concepções de erro nas ciências e no ensino fundamental

CONCEPÇÕES DE ERRO: NAS CIÊNCIAS E NO ENSINO FUNDAMENTAL DE
MATEMÁTICA
RESUMO
Profa. Dra. Neuza Bertoni Pinto
*
O presente estudo objetiva discutir as concepções de erro presentes no ideário dos
professores de Matemática do Ensino Fundamental. Partindo da idéia de Bachelard (
1993) que na trajetória das ciências o erro é considerado não só um elemento útil
como também necessário ao avanço científico e também considerando o lugar nobre
dado ao erro pela abordagem psicogenética de Jean Piaget, o estudo focaliza os
conceitos de obstáculo epistemológico de Bachelard e de obstáculo didático de
Brousseau como construtos relevantes para a compreensão de
uma nova
concepção de erro no processo de ensino e aprendizagem da Matemática. Se a
visão de erro revestido de uma série de mitos, preconceitos, originária de uma
“pedagogia do exame” ainda permanece viva na cultura escolar o estudo mostra que
uma nova compreensão do erro também vai se tornando presente nas práticas
pedagógicas de Matemática dos professores da Rede de Ensino do Estado do
Paraná, o que pode ser constatado pelas imagens elaboradas pelos docentes em
relação ao erro de matemática As representações dos docentes acerca do erro
revelam a permanência de duas concepções de erro com predominância das idéias
construtivas que consideram o erro um elemento natural do processo de construção
do conhecimento. Mais que uma resposta acabada, o erro é percebido pela maioria
dos docentes pesquisados, como um desafio que o aluno coloca ao professor, uma
possibilidade de conhecimento e reflexão das singularidades da experiência
matemática vivenciada pelo do aluno no seu processo de aprendizagem.
Palavras-chave : educação matemática, erro, obstáculo epistemológico, obstáculo
didático.
Considerado um dos elementos mais antigos e arraigados no processo de
ensino e aprendizagem, o erro tem se apresentado na disciplina de Matemática com
diferentes concepções. Por ser uma disciplina onde é sempre possível decidir entre
o verdadeiro e o falso, a Matemática é considerada um lugar privilegiado para o
estudo dos procedimentos errôneos dos alunos.
Basta relembrar o percurso que fizemos nessa disciplina para nos defrontar
com uma prática tradicional de lidar com o erro, considerado sempre como algo que
não deveria ter ocorrido. Herdamos dessa “ Pedagogia do Exame” ( Luckesi, 1987)
uma imagem negativa do erro, o erro como castigo, não como virtude, percebido,
portanto, como fracasso, algo que causava sentimentos negativos, tanto no aluno
como no professor, motivo pelo qual era sempre imediatamente anulado, apagado e
*
Professora do Curso de Pedagogia e do Programa de Mestrado em Educação da Pontifícia Universidade
Católica do Paraná. E-mail: [email protected]
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substituído por uma resposta correta. O erro configura-se, nessa pedagogia, como
“um vírus que precisa ser eliminado” ( De La Torre, 1994). Nela, o aluno é visto
alguém que cometeu uma falta e precisa ser sancionado, nem que seja por uma
perda de pontos na avaliação. Nessa concepção, o erro não devia ser mostrado,
sem dúvida, para evitar riscos de contágio. No quadro, não deveriam ser escritas
senão coisas corretas, a atitude mais comum diante do erro era eliminá-lo antes
mesmo de compreender sua origem e analisar sua natureza. Um traço forte dessa
herança cultural é a carga moralizante que revestia o erro em sua função
modelizadora de homem ideal Considerado fraco o aluno que cometia inúmeros
erros, a atitude de culpabilização do aluno pelo erro cometido, estimulava práticas
corretivas autoritárias com implicações na auto-estima do aluno, ao estimular
sentimentos de rejeição, fracasso e incapacidade para aprender, com sérios danos
para sua aprendizagem.
