Estudo de um Modelo Tight-Binding na Rede Apoloniana

UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
Programa de Pós-Graduação em Física
Dissertação de Mestrado
Estudo de um Modelo Tight-Binding na Rede Apoloniana
Ariston de Lima Cardoso
2007
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Estudo de um Modelo Tight-Binding na Rede Apoloniana
Ariston de Lima Cardoso
Orientador: Roberto Fernandes da Silva Andrade
Dissertação apresentada ao Instituto de Física
da Universidade Federal da Bahia para a
obtenção do título de Mestre em Física.
Salvador-Bahia - 2007
Estudo de um Modelo Tight-Binding na Rede Apoloniana
Copyright 2007
by
Ariston de Lima Cardoso
Abstract
We present an investigation on the properties of electronic states described by a tightbinding Hamiltonian on the Apollonian network or Apollonian lattice. This structure,
which is constructed by linking the centers of tangent circles in the solution of Apollonian
packing problem, has been explored both as a complex network as well as a substrate,
on the top of which we can define physical models. It is importance to note that the
first approach leads to results for the eigenvalue spectrum of the adjacency matrix that
coincides with the energy spectrum of the homogeneous electronic system. This can be
seen by writing down the Schrödinger equation of the model, for the case where of only
uniform and nearest neighbor interactions are considered, in a matrix formulation: the
resulting Hamiltonian matrix is proportional to the adjacency matrix of the Apollonian
network. The characterization of the properties of the eigenstates requires the evaluation
of the eigenvectors of the matrix. We discuss their properties taking into account the large
degenerateness which characterizes the spectrum. The 2π/3 rotation symmetry and large
number of equivalent sites is reflected by all eigenstates, which can be classified according
to their parity. With the help of concepts of participation rate, we identify extended and
localized states. Finally, we report results for other two models that are derived from the
Apollonian network, where we just keep interaction among sites that were introduced in
two or three successive steps in the construction of the Apollonian network.
Resumo
Apresentamos uma investigação sobre as propriedades dos estados eletrônicos de sistemas
de elétrons tight-binding definidos sobre a rede Apoloniana. Esta estrutura, definida ao
se ligar os centros dos círculos tangentes no problema de empacotamento Apoloniano, tem
sido bastante explorada tanto como rede complexa como com substrato sobre o qual se
constroem modelos físicos. Se considerarmos a primeira abordagem, os resultados para o
espectro de autovalores da matriz adjacência da rede coincide com o espectro de energia
do sistema, agora estudado no caso homogêneo. Isto porque a formulação matricial da
equação de Schrödinger leva, no caso de auto energias uniformes e interações homogêneas
de primeiros vizinhos, à mesma matriz adjacência da rede apoloniana. A caracterização
dos auto-estados requer a determinação dos auto-vetores. Investigamos suas propriedades e
sua relação com a grande degenerescência observada no espectro. A simetria de rotação da
rede é manifestada em todos os estados, que podem ser divididos em duas grandes classes
devido a sua paridade. Identificamos a co-existência de estados estendidos e localizados na
rede usando, como critério, o comportamento do coeficiente de participação. Finalmente,
nós consideramos também outros dois modelos obtidos a partir da rede Apoloniana, nos
quais só conservamos ligações entre sítios que foram introduzidos na rede em duas ou três
gerações sucessivas na construção da rede Apoloniana.
i
Agradecimentos
Primordialmente
A Deus, que sempre norteou minhas idéias, caminhos e desafios, sempre me ensinando a amar a vida.
Especialmente
A minha esposa Lorenna pelo amor, companheirismo,cumplicidade nessa etapa
difícil e persistente, que sempre me motivou a continuar essa caminhada. Me presenteando
com a maior dádiva da minha vida, minha filha Clara. Um verdadeiro exemplo de mulher
e esposa.
A Ana Belarmina que me acolheu e me adotou com os sentimentos mais maternos.
A minha família, por tudo.
A Doelmar e Wilma pelo carinho e amor.
Ao Prof. Roberto Andrade que aceitou, reaceitou e cumpriu a dura tarefa de me
orientar neste trabalho, sempre com paciência e dedicação.
Ao amigo problemático Corujito que sempre me atendeu nas horas mais desesperadoras, com sua humildade e compreensão.
Aos funcionários do Instituto de Física, sempre atenciosos e prestativos, em especial a turma da limpeza.
Aos amigos de verdade, que sempre suportaram minhas brincadeiras, chatices e
decisões. Aos colegas do Mestrado e do 36ł. Pelos bons e maus conselhos!
ii
(Este trabalho foi financiado pela CAPES)
iii
“Só existe uma dádiva maior que a felicidade:
é a satisfação de agradecer por tê-la
encontrado.”
