Relaç˜ao de exerc´ıcios - 3: Aplicaç˜oes da derivada 1. Para as

Matemática para Economia I
Aplicações da derivada
Curso 2015
Relação de exercı́cios - 3: Aplicações da derivada
1. Para as seguintes funções, faça um esboço do gráfico de f, determinando:
i) os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente,
ii) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo e onde tem
concavidade voltada para cima,
iii) os pontos de máximos e mı́nimos relativos e os pontos de inflexão do gráfico de f.
(a) f (x) = x3 + 6x2 + 9x
(d) f (x) = x3 + 3x2 − 2
(b) f (x) = x3 − 3x + 2
(e) f (x) = x3 − 3x2
(c) f (x) = 1 + 3x2 − x3
(f) f (x) = x3
2. Nas funções embaixo, determine, se existirem:
i) os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente;
ii) os intervalos onde o gráfico de f tem concavidade voltada para baixo e onde tem
concavidade voltada para cima;
iii) os pontos de máximos e mı́nimos relativos e os pontos de inflexão do gráfico de f ;
iv) as equações das assı́ntotas verticais e das assı́ntotas horizontais.
Faça um esboço do gráfico de f .
−4
x−2
x+1
(b) f (x) =
x−2
1
(c) f (x) =
1−x
4
x−2
x
(e) f (x) =
(x + 1)2
2x
(f) f (x) = 2
x +1
(d) f (x) =
(a) f (x) =
3. O lucro obtido com a produção e venda de x unidades de certa mercadoria é dado pela
função L(x) = −0,02x2 + 140x − 300. Determine o valor de x que maximiza o lucro.
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4. A função receita de um produto é R(x) = 6x − x2 . Ache o valor de x que maximiza a
2
receita.
5. O custo total da fabricação de x unidades de um produto é dado por C(x) = 4x2 − 240x +
9.000. Determine o valor de x que resulta no custo mı́nimo.
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6. A função custo de uma firma que produz e vende x unidades de um produto é dada por
C(x) = x3 − 6x2 + 13x + 15 e a função receita é R(x) = 28x. Ache o valor de x que
maximiza o lucro.
7. C(x) = 0,001x2 + 0,02x + 500 é o custo de fabricação de x unidades de um produto e cada
unidade é vendida por R$8,00. Determine o número de unidades que maximiza o lucro.
8. Ache a quantidade x que maximiza o lucro, sabendo que a receita e o custo são, respectivamente, R(x) = 5x − 0,003x2 e C(x) = 1,1x + 300 com 0 < x ≤ 1.000.
9. O custo por unidade de produção também é importante na Economia. Essa função é
chamada de custo médio e sua derivada é o custo médio marginal. Se C(x) é o custo total
C(x)
associado à produção de x unidades de um produto, o custo médio é CM (x) =
.
x
2
Sabendo que C(x) = 2x − 15x + 3.200 é o custo de fabricação de x unidades de um
produto, determine o valor de x que resulta no custo médio mı́nimo.
10. As funções custo e receita de x unidades de um produto são em reais, respectivamente,
C(x) = 10 + 2x e R(x) = 50x − 0,1x2 . Determine o lucro máximo.
11. A função de demanda para um produto é dada por p(x) = 4 − 0,0002x onde p é o preço
unitário em reais e x é a quantidade demandada. O custo total da produção de x unidades
é dado pela função C(x) = 600 + 3x. Determine o número de unidades que maximiza o
lucro e o preço unitário correspondente.
12. A função de demanda de certo produto é dada por q(p) = −6p+780 onde q é a quantidade
demandada e p o preço unitário. Escreva a receita como função de p e determine o preço
que resulta na receita máxima.
13. As funções custo e receita de uma fábrica que produz e vende x unidades de um produto
são, respectivamente, C(x) = −x2 + 80x + 75 e R(x) = −3x2 + 200x com 0 ≤ x ≤ 40.
Determine o valor de x que maximiza o lucro e o lucro máximo correspondente.
14. Uma fábrica produz estantes a um custo de R$80,00 a unidade. Estima-se que se as
estantes forem vendidas por x reais a unidade, aproximadamente 100 − x unidades serão
vendidas por mês. Escreva o lucro mensal como uma função do preço de venda x e ache
o preço ótimo de venda.
15. As funções custo e receita de x unidades de um produto são em reais, respectivamente,
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C(x) = x2 + 4x + 200 e R(x) = 49x − x2 . Determine o valor de x que maximiza o lucro.
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16. Suponha que o lucro de um fabricante de rádios seja dado por L(x) = 400(15 − x)(x − 2)
onde x é o preço unitário pelo qual os rádios são vendidos. Encontre o preço de venda
que maximiza o lucro.
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