Nos estudos de análises de erros que temos realizado, as práticas avaliativas,
expressam nas tradicionais correções de provas de Matemática, a incisiva
“cruxificação” dos erros, aliada à síndrome da tinta vermelha, como bem lembrou
Astolfi (1997, p.11) referindo-se à forma utilizada pela escola para materializar e
chamar a atenção para a falha cometida pelo aluno. Em suas práticas de corrigir
erros de Matemática, essas marcas transformaram-se em clichês da avaliação da
aprendizagem escolar. Ainda presentes na cultura escolar, tais práticas têm
favorecido a manutenção de uma avaliação classificatória, centrada no produto, que
muito tem comprometido a função da escola revelando-se prejudiciais à
escolarização do aluno, ao reforçar preconceitos e mitos, principalmente em relação
à aprendizagem de Matemática.
Uma pesquisa realizada em 1987, em turmas correspondentes às nossas
4as. e 5as séries do ensino fundamental, mostrou que essa maneira de considerar
os erros dos alunos ainda predominava em escolas da França. Os pesquisadores,
após terem observado mais de 100 seqüências de matemática constataram que :
a) os erros quase sempre eram considerados como parasitas que era preciso
corrigir rapidamente substituindo por respostas certas;
b) os alunos eram freqüentemente solicitados, principalmente para dar a
resposta certa e o professor se encarregava de comentar essa resposta ou de
fornecer algumas explicações, mas que na maioria das vezes eram em torno da
resposta correta, sem explicação complementar.
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c) raramente os erros eram analisados, decompostos e considerados como
um suporte possível de uma aprendizagem significativa;
d) a pesquisa concluiu que a resposta era mais importante para o professor
do que o processo que conduzia à ela. A maioria dos professores observados
simplesmente buscavam substituir uma resposta incorreta por uma correta;
e) felizmente, a pesquisa também mostrou que boa parte dos professores,
apesar de pequena, trabalhava com o erro a partir de uma nova concepção,
conforme o diálogo que mantinham com os alunos na hora da correção e nas
observações construtivas que colocavam ao lado do erro produzido pelo aluno.
O erro na história das ciências
Se procurarmos pelo erro , na história das ciências, deparamo-nos com outra
concepção. Na ciência, espaço da produção de novos conhecimentos, o erro tem um
lugar privilegiado. Bachelard afirmou isso já em 1938, quando publicou pela primeira
vez sua clássica obra: “A formação do espírito científico” dizendo que a ciência, ao
buscar “a superação da experiência primeira passou por momentos de estagnação e
mesmo de regressão” ( 1996, p. 29). Negando a existência de verdades primeiras e
concordando com a dos erros primeiros, mostrou que o conhecimento científico não
progride sozinho, nem mesmo, principalmente, de maneira linear, por acumulação
progressiva de conhecimentos novos, acrescentados aos já existentes. Em alguns
momentos decisivos, a ciência até mesmo volta a questionar os conhecimentos
anteriores, reconhecendo seus erros. “Conhecemos contra um conhecimento
anterior, destruindo conhecimentos mal feitos, superando aquilo, que no próprio
espírito, tornou-se obstáculo à sua espiritualização ( Bachelard, 1996, p.18).
Nos estudos que realizou sobre a construção histórica dos conhecimentos
científicos, Bachelard mostrou que não só alguns erros poderiam tornar-se úteis
como poderiam ser mesmo necessários à aprendizagem. É preciso distinguir,
segundo ele, entre os erros que não são mais que “ distração de um espírito
cansado” e do “erro positivo”, ou seja, um erro útil para quem ensina e quem
aprende um determinado conteúdo.
A matemática, como todas as ciências, não se constituiu, portanto, de forma
linear. Ela também passou por altos e baixos, viveu aquilo que Bachelard denominou
de “obstáculos epistemológicos” ( 1996, p. 17). Encontrou muitos desafios pela
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frente, obstáculos relevantes da história da matemática, como por exemplo, a noção
de infinito: como um conjunto limitado, como um segmento, pode conter uma
infinidade de pontos? A noção de irracional das geometrias não euclidianas, objetos
matemáticos que provocaram acirrados debates entre os matemáticos. Para
conceber corretamente essas noções foi necessário primeiro o reconhecimento
desses obstáculos para depois poder ultrapassá-los. Por isso, não é inútil
recorrermos à história da matemática para ensinar determinados conteúdos, por
exemplo, é importante saber que os decimais foram “ inventados” no Ocidente
somente no século XVI, por Stevin, bem depois dos “números fracionários”, já
utilizados pelos antigos egípcios como números quebrados.
