Lembrando….

Lembrando….
Equação de Friedmann
Conservação da energia
K
⎛ a& ⎞ 8π G
H =⎜ ⎟ =
ρi − 2
∑
3 i
a
⎝a⎠
d ρi 3
+ ( ρi + pi ) = 0
da a
2
2
Modelo ΛCDM:
2
H 2 ( a ) = H 0 ⎡⎣Ω r a −4 + Ω M a −3 + Ω k a −2 + Ω Λ ⎤⎦
K
Ωk = 1 − Ω0 = 1 − Ω m − Ω r − Ω Λ = − 2
H0
A Geometria do Cosmos
A Métrica (Espacial) do Universo
Homogêneo
G
G
G
G
µ
ν
Métrica: ds = g µν dx dx
2
Seção espacial, isotropia:
r 2
2
2
2
2
2
2
dr
=
f
(
r
)
dr
+
g
r
r
d
θ
+
r
sen
θ
d
φ
( )
( )
(
r’ definido pela área
1
Curvatura constante: f =
2
1 − Kr
r 2
( dr ) =
1
2
2
2
2
2
2
dr + r dθ + r sen θ dφ
2
1 − Kr
)
Geometria
Ângulos:
Analogia 2D:
Esférica
Hiperbólica
Plana
Geometria Espaço-Temporal do
Universo Homogêneo
G
r 2
Invariante: ds = dt − ( dx )
G
Todas as escalas expandem com a(t):
2
2
r 2
r 2
⎛ 1
2
2
2
2
2
2
2
2⎞
dx
a
t
dr
a
t
dr
r
d
r
sen
d
=
=
+
+
θ
θ
φ
( )
( )( )
( )⎜
⎟
2
1
Kr
−
⎝
⎠
⎛ 1
2
2
2
2
2
2⎞
ds = dt − a ( t ) ⎜
dr + r dθ + r sen θ dφ ⎟
2
⎝ 1 − Kr
⎠
2
2
2
Métrica de Friedmann (Robertson-Walker)
Propagação da Luz e Desvio para o Vermelho
Integrando uma geodésica
nula na direção radial:
G
t0
t = t0
r=0
r1
dt
dr
∫t a ( t ) = ∫0 1 − Kr 2 ≡ f ( r1 )
1
δ t1
a ( t1 )
=
Desvio para
o vermelho
δ t0
a ( t0 )
t = t1
r = r1
λ0 − λ1 a ( t0 )
z :=
=
−1
λ1
a ( t1 )
a ( t ) = (1 + z )
−1
Distância de Luminosidade
L
d :=
4π F
F: Energia por unidade de área
2
L
por unidade de tempo
Área da S2 centrada na fonte no instante de detecção t0: 4πa2(t0)r12
Variação da energia: hν1/hν0 = (1+ z)-1
Diferença de tempo: δ t0 / δ t1 = a ( t0 ) / a ( t1 ) = 1 + z
Logo:
F=
L
4π a 2 ( t0 ) r12 (1 + z )
2
d = a (t0 )r (1 + z )
2
L
2
2
1
2
Distância de Luminosidade
d L = a (t0 )r1 (1 + z )
Como
t0
r1
dt
∫t a ( t ) = ∫0
1
teremos
(
⎧ sin −1
⎪
dr
⎪
=⎨
2
1 − Kr
⎪
−1
sinh
⎪⎩
(
K r1
)
K , para K > 0
r1 , para K = 0
K r1
)
K , para K < 0
⎛
z
dz ′ ⎞
d L = (1 + z ) sen K ⎜ H 0 1 − Ω 0 ∫
H 0 1 − Ω0
⎟
0 H z′
( )⎠
⎝
Distância de Luminosidade
No caso plano:
d L = (1 + z ) ∫
dz ′
H ( z′)
z
0
Lembrando que (no modelo ΛCDM)
2
H 2 ( a ) = H 0 ⎡⎣Ω r a −4 + Ω M a −3 + Ω k a −2 + Ω Λ ⎤⎦
temos
dL
1+ z)
(
=
H0
∫
dz ′
z
0
Ω r (1 + z ′ ) + Ω M (1 + z ′ ) + Ω Λ
4
3
Distância de Luminosidade
Expansão em série (independente do modelo):
Em 1a ordem
H 0 d L ( z ) = cz
“Lei” de Hubble
Exercício: obter, em 2a ordem
⎡ 1
⎤
H 0 d L ( z ) = cz ⎢1 + (1 − q0 ) z ⎥
⎣ 2
⎦
1