Autor desconhecido.
iv
Dedico este trabalho ao ser humano mais
puro, amoroso e feliz que já conheci.
Nair Dourado "Dinda"
v
vi
Conteúdo
Lista de Figuras
viii
1 Introdução
1
2 Método Tight-Binding
2.1 Elétrons em um Potencial Periódico . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 A equação de Schrödinger para elétrons em um potencial periódico. .
2.3 Rede Recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Teorema de Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 As funções de Wannier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Método "Tight-Binding" ou Aproximação de Ligações Fortes . . . .
3 Redes Complexas
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Nomenclatura e Conceitos Básicos
3.3 Modelos de Redes Complexas . . .
3.3.1 Introdução . . . . . . . . .
3.3.2 Redes Aleatórias . . . . . .
3.3.3 Redes Regulares . . . . . .
3.3.4 Redes de Mundo Pequeno .
3.3.5 Redes Livres de Escala . . .
3.3.6 Rede Apoloniana . . . . . .
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4 Estados Estendidos e Localizados
4.1 Modelos Desordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Localização de Anderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Localização de Sistemas Unidimensionais . . . . . . . . . . .
4.2.2 Densidade de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Localização de Autofunções . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 O Hamiltoniano Tight-binding e a Teoria de Localização . . . . . . .
4.4 Construção do Hamiltoniano Tight-Binding para a Rede Apoloniana
4.4.1 Modelo Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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vii
4.4.2
Modelos Árvore 1 e Árvore 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 Propriedades da Rede Apoloniana
5.1 Caracterização Espectral . . . . . . . .
5.2 Caracterização dos Auto-estados . . .
5.2.1 Paridade . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Coeficiente de Participação . .
5.3 Estudo dos modelos Árvore 1 e Árvore
5.3.1 Caracterização Espectral . . . .
5.3.2 Coeficiente de Participação . .
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6 Conclusões
84
Bibliografia
86
viii
Lista de Figuras
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
Exemplo de um grafo binário não-direcionado. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemplo de um grafo não-binária direcionado. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagrama representando uma rede de contatos sexuais, Potterat. . . . . . .
Rede de amigos de uma escola E.U.A. James Moody [7]. . . . . . . . . . . .
Ilustração de uma rede aleatória. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustração de redes de pequeno mundo segundo os autores Watts e Strogatz
para diferentes probabilidades de conexão. 1 - rede regular. 2 - rede aleatória.
3 - rede mundo pequeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Ilustração da conexão de círculos tangentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Ilustração de um empacotamento de círculos tangentes. . . . . . . . . . . .
3.9 Ilustração das gerações da rede apoloniana. 2-D. Para cada n = 0,1,2,3 os
respectivos sítios 3,4,7,16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10 n=1 (azul), 2 (vermelho) e 3 (preto) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustração do modelo de desordem apresentado por Paul Anderson. Spins
nucleares adicionados às impurezas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Sinais de ressonância paramagnética nuclear do fósforo, Harrison [18]. . . .
4.3 Rede de primeiros vizinhos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Rede unidimensional periódica. Cada célula constando de energia E diferentes e parâmetro 2a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5 Relação de dispersão para uma rede unidimensional periódica. . . . . . . . .
4.6 Sistema unidimensional periódico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.7 Bandas de energia em uma super-rede de desordem. . . . . . . . . . . . . .
4.8 Amplitudes de probabilidade para um sistema eletrônico desordenado. . . .
4.9 Matriz adjacência apoloniana referente à geração N = 5. . . . . . . . . . . .
4.10 Modelo árvore 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.11 Modelo árvore 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.12 Matriz identificadora dos modelos para a geração 3. O modelo verde identifica
o árvore 1. O vermelho acrescido do verde forma contempla o modelo árvore
2 e toda a matriz o modelo apoloniano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
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23
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28
29
4.1
5.1
Gráfico Π × λ, sétima geração. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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ix
5.2
5.3
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5.12
5.13
5.14
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5.18
5.19
Relação entre o coeficiente de participação normalizada para diferentes valores de N. O grande intervalo central representando os autovalores da classe
de maior degenerescência C3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustração do máximo e mínimos coeficiente de participação da classe C3,
para o autovalor λ = 0, decorrente das várias gerações criadas N (5, 6, 7 e 8).
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustração da Participação versus N , para os autovalores da classe C1. Notese que os valores tendem a estados localizados algebricamente. . . . . . . .
Ilustração da Participação versus N , para os autovalores da classe C2. Notese que os valores tendem a estados localizados algebricamente. . . . . . . .
Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana, para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao
maior autovalor dentro de cada geração dentro da classe C3 . . . . . . . . .
Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana, para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao
menor autovalor dentro de cada geração dentro da classe C3 . . . . . . . . .
Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana, para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao
maior autovalor dentro de cada geração dentro da classe C1. . . . . . . . . .
Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana, para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao
menor autovalor dentro de cada geração dentro da classe C1. . . . . . . . .
Espectro integralizado versus autovalores ( Π(λ)x λ ).Valores apresentados
para N = 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Os estados eletrônicos apresentam um crescimento da participação a medida
que crescemos as gerações. O gap central, ocorre um crescimento que aproxima os estados ligeiramente estendidos no meio e nas extremidades os estados
mudam essa característica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
λ = 0, para o modelo árvore 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
+1,73. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
-1,73 para o modelo árvore 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana, para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao
maior autovalor dentro de cada geração dentro da classe C3 para o modelo
Árvore 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estados eletrônicos do modelo árvore 2, que mantêm as conexões com as
três últimas gerações. É de caráter diferente o aparecimento de um maior
coeficiente de participação para a geração que apresenta 367 autovalores. . .
Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
λ = 0, para o modelo árvore 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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75
76
77
78
79
x
5.20 Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
+1,73 para o modelo árvore 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.21 Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
-1,73 para o modelo árvore 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.22 Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana, para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao
menor autovalor dentro de cada geração dentro da classe C3 para o modelo
Árvore 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.23 Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana, para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao
menor autovalor dentro de cada geração dentro da classe C3 para o modelo
Árvore 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
81
82
83
1
Capítulo 1
Introdução
O estudo de redes é um tema bastante interdisciplinar que abrange diversas áreas
do conhecimento, tais como a matemática, a ciência da computação, a biologia e a física.
O termo redes complexas refere-se a um grafo que apresenta propriedades topológicas nãotriviais, composto por um conjunto de vértices (nós) que são interligadas através de arestas
[1]. Os estudos de redes sociais foram iniciados em meados dos anos de 1930, quando psicólogos [2] utilizaram essas redes com a finalidade de estudar o comportamento da sociedade
e da relação entre indivíduos. Com o avanço da tecnologia de informação e a disponibilidade de computadores e redes de comunicação que permitem a análise de dados em grande
quantidade, houve uma mudança significativa na área.
As recentes investigações de propriedades de redes podem caracterizar muitos aspectos do sistema, que estão associados com muitos fatores dos componentes que constituem
a rede. Vários estudos têm sido incluídos na caracterização de aspectos topológicos da rede,
a identificação de certas classes, propriedades e topologia bem definidas, por exemplo, as
2
redes aleatórias, rede de mundo pequeno, rede livre de escala, etc.
A rede apoloniana [3] é definida a partir do problema de cobertura ótima de um
plano por círculos que se tangenciam. Fazendo-se a conexão entre centros dos círculos
tangentes, origina-se uma rede complexa. Rede que tem propriedades típicas de rede de
escala livre, mundo pequeno e imerso em um espaço euclidiano. Tais propriedades serão
discutidas no capítulo de Redes Complexas.
Para a descrição e caracterização das redes faz-se necessário a utilização de vários
métodos. Uma maneira de se definir a rede é através da sua matriz adjacência, que definem
quais pares de vértices que estão conectados por uma ligação.
Neste trabalho em particular, onde faremos uma análise de sistemas eletrônicos
via teoria de Anderson [4], os sítios e conexões da rede complexa apoloniana na sua matriz
adjacência (MA) são bastante importantes. Isto porque a MA é identificada, dentro da
formulação matricial da equação de Schrödinger, à matriz hamiltoniana, que será analisada para descrever a interação eletrônica entre primeiros vizinhos, dentro do formalismo
conhecido com a denominação tight-binding [5].
O hamiltoniano tight-binding é fundamental para o estudo de sistemas que não
apresentam simetria de translação, (gerando o espectro dos autovalores de energia e autovetores) considerando apenas as interações dos primeiros vizinhos, desprezando as autoenergias. O espectro de autovalores gerado para a rede apoloniana é bastante degenerado e
a medida que as interações crescem as degenerescências aumentam, de acordo com Andrade
e Miranda [6]. Para a interpretação dos auto-estados, faz-se necessária a caracterização
dos auto-vetores, oriundos das evoluções da rede. A teoria de localização eletrônica de
3
Anderson [4] é a base para a interpretação dos auto-estados da rede de Apolônio [7]. Ela
oferece ferramentas importantes para a classificação dos auto-estados de acordo com seu
caráter estendido ou localizado em termos do chamado coeficiente de participação.
A rede apoloniana é ainda ponto de partida para a definição de outros modelos
físicos. Neste trabalho exploramos ainda a construção de modelos que apresentam um grau
maior de homogeneidade à rede apoloniana, a restrição as conexões da rede a sítios que
aparecem nas duas e três últimas gerações cria os modelos Árvore 1 (A1) e Árvore 2 (A2).
