V - Professores da UFF
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GEOMETRIA BÁSICA 2011-2 GGM00161-TURMA M2 Dirce Uesu Pesco Geometria Espacial 17/11/2011- Poliedros POLIEDROS CONVEXOS Poliedro Convexo: Considere um número finito n, n 4, de polígonos planos convexos ( ou região poligonal convexa) tais que: a) dois polígonos não estão em um mesmo plano; b) cada lado do polígono é comum a dois e somente dois polígonos; c) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semi-espaço.(condição de convexidade) Nessas condições, ficam determinados n semi-espaços , cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contem os restantes. A interseção desses semi-espaços é chamado Poliedro convexo. POLIEDROS CONVEXOS Quais dos exemplos abaixo são poliedros, poliedros convexos ? POLIEDROS CONVEXOS Quais dos exemplos abaixo são poliedros, poliedros convexos ? a)poliedro, não convexo d)Poliedro convexo b) não é poliedro e) poliedro convexo c) poliedro não convexo f) não é poliedro f) não é poliedro POLIEDROS CONVEXOS Exercício: Desenhe outros exemplos de poliedros convexos. POLIEDROS CONVEXOS Elementos do poliedro convexo: Faces: são os polígonos; Arestas: são os lados dos polígonos; Vértices : sãos os vértices dos polígonos; Ângulos : são os ângulos dos polígonos. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Teorema de Euler Para todo poliedro convexo vale a relação: V A F 2 onde V é o número de vértice, A é o número de arestas e F o número de faces do poliedro convexo. Exemplo: Verifique se vale a relação de Euler para os poliedros abaixo: PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Teorema de Euler Para todo poliedro convexo vale a relação: V A F 2 onde V é o número de vértice, A é o número de arestas e F o número de faces do poliedro convexo. Exemplo: Verifique se vale a relação de Euler para os poliedros abaixo: a) b) PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exemplo 2 : Vale a relação de Euler para os poliedros abaixo? a) b) PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exemplo 2 : Vale a relação de Euler para os poliedros abaixo? a) b) Poliedro Euleriano: poliedros para os quais vale a relação de Euler. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exemplo 2 : Vale a relação de Euler para os poliedros abaixo? a) b) Poliedro Euleriano: poliedros para os quais vale a relação de Euler. Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o 2880o (V 2)360o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o 2880o (V 2)360o 8 (V 2) PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o 2880o (V 2)360o 8 (V 2) V 10 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o 2880o (V 2)360o 8 (V 2) V 10 Logo o prisma é pentagonal. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o Lembre que: 2880 (V 2)360 8 (V 2) V 10 o o Logo o prisma é pentagonal. Si (n 2).180o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o Lembre que: 2880 (V 2)360 8 (V 2) V 10 o o Logo o prisma é pentagonal. Si (n 2).180o Si (5 2).180o 540o Base pentagonal PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo S (V 2) 4r é: onde V é o número de vértices e r é o ângulo reto. Exercício: Determine a natureza de um prisma sabendo que a o soma dos ângulos internos de todas as suas faces vale 2880 . Solução: 2880o (V 2)4.90o Lembre que: 2880 (V 2)360 8 (V 2) V 10 o o Logo o prisma é pentagonal. Si (n 2).180o Si (5 2).180o 540o Base pentagonal S 2 540o 5 360o 2880o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60o PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60 o h 5 3 2 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60 o h Al 4 Aparalelogramo 5 3 2 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60 o h 5 3 2 Al 4 Aparalelogramo Al 4 3. 5 3 30 3 cm 2 2 PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Unidade : centímetros. Solução: São quatro paralelogramos que compõem as arestas laterais, cuja base é: 3 cm, a altura corresponde a h 5 sen 60 o h 5 3 2 Al 4 Aparalelogramo Al 4 3. 5 3 30 3 cm 2 2 Exercício: encontre a área total e o volume do prisma PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Exercício : Encontre a área total e o volume do prisma. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício2 : Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Exercício : Encontre a área total e o volume do prisma. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício: Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Encontre a área total e o volume do prisma. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício: Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Encontre a área total e o volume do prisma. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício: Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Encontre a área total e o volume do prisma. PROPRIEDADE DE POLIEDROS CONVEXOS Exercício: Calcule a área lateral do prisma obliquo de base quadrada, cujas medidas estão indicadas na figura. Encontre a área total e o volume do prisma. POLIEDROS REGULARES Definição: Poliedro regular é um poliedro convexo em que as faces são polígonos regulares congruentes e que em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. POLIEDROS REGULARES Definição: Poliedro regular é um poliedro convexo em que as faces são polígonos regulares congruentes e que em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. Teorema: Existem apenas cinco poliedros regulares. http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/solidos-platonicos-br.html POLIEDROS REGULARES Definição: Poliedro regular é um poliedro convexo em que as faces são polígonos regulares congruentes e que em todos os vértices concorrem o mesmo número de arestas. Teorema: Existem apenas cinco poliedros regulares. i) 4 faces ii) 6 faces iii) 8 faces ii) cubo (hexaedro regular), i) tetraedro regular, iv) 12 faces v) 20 faces iv) dodecaedro regular , iii) octaedro regular, v) icosaedro regular http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicos-html/solidos-platonicos-br.html POLIEDROS REGULARES Exercício: Preencha a tabela abaixo: Poliedro regular V A tetraedro 4 6 cubo (hexaedro regular) 8 12 F n-arestas em cada face m-arestas em cada vértice 4 faces 3 3 6 faces 4 3 octaedro 8 faces dodecaedro 12 faces icosaedro 20 faces POLIEDRO CONVEXO E REGULAR Área e Volume Exercícios: Livro texto, capítulos: Poliedro convexo e Regular .
