Vetores - PET Engenharias

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.2
Vetores
Gustavo Henrique Miron Batista - Engenharia Civil
Definição
O que é um vetor?
Um vetor é um segmento de reta orientado, que
representa uma grandeza vetorial e contém três
informações : Módulo, direção e sentido.
•
Módulo: Valor numérico mais unidade de medida,
representada pelo comprimento do segmento;
•
Direção: Dada pela inclinação da reta do segmento
em referência a uma reta vertical ou horizontal.
•
Sentido: É a orientação, numa mesma direção
podemos ter dois sentidos possíveis. Por exemplo,
numa direção horizontal temos os sentidos: da
esquerda para a direita e da direita para a esquerda.
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Grandezas
• Grandeza Escalar: É aquela que para sua perfeita
determinação necessitamos de um número e de uma
unidade de medida. Ex: Área, Tempo, Massa,
Temperatura, etc...
• Grandeza Vetorial: É aquela que só fica
completamente determinada por um número, uma
unidade de medida, uma direção e um sentido. Ex:
Força, Velocidade, Deslocamento, etc...
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Situação Problema
Considere a seguinte situação: o piloto de um barco a motor
atravessa um rio com correnteza mantendo a proa do barco
na direção vertical no sentido de baixo para cima. Saindo do
ponto P ele atinge o ponto X na margem oposta, por que isso
acontece ?
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Operações Vetoriais
Para descrever esse tipo de movimento, necessita-se de
operações vetoriais, que serão desenvolvidas com base na
definição matemática de um vetor.
Operações Vetoriais :
• Adição de vetores;
• Subtração de vetores;
• Decomposição de vetores;
• Multiplicação de um vetor por um escalar.
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Adição Vetorial
• Regra do polígono
Consiste em transportamos “a” e “b” de modo que a origem
de um coincide com a extremidade do outro, sem modificar
seus módulos, direção e sentidos. Ligamos a origem de “a”
com a extremidade de “b”. O vetor “a + b” assim obtido é o
vetor soma de “a” + “b”.
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Adição Vetorial
• Regra do Paralelogramo
Nesse método transportamos “a” e “b” de modo que suas
origens coincidem, sem modificar seus módulos, direções e
sentidos. Pela extremidade de cada vetor traça-se uma reta
paralela ao outro, obtendo-se um paralelogramo. O vetor
soma “S” corresponde à diagonal desse paralelogramo, com
origem na origem comum de “a” e “b” .
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Adição Vetorial
• Nessa regra, sendo α o ângulo formado entre as
direções de “a” e “b”, o módulo do vetor soma “S” é
dado por:
S² = a² + b² + 2. a. b. cosα
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Subtração Vetorial
Para efetuar a diferença entre dois vetores “a” e
“b”, pode-se usar qualquer uma das regras
descristas anteriormente, levando-se em conta que:
S = a – b = a + (-b)
Ou seja, a diferença entre dois vetores é operada
coma a soma do primeiro com o vetor oposto do
segundo.
Obs: “-b” é o oposto de “b” (vetor com o mesmo módulo,
mesma direção e sentido oposto ao de “b”).
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Multiplicação de um vetor por um escalar
Consideramos um número real K ≠ 0 e um vetor “a” ≠
0. O produto de K por “a” é um vetor “w” cujas
características são :
•ImI=IKIxIaI
• A direção de “w” é a mesma de “a”.
• Se K > 0, “w” tem o mesmo sentido de “a”; se K < 0, “w”
tem sentido oposto ao de “a”.
Observações:
Se K = 0 ou “a” = 0, o produto deles é o vetor nulo.
Se K = -1, o produto deles será o oposto de “a”.
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Vamos praticar...
Na figura, representamos dois vetores a e b de
mesma origem e módulo 14 u e 16u
respectivamente. Qual é o modulo do vetor soma de
a com b ?
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Decomposição Vetorial
A decomposição vetorial é o processo inverso da
adição de dois vetores ortogonais, ou seja,
perpendiculares entre si.