Esses modelos apresentam propriedades espectrais e de localização dos auto-estados que
estão relacionadas à rede Apoloniana.
Esta dissertação é estruturada da seguinte maneira: no capítulo 2, apresentamos
a formulação do Método tight-binding. Em seguida, no capítulo 3, é apresentado um estudo
das Redes Complexas. O capítulo 4 explora a teoria de localização de Anderson para estados
estendidos e localizados. Os resultados obtidos serão apresentados e discutidos no capítulo
5, onde são apresentadas a caracterização espectral, a análise de paridade e a representação
dos auto-estados. Finalmente, no capítulo 6, as conclusões são explanadas.
4
Capítulo 2
Método Tight-Binding
2.1
Elétrons em um Potencial Periódico
Um cristal é caracterizado por uma estrutura regular repetida periodicamente. A
menor unidade desta estrutura é chamada de célula primitiva. De acordo com a formulação apresentada por Kittel [8], células primitivas idênticas são dispostas periodicamente
preenchendo todo o volume do cristal, dando origem à sua periodicidade. Uma consequência
desta periodicidade é a invariância da rede frente a translações sobre distâncias que sejam
múltipos inteiros do período da rede. Isto, entretanto, só é verdade para um cristal ideal
infinito, ou que tenha sido submetido a condições de contorno períodicas. Admitiremos no
que se segue que este seja o caso. As translações primitivas, ou translações da rede, que são
as operações de simetria da rede, podem ser descritas pelo vetor R, tal que
R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3
(2.1)
5
em que os ni são números inteiros. Os ai são vetores-base não-coplanares, chamados vetores primitivos. O conjunto de todos os vetores R leva a todos os pontos equivalentes da
rede. Os vetores ai não são univocamente escolhidos para uma dada rede; no entanto, o
número de maneiras de escolher estes vetores entretanto, é limitado. As células primitivas
da rede são construídas de forma a ter um ponto de rede em cada vértice, sendo desta
forma compartilhada pelos vértices vizinhos. Desta forma, cada célula abrange um ponto
da rede apenas. Podemos ainda, escolher as células de forma a ter um ponto de rede em
seu ponto central. Estas células são construídas traçando segmentos de retas ligando um
dado ponto da rede aos vizinhos, e tomando-se planos perpendiculares passando pelo ponto
médio destes segmentos.
2.2
A equação de Schrödinger para elétrons em um potencial
periódico.
Os íons em um cristal perfeitamente cristalino são dispostos em um arranjo per-
iódico e regular, e portanto é necessário considerar o problema de um elétron na presença
de um potencial V(r) com a periodicidade da rede, ou seja,
V (r + R) = V (r)
(2.2)
para todos os vetores R da rede. O problema de elétrons em sólidos é por natureza um
problema de muitos corpos, pois o hamiltoniano completo para o sólido contém não só o
termo de interação entre os elétrons e o potencial devido aos íons, mas também contém
termos de interação elétron-elétron. Na aproximação de elétron - independente estas inter-
6
ações são representadas por um potencial efetivo para um elétron V(r). Vamos aqui apenas
observar que independentemente da forma específica que o potencial efetivo para um elétron
possa ter, se o cristal for perfeitamente periódico, este potencial deverá satisfazer a eq.(2.2).
Devemos portanto, examinar as propriedades gerais da equação de Schrödinger para um
único elétron,
∙
¸
−h2 2
Hψ(r) =
∇ + V (r) ψ(r) = Eψ(r).
2m
(2.3)
Esta equação descreve um elétron em um potencial periódico que incorpora o
potencial dos íons da rede mais o potencial médio Columbiano produzido pelos outros
elétrons. Este potencial V(r) atua portanto sobre um elétron situado na posição r. Dessa
forma, não só o potencial mas também todo o Hamiltoniano irão satisfazer a condição de
periodicidade, e teremos
H(r + R) = H(r)
(2.4)
As propriedades de simetria do Hamiltoniano nos fornecem a informação a respeito
da estrutura das possíveis soluções (autovalores e autovetores) da eq(2.3).
2.3
Rede Recíproca
A rede recíproca é dada pelo conjunto de pontos descritos pelos vetores
K = m1 b1 + m2 b2 + m3 b3
,
(2.5)
7
em que os m i são números inteiros e os bi estão relacionados com os ai conforme
a relação
ai · bj = 2πδ ij
i, j = 1, 2, 3.
(2.6)
em que o termo δ ij é a função delta de kronecker.
Temos explicitamente,
aj × ak
ai · (aj × ak )
bj × bk
.
= 2π
bi · (bj × bk )
bi = 2π
(2.7)
ai
(2.8)
As células contruídas com os vetores bi são células primitivas da rede recíproca.
