AAF Prof. Cláudio Serra Matemática Aula 04 1

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Prof. Cláudio Serra
Matemática
Aula 04
Lógica Formal – Aspectos Introdutórios
Resumo Teórico
Proposição
oda proposição é uma frase mas nem toda frase é uma proposição; uma frase é uma proposição apenas quando admite um
dos dois valores lógicos: Falso (F)ou Verdadeiro (V). Exemplos:
1.
2.
Frases que não são proposições
o Pare!
o Quer uma xícara de café?
o Eu não estou bem certo se esta cor me agrada
Frases que são proposições
o A lua é o único satélite do planeta terra (V)
o A cidade de Salvador é a capital do estado do Amazonas (F)
o O numero 712 é ímpar (F)
o Raiz quadrada de dois é um número irracional (V)
Composição de Proposições
É possível construir proposições a partir de proposições já existentes. Este processo é conhecido por Composição de
Proposições. Suponha que tenhamos duas proposições,
1.
2.
A = "Maria tem 23 anos"
B = "Maria é menor"
Pela legislação corrente de um país fictício, uma pessoa é considerada de menor idade caso tenha menos que 18 anos, o
que faz com que a proposição B seja F, na interpretação da proposição A ser V. Vamos a alguns exemplos:
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11.
12.
"Maria não tem 23 anos" (nãoA)
"Maria não é menor"(não(B))
"Maria tem 23 anos" e "Maria é menor" (A e B)
"Maria tem 23 anos" ou "Maria é menor" (A ou B)
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)
"Maria não tem 23 anos" ou "Maria é menor" (não(A) ou B)
"Maria tem 23 anos" ou "Maria não é menor" (A ou não(B))
"Maria tem 23 anos" e "Maria não é menor" (A e não(B))
Se "Maria tem 23 anos" então "Maria é menor" (A => B)
Se "Maria não tem 23 anos" então "Maria é menor" (não(A) => B)
"Maria não tem 23 anos" e "Maria é menor" (não(A) e B)
"Maria tem 18 anos" é equivalente a "Maria não é menor" (C <=> não(B))
Note que, para compor proposições usou-se os símbolos não (negação), e (conjunção), ou (disjunção), => (implicação)
e, finalmente, <=> (equivalência). São os chamados conectivos lógicos. Note, também, que usou-se um símbolo para
representar uma proposição: C representa a proposição Maria tem 18 anos. Assim, não(B) representa Maria não é menor,
uma vez que B representa Maria é menor.
Algumas Leis Fundamentais
Lei
do
Excluido
Meio
Lei da Contradição
Lei
Funcionalidade
Um proposição é falsa (F) ou verdadeira (V): não há meio termo.
Uma proposição não pode ser, simultaneamente, V e F.
da O valor lógico (V ou F) de uma proposição composta é unicamente determinada pelos valores lógicos
de suas proposições constituintes.
Tabela-Verdade
A tabela-verdade, como se sabe, é um instrumento eficiente para a especificação de uma composição de proposições.
Abaixo segue a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados,
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Negação
A ~(A), ou -A, ou /A, ou ainda, A'
F V
V F
Conjunção
Disjunção Implicação Equivalência
A B
A . B, ou AB A + B
A => B
A <=> B
F F F
F
V
V
F V F
V
V
F
V F F
V
F
F
V V V
V
V
V
Alguns destaques das tabelas-verdade tratadas:
•
•
•
•
A negação, como o próprio nome diz, nega a proposição que tem como argumento. Tem como símbolo o acento
"~" , ~A,ou, algumas vezes, uma barra sobre a variavel lógica, Ã, ou o sinal "-", -A, ou o símbolo "/", /A, ou ainda, o
sinal "'", A'. Lembre-se que o símbolo nada mais é que uma simples representação da negação. O que é relevante
é que o significado do símbolo seja explicitamente declarado. Aqui, os símbolos mais usados para a negação são o
.
sinal "'", e barra por sobre a variável lógica,
O símbolo mais utilizado para a conjunção, em Eletrônica Digital, é o ponto ".".
O símbolo mais utilizado para a disjunção, em Eletrônica Digital, é o sinal "+".
A única função da implicação lógica (A => B, onde A é o antecedente e B é o conseqüente) é afirmar o
conseqüente no caso do antecedente ser verdadeiro. Segundo Quine, a única maneira de se negar a implicação
lógica como um todo é quando isto não ocorre, isto é, tem-se o antecedente (A) V e o consequente (B) é F. Apenas
neste caso, a implicação (A => B) é F. Em todos os outros casos é V.
A equivalência sempre é V quando os dois argumentos possuem o mesmo valor lógico (seja, este valor, V ou F).
ARGUMENTO
Chama-se argumento toda afirmação de que uma dada seqüência finita de proposições P1 , P2 , P3 ..... Pn (premissas) tem
como conseqüência uma proposição final Q (conclusão).
