Primeira Prova de Estatística I

Primeira Prova de Estatística I
Mestrado/Doutorado em Economia - EPGE/FGV
Professor: Caio Almeida
Monitor: Marinho Bertanha
Data: 19/05/2008
Duração: 3 horas
Exercício 1 (1,5 ponto) Seja X uma variável aleatória com densidade:
fX (x) =
4
3
,
2 <x< 4
0, caso contrário.
Sabendo que
d arcsen(y)
dy
=p
1
,
1 y2
calcule a densidade de Y = jsen (x)j.
Exercício 2 (2,5 pontos) Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes, tais
X
que X Gama ( ; ) e Y
Gama ( ; ). De…na U = X + Y e V = X+Y
.
(a) (1,5 ponto) Calcule a densidade conjunta de (U; V ).
(b) (1,0 ponto) Qual é a distribuição de U? Qual é a de V?
Exercício 3 (1,0 ponto) Um investidor da bolsa de valores analisa quatro cenários
possíveis para a cotação do dólar e in‡ação: dólar sobe/não sobe; in‡ação
sobe/não sobe. A probabilidade de que a bolsa suba dado que dólar e in‡ação
sobem é 0,25; de que a bolsa não suba quando nem dólar nem in‡ação sobem
é de 0,60; de que a bolsa suba quando o dólar sobe mas a in‡ação não sobe é
de 0,50. As probabilidades para os cenários de dólar/in‡ação são: dólar sobe e
in‡ação sobe, 0,7; dólar sobe e in‡ação não sobe, 0,1; dólar não sobe e in‡ação
sobe, 0,15. Finalmente, a probabilidade de que a bolsa suba é de 29%.
(a) (0,5 ponto) Enuncie a Regra de Bayes e de…na a partição do espaço
amostral levando em conta os eventos dólar/in‡ação.
(b) (0,5 ponto) Se a bolsa sobe, qual a probabilidade de que o dólar não suba
e a in‡ação suba?
Exercício 4 (1,5 ponto) Uma senhora joga um dado equilibrado 20 vezes de
forma independente para saber quantos comprimidos por dia deverá tomar nos
próximos 20 dias.
(a) (0,3 ponto) De…na o espaço amostral deste experimento de jogar dados.
(b) (0,4 ponto) Suponha que ao invés de usar seu dado, ela pudesse sortear
um n 2 N + f0g para cada um dos 20 dias. De quantas maneiras possíveis a
1
senhora tomaria 26 comprimidos? Neste item e nos seguintes, deixe as respostas
em termos de fatoriais.
(c) (0,4 ponto) Suponha que ao invés de usar seu dado, ela pudesse sortear
um n 2 N para cada um dos 20 dias. De quantas maneiras possíveis a senhora
tomaria 26 comprimidos?
(d) (0,4 ponto) Usando agora seu dado para o sorteio, calcule a probabilidade
de ela tomar 26 comprimidos.
N
Exercício 5 (1,5 ponto) Seja fXi gi=1 uma seqüência de variáveis aleatórias inN
P
N
dependentes tais que Xi N ormal i ; 2 8i, onde f i gi=1 é tal que lim N1
N !1
.
i=1
i
(a) (0,5 ponto) Calcule a função geradora de momentos de uma N ormal ; 2 .
N
P
Xi
(b) (1,0 ponto) Diga para onde converge a variável aleatória X N = N1
i=1
quando N ! 1. Como é esta variável aleatória no limite?
Exercício 6 (2,0 pontos) Seja X N ormal ; 2 e Y = eX .
(a) (0,75 ponto) Calcule E (Y ) e V AR (Y ).
(b) (1,25 ponto) Calcule E [max fY k; 0g] para k > 0 …nito. Deixe sua
resposta em termos da função distribuição da N ormal (0; 1), i.e. (x). DICA:
R +1
é fundamental usar E [g (x)] = 1 g (x) f (x) dx:
2
=
INFORMAÇÕES
1. Densidade da N ormal
;
2
: f (x) =
2. Densidade da Gama ( ; ): f (x) =
> 0, > 0.
R1
Onde ( ) = 0 t 1 e t dt.
3. Densidade da Beta ( ; ): f (x) =
> 0, > 0.
Onde B( ; ) =
p1
2
1
( )
1
B( ; ) x
1
2
e
1
x
1
2
(x
(1
) para x 2 ( 1; 1).
e
x
x)
para x 2 (0; 1),
1
para x 2 (0; 1),
( ) ( )
( + ) .
4. Densidade da Cauchy ( ): f (x) =
( 1; 1).
1
5. Densidade da Exp ( ): f (x) = 1 e
x
1
1+(x
)2
para x 2 ( 1; 1),
para x 2 (0; 1).
6. X e Y são contínuas e independentes () fX;Y (x; y) = fX (x) fY (y).
3
2