Assim, células primitivas podem ser construídas em uma rede recíproca, e são
chamadas de Zonas de Brillouin, conforme [5] e [8]. A partir de (2.5) e (2.6), vemos que
R · K = 2π(n1 m1 + n2 m2 + n3 m3 ) = 2πN ,
(2.9)
em que N é um número inteiro. Todo R que, para um dado K , satisfaz a (2.9), pertence
a um plano normal a K. Assim todo vetor K (ou seja, os inteiros m1 , m2 e m3 ) pode ser
usado para indicar um conjunto de planos da rede definida pelos vetores R.
2.4
Teorema de Bloch
Os estados estacionários da equação (2.3) têm uma propriedade muito importante
como consequência geral da periodicidade do potencial V, expresso pelo seguinte teorema
8
devido a Felix Bloch[8].
Teorema : Os autoestados de ψ do Hamiltoniano de um elétron H = (−h2 /2m)∇2 +
V (r), onde V (r + R) = V (r) para todo R da rede, podem ser representados na forma de
uma onda plana multiplicada por uma função que tenha a periodicidade da rede, ou seja:
ψ n (k,r) = eik·r un (k,r) ,
(2.10)
un (k, r + R) = un (k,r) ,
(2.11)
em que
para todo R da rede. As equações (2.10) e (2.11) implicam que
ψ n (k, r + R) = eik·R ψ n (k,r) .
(2.12)
Daí a forma alternativa do teorema de Bloch: Os autoestados de H podem ser
escolhidos de forma que associado a cada ψ existe um vetor k tal que
ψ(r + R) = eik·R ψ(r)
(2.13)
para todo R na rede.
Os elétrons cujos estados são dados pela eq. (2.13) são conhecidos como elétrons
de Bloch.
9
2.5
As funções de Wannier
As funções de Bloch são periódicas no espaço recíproco. Elas podem portanto ser
representadas como uma série de Fourier
1 X
ψ m (k,r) = √
am (R, r)eik·R .
N R
(2.14)
as funções am (R, r) na expansão são chamadas de funções de Wannier. Invertendo (2.14)
obtemos
1 X −ik·R
1 X ik·(r−R)
am (R,r) = √
e
ψ m (k, r) = √
e
um (k, r) .
N k
N k
(2.15)
Em (2.15) a soma é feita sobre todos os vetores da primeira zona de Brillouin.
Como as funções um (k, r) têm a periodicidade da rede, as funções am só podem depender
da diferença r − R. Cada função de Wannier é centrada no centro de uma célula primitiva.
As funções de Wannier correspondentes a bandas diferentes (índice m) e também sítios
atômicos R diferentes são ortogonais[8],
Z
a∗m (r − R)am0 (r − R0 )dτ = δ RR0 δ mm0 .
(2.16)
As funções de Bloch são ondas planas moduladas pela periodicidade da rede. A
probabilidade de um elétron descrito por ψ m (k, r) em um dado ponto é a mesma para todos
os pontos equivalentes da rede. Assim, estados de Bloch são chamados estados estendidos.
As funções de Wannier, por outro lado, são localizados em pontos individuais da rede. Ao
caracterizar as propriedades eletrônicas de sólidos, ambas as descrições são possíveis. Com
10
separações atômicas crescentes, as funções de Wannier am (r − R) podem ser aproximadas
cada vez com mais precisão por funções atômicas ϕμ (r − R). Estas funções ϕ são soluções
da equação de Schrodinger para um átomo livre,
∙
¸
p2
+ V (r − R) ϕμ (r − R) =
2m
Rμ ϕμ (r − R)
(2.17)
Vamos definir os autoestados atômicos |Rμi , cuja representação no espaço de
coordenadas seja dada por ϕ(r − R), ou seja,
ϕμ (r − R) = hr |Rμi
(2.18)
Definindo
hR =
p2
+ V (r − R) ,
2m
(2.19)
podemos escrever a (2.17) no espaço de estados:
hR |Rμi =
2.6
Rμ
|Rμi .
(2.20)
Método "Tight-Binding" ou Aproximação de Ligações
Fortes
Na aproximação de ligações fortes "tight-binding" supomos que, nas vizinhanças
de cada sítio da rede, o hamiltoniano total do sistema H, pode ser aproximado pelo hamiltoniano hR , de um átomo isolado localizado em um sítio R da rede. Exigiremos que a
11
amplitude hr |Rμi = ϕμ (r − R) das funções atômicas seja bem pequena quando a distância
d = |r − R| exceda uma distância da ordem de um parâmetro de rede. Definimos essa
distância como o alcance da função de onda. Além do mais, estamos permitindo a princípio
que a energia varie de ponto a ponto da rede. Os estados atômicos satisfazem a algumas
propriedades. Primeiramente, notemos que o produto escalar entre dois estados atômicos
centrados em sítios diferentes deve ser bem menor que a unidade:
0 0
hR μ |Rμi =
Z
drφμ0 (r − R0 )φμ (r − R) ≈ 0 .