O erro na aprendizagem escolar : obstáculos epistemológicos e
didáticos
Na aprendizagem da matemática escolar, muitos erros são devidos às
dificuldades próprias de alguns conteúdos e também das concepções iniciais dos
alunos, de suas representações espontâneas ou de representações construídas em
aprendizagens anteriores.
Em relação aos obstáculos epistemológicos Brousseau (1986) diz que o
domínio de um novo saber supõe uma ruptura com os conhecimentos e com o
saber-fazer que tiveram êxito em outros contextos. Por exemplo, os erros de
números decimais dependem dessa interpretação. De fato, o aluno aprende que
todo número tem um seguinte, e que entre dois números consecutivos não podemos
intercalar nada. Esses “ teoremas” os alunos aprenderam no conjunto dos naturais,
no entanto, os utilizam também no campo dos racionais. Então, para aprender bem
os números racionais, é preciso rejeitar essa idéia de “ números consecutivos”. A
questão de ordem didática que surge é quais situações deveríamos propor aos
alunos para que possam questionar essa propriedade que até então estava correta?
Segundo Piaget (1997) o aprendiz passa por fases de equilíbrio e desiquilíbrio
em seu processo de aprendizagem. Esse processo é natural quando se busca uma
solução ótima para um problema, segundo as condições que dispõe em
determinadas situações. Ainda segundo Piaget , o erro é indicador da lógica infantil
e expressa as contradições entre os esquemas de assimilação e a realidade. Nesse
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sentido, ele não ocorre por acaso mas contém teorias implícitas ( teorias em ação)
no processo de conhecimento.
A partir dos trabalhos dos autores citados, o erro é colocado no centro do
conhecimento. Ele passa a ter um lugar nobre no processo de conhecer. No entanto,
as
pesquisa
educacionais,
especialmente,
na
Educação
Matemática,
só
recentemente começaram a investigar o papel do erro no ensino e na aprendizagem.
Para Brousseau ( 1986), o erro e o fracasso não têm um papel simplificado como
muitos querem lhe dar. O erro não é somente o resultado da ignorância, da
incerteza, do azar, como tem sido colocado pelas teorias behavioristas de
aprendizagem mas o resultado de um conhecimento construído segundo
uma
determinada concepção, um determinado sentido. Para esse autor, alguns erros
produzidos pelos alunos em Matemática nos surpreendem por serem originários dos
modos de ensinar ou reforçados por eles. Muitos deles são devidos às estratégias
de aprendizagem que utilizamos que criam ou reforçam os erros dos alunos. É o que
Brousseau ( 1986) chama de “obstáculo didático”. Inúmeras pesquisas têm mostrado
que a maioria dos erros com números decimais são originários desse obstáculo.
Para o aluno, um número decimal é um número natural escrito de forma diferente,
com vírgula. Quando vai operar com esses números ele faz o que Bouvier chamou
de “teorema do aluno”, ao comparar dois decimais , compara sucessivamente a
parte inteira e a parte decimal, isto é, o que vem antes e depois da vírgula,
separadamente.
Outros erros, segundo Brousseau, são originários do contrato didático, ou
seja, o conjunto das expectativas implícitas que regem o funcionamento da classe,
as relações entre professor, aluno e saber : o que é permitido, o que se espera , o
que é realmente o professor pede para o aluno fazer. Por exemplo, no problema: “
Numa classe há 12 meninas e 13 meninos. Qual é a idade da professora? “ A
resposta da maioria dos alunos foi: 25 anos. Os alunos interiorizaram que quando a
professora lhes propõe um problema, eles devem colocar uma resposta.
