Exercício - Funções: 1º e 2º graus - ICEB-UFOP

RESUMO - GRÁFICOS
Função do Primeiro Grau - f (x) = ax + b
O gráfico de uma função do 1o grau, y = ax + b, é uma reta.
O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e está ligado à inclinação da reta
em relação ao eixo Ox.
• a > 0: reta crescente.
• a < 0: reta decrescente. • a = 0: reta constante.
O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a.0 + b = b.
Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.
As raı́zes da função são os valores de x para os quais a função se anula, ou seja, os valore onde
y = 0. No caso da função do primeiro grau, basta resolver a equação ax + b = 0
Vamos construir o gráfico da função y = 3x − 1:
Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los:
• Para x = −1, temos y = 3.(−1) − 1 = −3 − 1 = −4; um ponto é (−1, −4).
• Para x = 1, temos y = 3.1 − 1 = 3 − 1 = 2; outro ponto é (1, 2).
Marcamos os pontos (−1, −4) e (1, 2) no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.
A raiz da equação é x =
1
e a reta corta o eixo Oy em y = −1.
3
Função do Segundo Grau - f (x) = ax2 + bx + c
O gráfico de uma função do 2o grau, y = ax2 + bx + c, com a 6= 0, é uma parábola.
O coeficiente de x2 , a, está relacionado com a concavidade da parábola.
• a > 0: côncava para cima.
• a < 0: côncava para baixo.
Para determinar as raı́zes da função do segundo grau resolvemos a equação ax2 + bx + c = 0.
√
−b ± ∆
2
∆ = b − 4ac
x=
2a
O vértice da parabóla é determinado pelo par ordenado (xv , yv ) dado por
xv =
−b
−∆
e yv =
2a
4a
O termo constante, c, é a ordenada do ponto em que a parábola corta o eixo Oy. Para x = 0,
temos y = a.02 + b.0 + c = c.
Vamos construir o gráfico da função y = x2 − x − 6.
Como a = 1 temos que a parábola tem concavidade voltada para cima.
As raı́zes são x = −2 e x = 3:
∆ = (−1)2 − 4.1.(−6) = 1 + 24 = 25 e x =
O vétice da parábola é V =
1 25
,−
2
4
xv =
−(−1) ±
2.1
√

 0 1−5
25
1 ± 5  x = 2 = −2
=
=
1+5

2
 x00 =
=3
2
1
−(−1)
=
2.1
2
e yv =
−25
25
=−
4.1
4
Marcamos as raı́zes e o vértice da parábola no sistema e traçamos de forma a obter a parábola
côncava para cima e que corta o eixo Oy em -6.
Função do tipo - f (x) = xn
Temos dois casos a analisar.
• n é ı́mpar.
• Se n é par
√
Função do tipo - f (x) = ± ax + b
√
Se f (x) = ax + b temos que a função assume
√ apenas valores de y ≥ 0, neste caso o gráfico
sempre está acima do eixo Ox. Se f (x) = − ax + b, neste caso, os valores que a função assume
são sempre de y ≤ 0, ou seja, o gráfico sempre está abaixo do eixo Ox.
O valor de a determina a concavidade do gráfico.
√
Considerando f (x) = ax + b:
• Se a > 0.
• a < 0.
√
Considerando f (x) = − ax + b:
• Se a > 0.
• a < 0.
Para determinar a raı́z basta resolver a equação
√
ax + b = 0, ou seja, ax + b = 0.
O valor de b determina onde o gráfico corta o√eixo Oy, quando este existe. Caso a interseção
exista, o gráfico corta o eixo Oy no ponto (0, b).
Exercı́cio - I

 a>0
a<0
Escolha três funções do primeiro grau f (x) = ax + b

a=0
Para cada uma delas faça o que se pede:
1. Representar o gráfico.
2. Determinar o domı́nio e a imagem.
3. Estudar o sinal da função.
4. Analisar o crescimento e decrescimento.
5. Verificar algebricamente e graficamente as desigualdades:
(a) f (x) > −1
(b) f (x) ≤ 2
6. Determinar a equação da inversa da função, e esboçar seu gráfico.
7. Esboçar o gráfico de |f (x)|.
Exercı́cio - II
Sejam a e b e c os três últimos dı́gitos do seu número de
matrı́cula. Considere as seguintes
2 !
2 !
c
−
1
b
+
1
e g(x) = (5 − a) x2 +
funções do segundo grau f (x) = (a − 5) x2 −
3
2
Para cada uma delas faça o que se pede:
1. Representar o gráfico.
2. Determinar o domı́nio e a imagem.
3. Estudar o sinal da função.
4. Analisar o crescimento e decrescimento.
5. Verificar graficamente as desigualdades:
(a) f (x) > −1 e g(x) > −1
(b) f (x) ≤ 2 e g(x) ≤ 2
6. Determinar a equação da inversa da função no maior intervalo possı́vel, e esboçar seu
gráfico.
7. Esboçar o gráfico de |f (x)| e |g(x)|.