(2.21)
Isto se deve à exigência anterior de que a amplitude da função de onda deve ser bem
pequena a distâncias da ordem de um parâmetro de rede. Dessa forma, os estados atômicos
formam muito aproximadamente uma base ortonormal, satisfazendo às propriedades:
¯
®
hRμ ¯R0 μ0 = δ RR0 δ mm0
X
Rμ
|RμihRμ| = 1.
;
(2.22)
(2.23)
A primeira propriedade, eq.(2.22), representa a ortogonalidade entre estados centrados em diferentes sítios e com diferentes orbitais, e a segunda, eq.(2.23), representa o
fato de que estes estados formam uma base completa. Os estados de um elétron no sistema
podem ser representado portanto como uma combinação linear desses orbitais atômicos:
|ψi =
X
CRμ |Rμi .
Rμ
Por sua vez, o hamiltoniano será dado por
(2.24)
12
H=
X
p2
+
VR .
2m
(2.25)
R
A equação de Schrödinger se escreve então
H |ψi = E |ψi
(2.26)
Substituindo a expressão de |ψi e usando a propriedade de completeza (2.23), ou
seja, projetando a (2.26) no espaço dos estados atômicos, obtemos:
X
hR0 μ0 |H| RμihRμ |ψi = EhR0 μ0 |ψi .
(2.27)
Rμ
Notando que
hR0 μ0 |ψi =
X
CRμ hR0 μ0 |Rμi
Rμ
X
=
CRμ δ RR0 δ μμ0
(2.28)
= CR0 μ0
(2.29)
Rμ
e definindo
hR0 μ0 |H| Rμi ≡ Hμμ0 (R, R0 )
(2.30)
podemos escrever a (2.27) na forma
X
Hμμ0 (R, R0 )CRμ = ECR0 μ0
Rμ
(2.31)
13
Devemos agora analisar os elementos de matriz Hμμ0 (R, R0 ). Temos,
Hμμ0 (R, R0 ) = hR0 μ0 |H| Rμi
Ã
!
X
­ 0 0 ¯ p2
+
VR00 |Rμi
= Rμ¯
2m
00
R
=
=
­ 0 0¯
Rμ¯
p2
2m
¯ X
­
+ VR |Rμi + R0 μ0 ¯
VR00 |Rμi
Rμ δ RR0 δ μμ0
+
X
R00 6=R
hR0 μ0 |VR00 | Rμi.
(2.32)
R00 6=R
Resta agora estudar o termo hR0 μ0 |VR00 | Rμi; existem dois casos a se considerar,
que são quando R = R´, que corresponderá a termos diagonais, e R 6= R´, correspondendo
a termos não-diagonais, ou "fora" da diagonal:
i) Caso R = R´:
Este termo é chamado de "Termo de campo cristalino". O efeito dos potenciais
vizinhos é de causar uma pequena variação na energia do elétron centrado em R em relação
à sua energia no átomo livre. Quantitativamente, esta pequena variação é dada por este
termo, que pode ser escrito como
X
hRμ0 |VR00 | Rμi ≈ ( μ )δ μμ0
(2.33)
R00 6=R
ii) Caso R 6= R´
Este termo é chamado de "termo de hopping"; ele está relacionado com a
amplitude de probabilidade de um elétron no estado |R0 μ0 i ser transferido para o estado
|Rμi, medido pelos potenciais VR00 ao seu redor. Definimos então
14
X
hRμ0 |VR00 | Rμi ≈ γ μμ0 (R, R0 )
(2.34)
R00 6=R
Podemos reescrever a equação (2.33) da seguinte forma:
Hμμ0 (R, R0 ) =
Rμ δ RR0 δ μμ0
X
+
hR0 μ0 |VR00 | Rμi
R00 6=R
=
Rμ δ RR0 δ μμ0
⎛
= ⎝
+
X
hR0 μ0 |VR00 | Rμiδ RR0 + (1 − δ RR0 )
R00 6=R
Rμ δ μμ0
+
X
⎞
hR0 μ0 |VR00 | Rμi
X
hR0 μ0 |VR00(2.35)
| Rμi
R00 6=R
hR0 μ0 |VR00 | Rμi⎠ δ RR0 + (1 − δ RR0 )
R00 6=R
X
R00 6=R
Na última equação separamos a soma em duas partes, uma correspondendo aos
termos diagonais do hamiltoniano, e outra correpondendo aos termos não-diagonais; usando
as expressões (2.34) e (2.35), podemos escrever para o elementos de matriz do hamiltoniano
tight-binding entre dois estados | Rμi e |R0 μ0 i a expressão
Hμμ0 (R, R0 ) =
em que
_
Rμ
=
μ + Rμ
_
Rμ δ RR0 δ μμ0
+ (1 − δ RR0 )γ μμ0 (R, R0 ),
(2.36)
é a energia efetiva em um sítios da rede. O hamiltoniano é construído
portanto de uma parte diagonal, e de outra não-diagonal. Podemos escrever o hamiltoniano
no espaço de estados atômicos,
H =
_
Rμ |
¯
¯
­
­
Rμi R0 μ0 ¯ δ RR0 δ μμ0 + (1 − δ RR0 )γ μμ0 (R, R0 ) | Rμi R0 μ0 ¯ .