Dica: expandir
em série de potências
a (t )
O parâmetro de desaceleração
Em 2a ordem
⎡ 1
⎤
H 0 d L ( z ) = cz ⎢1 + (1 − q0 ) z ⎥
⎣ 2
⎦
onde
a&&0
q0 = −
a0 H 02
Exercício: obter a equação para a
&& e relacionar
com os parâmetros cosmológicos
Sacolejada, estalo…
Exercício: obter, em 3a ordem
2
⎡ 1
⎤
⎞ 2
1⎛
Kc
2
3
H 0 d L ( z ) = cz ⎢1 + (1 − q0 ) z − ⎜1 − q0 − 3q0 + j0 + 2 ⎟ z + O ( z ) ⎥
6⎝
H0 ⎠
⎣ 2
⎦
&&&
a0
onde j0 =
é a sacolejada
3
a0 H 0
Termo de 4a ordem
2
⎛
2
Kc
1 + 3q0 ) ⎞ ⎤ 3
(
cz 1 ⎡
2
⎢ 2 (1 − q0 ) − 15q0 (1 + q0 ) + 5 j0 + 10q0 j0 + s0 + ⎜
⎟⎥ z
2
H 0 24 ⎢⎣
H0
⎝
⎠ ⎥⎦
&&&&
a0
onde s0 =
é o estalo
4
a0 H 0
Dica: ver http://arxiv.org/pdf/gr-qc/0309109
O Lado Escuro do Universo
Episódio II
Supernovas do Tipo Ia e Cosmologia
Vantagens:
Luminosidade
Extrema
(109 - 1010 Lο)
⇒ Podem ser vistas
a grandes distâncias
Curvas de luz de Supernovas do Tipo Ia
Curvas de luz de Supernovas do Tipo Ia
Altamente homogêneas
⇒ Velas padronizáveis
Supernovas do Tipo Ia e Cosmologia
Vantagens:
• Luminosidade Extrema
(109 - 1010 Lο)
• Altamente homogêneas
⇒ Velas padronizáveis
Desvantagens:
• Eventos raros e aleatórios
≈ 1/500 ano/galáxia
• Duração curta
Solução:
• Busca automatizada
• SCP, High-z team
O Universo Acelerado
⇒ Diagrama
de Hubble para
grandes z, com
boa precisão
Ω Λ ≈ 0.7, Ω m ≈ 0.3
⇒ O Universo
está em
expansão
acelerada.
⇒ Mas
a&&
4π G
Λ
=−
( ρ + 3P ) +
3
a
3
Energia escura, ou constante cosmológica!
A Idade do Universo
Idade x H0-1
a
Evolução do Universo (Λ = 0)
Fator
de
escala
a&0 = a0 / t0est
Figura: Kepler Oliveira, Maria de Fátima Saraiva
Astronomia e Astrofísica, http://astro.if.ufrgs.br/
A Idade do Universo
G
Aceleração
resolve o
problema da
idade
Figura: Kepler Oliveira, Maria de Fátima Saraiva, Astronomia e Astrofísica, http://astro.if.ufrgs.br/
O Universo Acelerado
⇒Diagrama de
Hubble para
grandes z, com
boa precisão
⇒ O Universo
está em
expansão
acelerada
O Universo Desacelerando!
Energia Escura
2/3 da densidade do universo estão sob a
forma de Energia Escura!
Evidências:
G
G
G
G
Expansão acelerada de galáxias distantes
Idade do Universo
Curvatura pequena
Análise combinada de diversos observáveis cosmológicos
Candidatos (Taxonomia da Energia Escura):
I
I
Constante cosmológica
Campo escalar:
– Quintessência
– k-essência, spintessência, meleca...
Nova teoria da gravitação