
4
iteradas Q (x), Q (x) e Q (x).
Conclusões
Feitas as demonstrações, poderemos entender a
importância do fato de uma aplicação possuir
iteradas wiggly para o seu comportamento dinâmico,
ou seja, como o fato de ter iteradas deste tipo a
torna caótica.
Agradecimentos
A bolsista agradece
financeiro.
____________________
1
Em seguida, provaremos os seguintes resultados:
Lema 1 (wiggly implica sensibilidade). Se
f:[0,1]→[0,1]
tem iteradas wiggly, então f tem
XXVI Congresso de Iniciação Científica
à
Fapesp pelo apoio
Banks, J.; Dragan, V.; Jones, A.Chaos A Mathematical Introduction,
Cambridge University Press, 2003.
2
Devaney, R. L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems:
Second Edition, Addison-Wesley, Menlo Park California, 1989.