(2.37)
15
Capítulo 3
Redes Complexas
3.1
Introdução
Sistemas complexos são estudados há muito tempo por físicos, matemáticos, bi-
ológos, economistas, etc. Em geral, esses sistemas possuem grande número de elementos
fundamentais, cuja constituição é simples. No entanto o aspectro importante é que o comportamento, no todo, é não trivial.
Henri Poincaré foi o primeiro a mostrar que sistemas relativamente simples podem
ter um comportamento evolutivo indeterminado. Poincaré percebeu este fato após notar
que é matematicamente impossível encontrar a trajetória de três planetas interagindo gravitacionalmente entre si. Com o passar do tempo surgiram novas áreas de pesquisa dentro
da física dos sistemas complexos: sistemas não lineares, redes neurais, sistemas caóticos e
sistemas auto-organizados. A última avalanche de trabalhos ocorre desde a década de 80
quando pesquisadores perceberam que muitas estruturas naturais são auto similares como
os fractais que haviam sido descobertos por Benoít Mandelbrot na década de 70 [9] e [10].
16
As atenções voltadas à ciência dos sistemas complexos começaram a mudar de
foco a partir de 1998, quando Watts e Strogatz [11], com as redes de mundo pequeno,
realizaram uma descoberta surpreendente, baseada em um trabalho de 1967 do psicólogo
Stanley Milgram [2].
O experimento de Milgram consistia em distribuir aleatoriamente cartas entre
cidadãos americanos. Cada carta continha o nome de uma mesma pessoa alvo. Se a pessoa
que estivesse com a carta não conhecesse o destinatário, ela deveria entregar a carta a um
amigo que teria chance maior de conhecê-lo. Ao repassar a carta, a pessoa deveria colocar
seu nome na mesma. O destinatário era responsável por reenviar a carta ao responsável pelo
estudo. Curiosamente, Milgram notou que, em média, cada carta passava por seis pessoas
antes de chegar ao destinatário. Tal resultado ficou conhecido como seis graus de separação
ou efeito mundo-pequeno e mostra que pessoas aparentemente sem nenhuma relação têm
uma grande possibilidade de possuírem, em algum grau, amigos em comum que as aproxime.
Em seu trabalho Watts e Strogatz [11], propuseram um modelo para explicar o
efeito pequeno mundo emergente no experimento de Milgram. Ele incorpora a aleatoriedade
e a localidade, porém a rede definida não é totalmente aleatória, bem como não é totalmente
regular. O modelo proposto inicialmente constituído de uma rede regular e quatro vizinhos,
com n vértices e cada vértice era conectado por k vizinhos. Em seguida, cada vértice é
reconectado aleatoriamente com uma probabilidade p. O resultado dos vértices reconectados
é igual a pN k/2. Dessa forma, quando p for igual a zero a rede é regular e quando p = 1 gerase uma rede aleatória. Este modelo é capaz de caracterizar as principais propriedades do
sistema estudado por Milgram, já que possui alta performance de comunicação entre pessoas
17
distantes, graças as poucas conexões aleatórias e ainda mantém certo grau de regularidade,
representando os núcleos locais de amizade.
Este estudo foi aplicado à rede mundial de computadores -WWW por Albert,
Jeong e Barábasi [9]. Esta rede é formada por páginas WEB interligadas por hiperlinks
que tornam possível a navegação entre elas. O estudo procurou encontrar o número de
hiperlinks que separavam duas páginas escolhidas aleatóriamente nesta rede. O resultado
encontrado mostra que, em média, quaisquer duas páginas da internet estão separadas por
pouco menos de 20 cliques do seu mouse e assim o efeito mundo pequeno também está
presente neste sistema.
Os trabalhos seguintes representam as primeiras tentativas de modelagem da internet. Para isso os pesquisadores passaram a utilizar como ferramenta os grafos. Mesmo
sendo conhecidada desde Leonard Euler no início do século XVIII, a teoria de grafos só foi
desenvolvida mais profundamente no século XX.
