uesc departamento de ciências exatas e tecnol´ogicas

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET
GEOMETRIA ANALÍTICA
ASSUNTO: COORDENADAS NA RETA E NO PLANO
1. Sejam a < b respectivamente as coordenadas dos pontos A e B sobre o eixo E. Determine as
coordenadas dos pontos X1 , · · · , Xn−1 que dividem o segmento AB em n partes iguais.
2. Sejam a < x < b respectivamente as coordenadas dos pontos A, X e B do eixo E. Diz-se que o ponto
X divide o segmento AB em média e extrema razão (divisão áurea) quando se tem
d(A,X)
d(A,B)
=
d(X,B)
d(A,X) .
Supondo que X divide o segmento AB em média e extrema razão, calcule x em função de a e b.
3. Se o ponto O é a origem do eixo E e A é o ponto desse eixo que tem coordenada igual a 1, qual é
a coordenada do ponto X que divide o segmento OA em média e extrema razão? No exercı́cio 2,
calcule a razão áurea
d(A,X)
d(A,B) .
′
4. Os pontos A, B e X sobre o eixo E têm coordenadas a, b e x respectivamente. Se X é o simétrico
′′
′
de X em relação ao ponto A e X é o simétrico de X em relação a B, quais as coordenadas de X
′
′′
eX ?
5. Dados os pontos A, B no eixo E, defina a distância orientada δ(A, B) entre eles pondo δ(A, B) =
d(A, B) se A está à esquerda de B e δ(A, B) = −d(A, B) se A está à direita de B. Prove que, para
quaisquer pontos A, B e C do eixo E, tem-se δ(A, B) + δ(B, C) + δ(C, A) = 0.
6. Sejam a < b < c respectivamente a coordenadas dos pontos A, B e C situados sobre um eixo.
Sabendo que a = 17, c = 32 e
d(A,B)
d(A,C)
= 32 , qual é o valor de b?
7. Qual seria a reposta do exercı́cio anterior se soubéssemos apenas que a < c?
8. Sejam A, B, C, D pontos distintos nessa ordem sobre um eixo E. Esboce os gráficos das funções
ϕ, f , g: → R, dadas por:
ϕ(X) = d(X, A) + d(X, B),
f (X) = d(X, A) + d(X, B) + d(X, C)
g(X) = d(X, A) + d(X, B) + d(X, C) + d(X, D).
′
9. Diz- se que o ponto A é o simétrico do ponto A em relação à reta r quando é a mediatriz do
′
segmento AA . Sabendo que A = (x, y), determine os simétricos de A em relação aos eixos OX e
OY respectivamente.
1
10. O conjunto r, formado pelos pontos (x, 5), cujas ordenadas são iguais a 5, é uma reta paralela ao
eixo OX. Determine o simétrico do ponto P = (3, −2) em relação à reta r.
′
11. Enuncie e responda uma questão análoga à do exercı́cio anterior, com a reta r = {(a, y); y ∈ R},
paralela ao eixo OY , e o ponto P = (c, d).
12. Dados A = (x, y) com x 6= y, observe que os pontos B = (x, x), C = (y, x) e D = (y, y) formam,
juntamente com A, os vértices de um quadrado de lados paralelos aos eixos. A partir daı́ determine
o simétrico de A relativamente à diagonal ∆ = {(x, x); x ∈ R}.
13. Com argumento análogo ao do exercı́cio anterior, determine o simétrico do ponto A = (x, y) em
relação à diagonal ∆ = {(x, −x); x ∈ R}.
′
14. Qual é o ponto da diagonal ∆ mais próximo de P = (x, y)? E da diagonal ∆ ?
(Use as coordenadas do ponto médio de um segmento.)
15. A = (2, 3), B = (3, 5) e C = (4, 6) são colineares?
16. Dados os pontos A = (2, 5), B = (3, 2) e C = (−1, 3) achar as equações das retas r, paralela a AB
passando por C, E s, perpendicular a AB também passando por C.