Interiorizaram também que é necessário responder com um número ( a matemática
é feita de números !) após terem feito várias operações. Nesse caso, é preciso
decifrar a lógica do aluno e não da criança que errou. Uma lógica que é
institucionalizada por ele, com as regras implícitas no contrato didático vigente. No
caso foi isso que originou o erro. É que o erro, quando considerado pela escola
como um fenômeno anormal, como uma falta, quando ele é objeto de sanção, o
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aluno buscará escapatórias, ou não responde a questão, ou inventa saídas (
automatismos) “não importa os quais” como diz Stela Baruk ( 1985
) uma
pesquisadora francesa que retratou o horror e o medo que a criança vai adquirindo
pela matemática por conta da opressora cultura avaliativa construída pela escola.
Segundo a autora, a escola comete uma violência na forma como avalia os erros
matemáticos dos alunos. “Essa violência está oculta nos cadernos, aparece também
fixada nos quadros-negros, nas cópias riscadas de vermelho, nos julgamentos feitos
a milhares de crianças perfeitamente aptas a fazer matemática e injustamente
acusadas de serem incapazes” ( Pinto, 2000, p. 31). Se, ao contrário, o aluno tem o
sentimento que em suas produções os erros são compreendidos e seu modo de
pensar é considerado e trabalhado, ele irá centrar-se com mais prazer nas tarefas e
talvez menos naquilo sobre o que acredita que esperamos dele.
As representações de erro segundo os professores de Matemática
Criar uma nova cultura de avaliação, mais formativa e menos classificatória
requer uma nova concepção de erro. Buscando conhecer as representações de um
grupo de 30 ( trinta ) professores de Matemática que atuam no Ensino Fundamental
do Estado do Paraná, recolhemos pequena amostra das representações que
apresentaram sobre as idéias acerca do erro em Matemática. Solicitados a desenhar
a idéia que possuíam sobre o erro os professores não somente apresentaram
curiosas imagens mas também forneceram os respectivos significados dos
desenhos, conforme quadro a seguir :
Professor(a)
Figura
Significado
P1
Fantasma
Sou o erro, diz o fantasma .
P2
Lágrimas
O erro me decepciona, me frustra.
P3
Tristeza
O erro me deixa triste .
P4
Paisagem ( Vida )
O erro faz parte de minha vida.
P5
Mancha negra
O erro é angustiante, dá medo, impotência.
P6
Nuvem escura
O erro é escuridão.
P7
Ponte
O erro é a ponte que conduz ao acerto.
P8
Nuvens e sol
O sol (acertos) nos traz benefícios mas é
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preciso afastar as núvens ( erros).
P9
Escalada
Os erros são desafios que nos fazem crescer.
P10
Buraco negro
Lugar
de
preconceitos
que
destroem
pessoas.
P11
Bomba
É destruição se não levar ao acerto.
P12
Lâmpada
O erro é um “insight”: clareia o que era difícil.
P13
Barreira
É necessário transpô-la.
P14
Metade da figura
O erro é um pedaço da verdade.
P15
Sarcasmo
Todos riem dos que erram.
P16
Montanha
Conquista de conhecimentos.
P17
Declives
Momentos de erros = reflexão/análise
P18
Encruzilhada
Indica vários caminhos.
P19
Cruz
Representa a morte e a redenção.
P20
Grade
O erro é condenação.
P21
Xis
Anulação do raciocínio.
P22
Interrogação
Questionar o erro nos leva a aprender.
P23
Forca
Significa que estamos perdidos.
P24
Pedras no caminho
Colocar e tirar pedras do caminho.
P25
Monstro
Que devo evitar a qualquer custo.
P26
Caminho
A estrada do conhecimento é feita de erros
P27
Sorriso
Sorria: aprendemos com o erro.
P28
Pessoa chorando
O erro é frustração, incapacidade.
P29
Questão
A dúvida é inerente ao conhecimento
P30
Bota/criança
O erro é humilhação /opressão.
Das representações coletadas, 14 ( 47 %) expressam uma concepção de erro
como algo impregnado da idéia de culpa, castigo, opressão e forte elemento de
baixa auto estima. Provavelmente, no imaginário desses professores essas idéias
foram construídas a partir de uma visão de matemática como uma ciência difícil,
rigorosa, difícil de aprender e de ensinar, modos de tratar o erro que expõe a
incapacidade do aluno, sua falta de “dom” para aprender essa ciência. Também,
fruto de uma compreensão da aprendizagem como um processo linear onde a
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resposta é mais importante que a atividade que lhe dá origem. Imagens que
concordam com a pesquisa de Baruk sobre o horror, medo, preconceitos e opressão
que ainda perpassam o ensino da Matemática.
