Centros Completamente Simétricos - IME

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Centros Completamente Simétricos
Marcos Leandro Mendes Carvalho ([email protected])
Orientador: João Carlos da Rocha Medrado ([email protected])
III Bienal da SBM - IME/UFG - 2006
Resumo
O retrato de fase de um campo vetorial é completamente simétrico
se ele é invariante com respeito a um grupo formado por quatro involuções. Um exemplo simples é o centro local definido pelo germe de
um campo vetorial analı́tico com aproximação linear não degenerada.
Pelo Teorema de Poincaré-Lyapunov este centro é difeomorfo ao centro
definido pelo campo vetorial
ẋ = y
ẏ = −x
(1)
E conseqüentemente ele é completamente simétrico. Neste trabalho
foi dada uma classificação de centros completamente simétricos, por
germes de campos vetoriais com aproximação linear não degenerada,
nilpotente e por germes com 2-jatos nulo e 3-jatos genérico.
Objetivo
Preliminares
Pn
Definição 1 Seja a 1-forma ω = i=1 aidxi e I(ω) é o ideal gerado por a1, a2, ..., an. Dizemos que 0 ∈ Rn é um ponto singular
algebricamente isolado de ω se Λ0X (n)/I(ω) é um espaço vetorial
de dimensão finita sobre R.
Definição 2 Um difeomorfismo local é uma involução se
ψ : (Rn, 0) −→ (Rn, 0)
Segue que, dentre os campos lineares não degenerados a sela, o nó com
autovalores distintos, nó diagonalizável com autovalores iguais, assim
como o centro são completamente simétricos.
Como conseqüência dos casos acima, na categoria C ∞ o retrato de fase
de um campo vetorial X no plano com aproximação linear X(x) = Ax
no ponto singular 0 ∈ R2 é completamente simétrico desde que os
autovalores de A sejam reais, distintos e não ressonantes.
O mesmo é verdade para categoria C ω desde que não possua pequenos
denominadores, pois se possuı́sse, não seria possı́vel obter convergência
das séries normalizadoras.
Teorema 2 Na categoria C ω qualquer centro não degenerado é
completamente simétrico e difeomorfo ao centro dado pelo campo
vetorial
X(x, y) = (y, −x) .
É natural questionar se todo campo completamente simétrico é difeomorfo a um campo vetorial não degenerado, porém pelos exemplos
abaixo vemos que isto não é verdade.
Exemplo 1 Seja a famı́lia de campos vetoriais Hamiltonianos
nilpotentes definidos por
∂H ∂H
X(x, y) =
,−
, H(x, y) = y 2 + x2m,
m ∈ N, m ≥ 2.
∂y
∂x
(4)
Pelo Lema 1 o campo vetorial (4) é {φ, ϕ}−reversı́vel de onde
concluı́mos que X define um centro completamente simétrico.
Exemplo 2 Seja X o campo vetorial definido por
X(x, y) = (λ + µ)x2y + y 3, −x3 + λxy 2 , µ > −2.
(5)
Pelo Lema 1 este campo vetorial é {φ, ϕ}-reversı́vel e portanto é
completamente simétrico.
tal que ψ ◦ ψ = Id.
Reduções
É fácil ver que
φ : (x, y) −→ (−x, y),
ϕ : (x, y) −→ (x, −y).
(2)
são involuções.
Definição 3 Um campo vetorial X em (Rn, 0) é ψ-reversı́vel se
ψ(p)∗X(p) = −X(ψ(p)),
p ∈ (Rn, 0)
onde ψ é uma involução. X é reversı́vel se ele é ψ-reversı́vel
para alguma involução ψ e o conjunto S =Fix(ψ) é uma variedade k-dimensional de Rn. Se X é reversı́vel com respeito as involuções ψ1, ψ2, . . . , ψl , l ∈ N ∗, diremos que X é {ψ1, ψ2, . . . , ψl }–
reversı́vel.
Lema 1 Sejam X um campo vetorial no plano na categoria C ∞ ou
C ω (real analı́tica) e as involuções φ e ϕ definidas por (4). X é
{φ, ϕ}−reversı́vel se, e somente se, este tem a forma
X(x, y) = yZ1(x2, y 2), xZ2(x2, y 2) .
(3)
Centros Completamente Simétricos
No que se segue todos os elementos são germes em 0 ∈ R2 nas
categorias C ∞ ou C ω (real analı́tica).
Definição 4 Um retrato de fase é dito simétrico com respeito a
uma involução ψ se a imagem de toda órbita, por meio de ψ,
também é uma órbita deste retrato de fase.
Definição 5 Um retrato de fase é dito completamente simétrico
se este é simétrico com respeito a um grupo consistindo de quatro
involuções, incluindo a identidade.