Na adição de dois vetores ortogonais, temos:
S
b
a
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Decomposição Vetorial
Vamos efetuar o processo inverso dessa adição, ou seja, do
vetor soma encontraremos os vetores ortogonais:
y
y
Sy
S
S
α
α
x
x
Sx
Aplicando as relações trigonométricas do triangulo
retângulo:
Cos α = Sx/S → Sx = Cos α. S
Sen α = Sy/S → Sy = Sen α. S
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Vamos praticar...
Decomponha a força P :
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Vetor Velocidade
• Vetor velocidade média (Vm)
Considere, nas trajetórias a seguir, o ponto de partida (P1) e o
de chegada (P2) de um móvel.
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Vetor Velocidade
Nos esquemas anteriores :
• ∆s representa o deslocamento escalar, medido com base na
trajetória do móvel desde o espaço de partida até o de
chegada. Assim, a velocidade escalar média é dada por:
Vm = ∆s/ ∆t
• d representa o deslocamento vetorial, medido pelo vetor
que “une” o ponto de partida ao ponto de chegada. Dessa
maneira:
Intensidade : Vm = IdI/ ∆t
Velocidade vetorial média
Direção : a mesma de d
Sentido : o mesmo de d
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Vetor Velocidade
• Vetor velocidade instantânea (v)
Em relação à velocidade vetorial instantânea (v) considere um móvel
descrevendo uma trajetória curva. Em cada ponto da trajetória a velocidade
vetorial é representada por um vetor, conforme mostra o esquema a seguir:
Em cada ponto, o vetor velocidade é sempre tangente a trajetória e obedece
as seguintes condições:
v
Intensidade: A mesma da velocidade escalar instantânea
Direção : tangente a trajetória
Sentido : o mesmo do movimento
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Vetor Acaleração
A aceleração vetorial instantânea (a), que é a
aceleração vetorial em cada ponto da trajetória, é
representada por um vetor que pode formar um
ângulo qualquer entre 0º e 180º com o vetor
velocidade.
α
a
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Vetor Aceleração
O vetor aceleração vetorial pode ser decomposto
em dois componentes, são eles:
• Vetor aceleração tangencial (at)
• Vetor aceleração centrípeta (ac)
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Vetor Aceleração
• Aceleração Tangencial : A existência dessa
aceleração significa que o módulo do vetor
velocidade é variável. Portanto, a aceleração
tangencial existe nos movimentos variados, mas não
nos movimentos uniformes.
O vetor aceleração tangencial obedece as seguintes
condições:
Intensidade : coincide com o módulo da velocidade escalar
at
Direção : a mesma do vetor velocidade
Sentido : o mesmo de v nos movimentos acelerados e contrário
ao de v nos movimentos retardados
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Vetor Aceleração
• Aceleração Centrípeta : A existência dessa
aceleração significa que a direção do vetor
velocidade é variável. Portanto a aceleração
centrípeta existe nos movimentos curvilíneos, mas
não existe nos movimentos retilíneos.
O vetor aceleração centrípeta obedece as seguintes
condições :
ac
Intensidade : ac = v²/r (em que r é o raio da trajetória curvilínea)
Direção : radial (coincide com o raio da trajetória)
Sentido : dirigida para o centro da curva
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Características dos Movimentos
• Movimento retilíneo e uniforme
v
at = 0
a=0
Módulo : constante
v
ac = 0
Direção : constante
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Características dos Movimentos
• Movimento retilíneo uniformemente acelerado
v
at
at ≠ 0
a = at
Módulo : aumenta
v
ac = 0
Direção : constante
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Características dos Movimentos
• Movimento retilíneo uniformemente retardado
at
v
at ≠ 0
a = at
Módulo : diminui
v
ac = 0
Direção : constante
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Características dos Movimentos
• Movimento circular e uniforme
v
ac
ac ≠ 0
a = ac
Módulo : constante
v
at = 0
Direção : varia
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Características dos Movimentos
• Movimento circular uniformemente acelerado
v at
ac
a
ac ≠ 0
a² = ac² + at²
Módulo : aumenta
v
at ≠ 0
Direção : varia
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Características dos Movimentos
• Movimento circular uniformemente retardado
at
v
ac
a
ac ≠ 0
a² = ac² + at²
Módulo : diminui
v
at ≠ 0
Direção : varia
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Vamos praticar...
28
Vamos praticar...
2.
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