A notação é a seguinte :
P1 , P2 , P3 , ......Pn α Q
Todo argumento que consiste em duas premissas e uma conclusão denomina-se silogismo.
Após a construção da tabela verdade adequada, verifica-se as linhas nas quais os valores lógicos das premissas são todos
V.
Se, em todas essas linhas, o valor lógico da conclusão também for V, o argumento é dito válido.
Caso em contrário, esse argumento será não válido, denominado, também, de sofisma.
QUESTÕES ASSOCIADAS
AOS TEMAS
QUESTÃO 01
É correto o raciocínio lógico dado pela seqüência de proposições seguintes:
Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.
Ela conseguiu um emprego.
Portanto, Célia tem um bom currículo.
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QUESTÃO 02
Considerando que uma argumentação é correta quando, partindo-se de proposições
presumidamente verdadeiras, se chega a conclusões também verdadeiras, julgue o
próximo item.
Suponha-se que as seguintes proposições sejam verdadeiras.
I Todo brasileiro é artista.
II Joaquim é um artista.
Nessa situação, se a conclusão for “Joaquim é brasileiro”, então a argumentação é correta.
As figuras utilizadas nas seqüências lógicas I e II
mostradas abaixo são obtidas a partir do sombreamento total
ou parcial, do movimento e da justaposição de quadrados de
lados x e y e de retângulos de lados x e y, conforme ilustrado
acima.
Em cada seqüência lógica, para se descobrir a figura que deve
ser colocada no lugar do ponto-de-interrogação, é necessário
determinar a lógica de formação da seqüência, observando-se as suas linhas e(ou) colunas.
Com base nas informações acima, julgue os itens seguintes.
QUESTÃO 03
Na seqüência lógica I, a figura que substitui o ponto-de-interrogação é a mostrada a seguir.
QUESTÃO 04
A área da figura que substitui o ponto-de-interrogação na seqüência lógica II é igual a xy +
x2.
QUESTÃO 05
Considere as seguintes frases.
I Todos os empregados da PETROBRAS são ricos.
II Os cariocas são alegres.
III Marcelo é empregado da PETROBRAS.
IV Nenhum indivíduo alegre é rico.
Admitindo que as quatro frases acima sejam verdadeiras e considerando suas implicações, julgue os itens que se seguem.
1. Nenhum indivíduo rico é alegre, mas os cariocas, apesar de não serem ricos, são alegres.
2. Marcelo não é carioca, mas é um indivíduo rico.
3. Existe pelo menos um empregado da PETROBRAS que é carioca.
4. Alguns cariocas são ricos, são empregados da PETROBRAS e são alegres.
QUESTÃO 06
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Se amanhã for feriado, então hoje José irá viajar. Ora, amanhã não será feriado. Então pode-se afirmar que:
a) José não viajará hoje.
b) José viajará hoje.
c) É possível que José viaje hoje.
d) José somente viaja em véspera de feriado.
e) José nunca viaja no feriado.
QUESTÃO 07
Considere que as afirmativas “Se Mara acertou na loteria então ela ficou rica” e “Mara não
acertou na loteria” sejam ambas proposições verdadeiras. Simbolizando adequadamente
essas proposições pode-se garantir que a proposição “Ela não ficou rica” é também
verdadeira.
QUESTÃO 08
Considere que a proposição “Sílvia ama Joaquim ou Sílvia ama Tadeu” seja verdadeira.
Então pode-se garantir que a proposição “Sílvia ama Tadeu” é verdadeira
QUESTÃO 09
As proposições A → B e (¬B) → (¬A) têm a mesma tabela verdade.
QUESTÃO 10
Considere que as letras P, Q, R e S representam proposições e que os símbolos
são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não,
e e ou respectivamente.
Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode
ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.
Considerando que P, Q, R e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes.
¬,∧e∨
QUESTÃO 11
Pedro, candidato ao cargo de
Escrivão de Polícia Federal, necessitando adquirir livros para se preparar para o
concurso, utilizou um site de busca da Internet e pesquisou em uma livraria virtual,
especializada nas áreas de direito, administração e economia, que vende livros
nacionais e importados.
Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais.
Além disso, não há livro nacional disponível de capa dura.
Com base nas informações acima, é possível que Pedro, em sua pesquisa, tenha
a.encontrado um livro de administração de capa dura.
b. adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível.
c. selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura.
d. comprado um livro importado de direito de capa flexível.
QUESTÃO 12
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O diagrama apresentado acima é percorrido de cima para baixo, seguindo-se as setas. As
instruções escritas nos retângulos são atribuições, ou seja, o valor calculado na expressão
à direita é atribuído à variável da esquerda do símbolo :=. A instrução escrita no losango é
uma condição para se prosseguir na direção da seta V (verdadeiro) ou da seta F (falso).
Com base nessas informações, julgue os itens a seguir.
a. Se X = 1, então o valor de Z será igual a 3.
b. Se X =
5 , então o valor de Z será igual a
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