Observa-se no quadro que 53 % dos participantes ( a maioria) tem uma
imagem mais construtiva do erro, pode se dizer até mais otimista, ao desenhar
figuras que colocam o erro como elemento integrante do processo de aprender o
que revela a presença de uma nova concepção de erro, o erro como elemento
natural do processo de conhecimento, erro sem preconceitos tal qual encontramos
nos estudos científicos das ciências e na epistemologia genética de Piaget. São
imagens construtivas de vida, de desafios, de questionamento, de novas
perspectivas e caminhos, que nos remetem à idéia de erro necessário e positivo,
segundo Bachelard. Imagens que nos revelam a presença de uma concepção
progressista de erro entre os professores que trabalham com os alunos nas Salas de
Apoio, projeto pioneiro da Secretaria de Educação do Estado do Paraná e voltado
para a valorização e respeito do processo de aprender do aluno.
As duas concepções de erros, presentes no imaginário dos professores de
Matemática que participaram da pesquisa, estão bem delineadas na poesia de uma
das integrantes da oficina1(Luiza) que ao apontar as duas faces do erro, constrói
mostra uma visão dialética do erro que supera a proibição de errar e afirma a
possibilidade de aprender com o erro.
Se errar é proibido, como posso aprender?
Se errando é que aprendo
E ao errar eu sou punido
Ainda menos eu entendo
Vou ficando inibido
O meu erro não desvendo
Mantenho-o sempre escondido
E escondendo não aprendo
Mas também não sou punido
Sigo em frente não sabendo
Me fingindo de entendido
E na escola vou sobrevivendo
1
. Formação Continuada de Professores que trabalham no Projeto Sala de Apoio da Secretaria Estadual de
Educação do Estado do Paraná realizado no 1° semestre de 2005 em Curitiba.
2083
Num universo desconhecido.
Uma consideração final do estudo é que felizmente a escola contemporânea
vai assumindo um novo olhar para o erro do aluno e os professores vão sendo
desafiados a criar novas estratégias de trabalho para o processo de aprendizagem.
Assim, vai sendo escrita uma nova história da cultura escolar que ao acolher melhor
o aluno que erra , utiliza uma pedagogia diferenciada para melhor compreender os
processos e dificuldades de aprender e aprender bem matemática. Porque aprender
não é somente saber mais, é também saber de outro modo. Assumir uma nova
concepção de erro é antes de tudo olhar o aluno que erra e buscar situações
diferenciadas de ensino que possam levá-lo a ultrapassar o erro com compreensão,
sem medo e sem culpa. Entendemos que essa nova atitude diante do erro requer
mais que abnegação, requer um novo profissionalismo para cuidar das cicatrizes da
aprendizagem.
Referências
Astolfi, J.P. L’ erreur, um outil pour enseigner. Paris; ESF editéur, 1997.
Collection Pratiques & enjeux pédagogiques.
Bachelard, G. A formação do espírito científico : contribuição para uma
psicanálise do conhecimento. Rio de Janeiro: Contraponto, 1996.
Baruk, S . L’âge du capitaine. De l´erreur em mathématiques. Paris: Seuil,
1985.
Brousseau, G. Fondements et méthodes de la didactque dês mathématiques.
In: Recherches em didacique dês mathématiques. Paris: Université de
Paris VII, Equipe Didirem, 1986, vol. 7, n° 2, pp. 33-115.
De La Torre, S. ( org.) Errores y curriculum – Tratamiento didáctico de los
errores em la enseñanza . Barcelona: PPU, 1994.
Luckesi, C.C. Avaliação da aprendizagen escolar. São Paulo: Cortez, 1995.
Piaget, J. Seis estudos de Psicologia. 22ª. ed. Rio de Janeiro: Forense
Universitária, 1997.
Pinto, N.B. O erro como estratégia didática : estudo do erro no ensino da
matemática elementar. Campinas/SP: Papirus, 2000.