17. Qual é a equação da paralela à reta y = −2x + 5 passando pelo ponto P = (1, 1)?
18. Ache a equação da perpendicular à reta y = 3x − 1 baixada do ponto Q = (2, 2).
19. Sejam A = (1, 2) e B = (−3, −4). Qual é o ponto de abcissa 5 sobre a reta perpendicular a AB
passando pelo ponto C = (5, 6)?
20. Seja A = (3, 1). Ache B tal que o triângulo OAB seja equilátero.
′
′
21. As retas y = ax + b e y = a x + b são perpendiculares e contém o ponto (x0 , y0 ). Conhecendo a e
′
′
b, determine a e b .
22. Os lados de um triângulo estão sobre as retas y = 2x + 1, y = 3x − 2 e y = 1 − x. Ache os vértices
desse triângulo.
Bibliografia
1.LIMA, Elon Lages. Geometria Analı́tica e Álgebra Linear. Coleção Matemática Universitária. SBM.
Esta lista foi elaborada e confeccionada pela P rof a Cláudia Ribeiro Santana (UESCDCET).
2
RESPOSTAS
1. Seja n ∈ N − {0};
X0 ↔ a
X1 ↔ a +
..
.
(b−a)
n
Xk ↔ a + k (b−a)
para 0 < k < n
n
..
.
Xn ↔ b
2. x =
√
−(b−3a)+ 5(b−a)
.
2
3. x =
√
−1+ 5 d(O,X)
; d(O,A)
2
4. a =
x+x
2
b=
′
′′
=
√
−1+ 5
.
2
′
⇔ x = 2a − x.
′
x +x
2
′′
′
⇔ x = 2b − x .
5. Use a definição dada.
6. b = 27
7. b = 7 ou b = 27
8. Considere X ↔ x, A ↔ a, B ↔ b, C ↔ c e D ↔ d. Como a < b < c < d, temos:
ϕ(X) =| x − a | + | x − b | =
8
>>< (a + b) − 2x;
>>: b − a; se
2x − (b + a);
se
x≤a
a≤x≤b
se
x≥b
Considere a > 0
f (X) =| x − a | + | x − b | + | x − c | =
3
8
>>> (a + b + c) − 3x; se x ≤ a
>< (b − a) + c − x; se a ≤ x ≤ b
>>> x − (b + a) + c; se b ≤ x ≤ c
>: 3x − (a + b + c); se c ≤ x
Considere a > 0
g(X) =| x − a | + | x − b | + | x − c | + | x − d | =
Considere a > 0
4
8
>>> (a + b + c + d) − 4x; se x ≤ a
>>> (b − a) + (c + d) − 2x; se a ≤ x ≤ b
<
>>> −(b + a) + (c + d); se b ≤ x ≤ c
>>> 2x − (a + b + c) + d; se c ≤ x ≤ d
: 4x − (a + b + c + d); se d ≤ x
9. (x, −y) e (−x, y).
10. (3, 12).
11. (2a − c, d).
12. O simétrico do ponto A em relação a 1a bissetriz é o ponto C = (y, x).
13. (−y, −x).
x+y
x−y y−x
14. ( x+y
2 , 2 ) e ( 2 , 2 )
15. Não. Os pontos A e B pertencem a reta y = 2x − 1, e os pontos B e C pertencem a reta y = x + 1.
16. s : y = −3x m : y = 31 x +
10
3 .
17. s : y = −2x + 3.
18. m : y = − 31 x + 83 .
19. C = (5, 6).
√
√
20. B = ( 3+2 3 , 1−32
3
√
√
) ou B = ( 3−2 3 , 1+32
′
3
).
′
21. Como a 6= 0 então a = − a1 e b = b + x0 (a + a1 ).
22. (3, 7), (0, 1) e ( 34 , 14 ).
5