Teorema 1 Qualquer grupo finito G 6= {Id} de involuções no
plano consiste de duas involuções Id, ψ, onde ψ é uma involução
qualquer diferente da identidade, ou de quatro involuções comutativas. No último caso, existe um sistema de coordenadas locais
x̃ = (x, y) tal que G = {Id, φ, ϕ, φϕ}, onde φ e ϕ são definidas em
(6).
Proposição 1 Seja um campo vetorial X tendo como ponto singular algebricamente isolado 0 ∈ R2 e o retrato de fases de X é um
centro completamente simétrico, então X é orbitalmente equivalente a um campo vetorial reversı́vel
X(x, y) = yZ1(x2, y 2), xZ2(x2, y 2) .
(6)
Definição 6 Dado um campo vetorial da forma (6) diremos que o
campo
Z(z1, z2) = (Z1(z1, z2), Z2(z1, z2)) .
(7)
definido em uma vizinhança total da origem do plano R2(z1, z2) é
o campo associado correspondente a (6).
Proposição 2 Sejam X e X̃ campos da forma (6), e sejam Z e
Z̃ os correspondentes campos vetoriais associados. Assuma que Z
e Z̃ são orbitalmente equivalentes via o difeomorfismo local
Ψ : (z1, z2) → (z1Ψ1(z1, z2), z2Ψ2(z1, z2)),
Ψ1(0) = Ψ2(0) = 1,
Classificação da tripla consistindo de um campo vetorial
e duas curvas transversais
Seja γ uma curva regular definida pela equação f (z1, z2) = 0 de tal
forma que f (0) = 0 e df (0) 6= 0.
Definição 7 A ordem de tangência de um campo Z em R2(z1, z2)
e uma curva regular γ = {f (z1, z2) = 0} é a dimensão do espaço
vetorial R[[z1, z2]]/(f, Z(f )), onde R[[z1, z2]] é o anel de todas as
séries formais, Z(f ) é a derivada de Lie ao longo do campo Z,
e (f, Z(f )) é o ideal gerado pelas séries formais das funções f e
Z(f ).
Teorema 3 Seja Z um campo vetorial transversal ao eixo z1 e
tendo ordem de tangência m com o eixo z2. Então existe um
difeomorfismo local com aproximação linear sendo a identidade que
preserva os eixos z1 e z2 e leva Z na forma
a menos da multiplicação por uma função não nula.
Conclusões
Teorema 5 Todo centro completamente simétrico definido por um
campo vetorial com uma aproximação linear nilpotente no ponto
singular algebricamente isolado 0 ∈ R2 é difeomorfo ao centro
definido pelo campo Hamiltoniano:
∂H ∂H
,−
,
H(x, y) = y 2 + x2m,
m ≥ 2.
X(x, y) =
∂y
∂x
Teorema 6 Assumamos que F é um centro completamente
simétrico definido pelo campo vetorial X com 2-jato nulo no ponto
singular algebricamente isolado 0 ∈ R2. Então existe uma mudança de coordenadas tal que o 3-jato de X tem a forma
j 3X(x, y) = a11x2y + a12y 3, a21x3 + a22xy 2 .
(9)
Se a12, a21 6= 0 e a dupla de autovalores da matriz A = (aij ) são
não ressonantes, então na categoria C ∞ o retrato de fase F é
difeomorfo ao retrato de fase definido por um campo vetorial da
forma
X̃(x, y) = (λ + µ)x2y + y 3, −x3 + λxy 2 ,
µ > −2.
O mesmo é verdade para campos na categoria C ω desde de que não
possua pequenos denominadores.
Referências
[1] Teixeira, M. A. and Yang, J., The center-focus problem and reversibility, J. Differential Equations 174(2001), No. 1, 237-251.
[2] Teixeira, M. A., Local reversibility and applications, Proceedings
of conference ”Real and complex singularities”, São Carlos, 1998,251265.
[3] Zhitomirskii, Michail - Completely Symmetric Centers, Qualitative theory of dynamical systems 5,327-342(2004).
[4] Zhitomirskii, Michail - Local normal forms for constrained systems on 2-manifolds, Bol. Soc. brasil Mat. (N.S.) 24(1993),No. 2,
211-232.
(8)
isto é, via um difeomorfismo local preservando os eixos z1 e z2
e tendo como aproximação linear a identidade. Então os campos
vetoriais X e X̃ são orbitalmente equivalentes.
∂
∂
m
a
+ bz1
,
∂z1
∂z2
Teorema 4 Sejam γ1 e γ2 curvas regulares transversais no plano.
Seja Z um campo de vetores anulando-se em 0 e tendo possibilidade
minimal de ordem 1 de tangência com as curvas γ1 e γ2. Sejam
as retas l1 e l2 as aproximações lineares de γ1 e γ2. Então existe
um difeomorfismo local com aproximação linear sendo a identidade
preservando o campo vetorial Z a menos da multiplicação par uma
função não nula e levando γ1, γ2 em l1, l2 respectivamente.
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