Os estudos de sistemas complexos modelados com a teoria de grafos atualmente
são ferramentas de várias aplicações, como os trabalhos de Albert e Barábasi [1],[9],[10];
Dorogovtsev e Mendes,2002 [12]; Newman, 2003 [13]; Potterat [14]; têm grande influência
na Mecânica Estatística, além, é claro, da Teoria de Grafos, onde os trabalhos de Erdös
e Renyi [15] foram pioneiros. É cada vez mais evidente que a estrutura, a função e a
evolução dessas redes não são uniformes, e sim, são governadas por princípios robustos,
o que conduz a uma crescente necessidade de se desenvolver ferramentas para que esses
princípios possam ser entendidos. Uma abordagem dos estudos em redes é a criação de
modelos de formação de redes, como o pequeno mundo (Watts e Strogatz, 1998[11]) e o
18
livre de escala (Barábasi e Albert, 1999 [1]), os quais permitem que as propriedades de
redes sejam estudadas analiticamente ou por meio de simulações em computador. As Redes
Complexas também abordam o uso de medidas que ajudam a caracterizar as propriedades
de um determinado sistema.
3.2
Nomenclatura e Conceitos Básicos
Um grafo G(Ω, Υ) pode ser definido como um conjunto de vértices Ω e um conjunto
de conexões Υ. Em alguns casos, cada vértice do conjunto Ω está associado a uma posição
no espaço euclidiano. Nestes casos, dizemos que o grafo é geométrico. Cada elemento do
conjunto Υ associa dois elementos do conjunto Ω, assim, se (i, j) ∈ Υ então existe uma
conexão entre o vértice i e o vértice j do grafo. Chamamos de grafos direcionados aqueles
que fazem distinção entre os elementos (i, j) e (j, i), isto é, a conexão que vai de i para j não
é a mesma que vai no sentido contrário. Quando esta restrição não é imposta dizemos que
os grafos são não-direcionados. Conexões direcionadas são geralmente representadas por
setas indicando a direção da ligação, enquanto conexões não direcionadas são representadas
por uma linha simples.
A maioria dos grafos reais não são binários, ou seja, as conexões não podem ser
representados simplesmente por 1 (existe) ou 0 (não-existe), nestes casos devemos introduzir
uma nova quantidade que informa a intensidade da interação entre dois vértices. Com esse
objetivo, definimos o peso da conexão entre o vértice i e o vértice j como ci,j . Assumimos
que não existe conexão entre i e j quando ci,j = 0.
Por vezes, é muito útil representar um grafo por uma matriz, que recebe o nome
19
de matriz de adjacência. No caso dos grafos binários, iremos denotar a matriz de adjacência
por A ( com elementos ai,j ), enquanto a notação usada para os grafos não binários será
C (com elementos ci,j ). O elemento ai,j é igual a unidade se existe uma conexão entre os
vértices i e j, caso contrário seu valor é nulo. O mesmo ocorre para os grafos não-binários
porém, neste caso o valor de cada elemento da matriz de adjacência é igual a intensidade de
conexão entre i e j,ou seja ci,j .Por exemplo, o grafo binário da Figura 3.1 em que o vértice
1 está conectado através de arcos não direcionados apenas com os vértices 2 e 4, já para o
grafo não-direcionado apresentado na Figura 3.2 pode ser representado por seguimentos de
retas orientados, apresentando a intensidade do arco de ligação.
Figura 3.1: Exemplo de um grafo binário não-direcionado.
onde as respectivas matrizes adjacência são:
20
Figura 3.2: Exemplo de um grafo não-binária direcionado.
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
A=⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎛
0 1 0 1 0 0 0 ⎟
⎜ 0 0, 2 0 0, 2 0
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 0, 3 0
0
1 0 1 0 0 1 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0
0
0
0
0 1 0 1 0 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
e não-binária C = ⎜ 0 0
0
0 0, 3
1 0 1 0 0 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0
0
0
0
0 0 0 1 0 0 0 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0
0
0
0
0 1 0 0 0 0 1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
0 0
0
0
0
0 0 0 0 0 1 0
0
0
0
0
0
0
0
⎞
0 ⎟
⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
⎟
0 ⎟
⎟
⎟
⎟
0, 4 ⎟
⎟
⎟
⎠
0
(3.1)
É interessante ressaltar que, pelo fato do grafo ser não direcionado, sua matriz de
adjacência é simétrica, ou seja, ai,j = aj,i .
O formalismo dos grafos e a utilização da sua notação matricial são ferramentas
poderosas para o estudo de sistemas complexos.
21
3.3
3.3.1
Modelos de Redes Complexas
Introdução
Utilizamos o termo redes complexas [12] e [14] para a referência dos grafos que
possuem organizações topológicas específicas e estão relacionados a um sistema físico real.
Alguns exemplos de redes complexas estão apresentados nas Figuras 3.3, que representa
uma rede de contatos sexuais caracterizadas como rede de escala livre [14] e na Figura 3.4
construída a partir de uma rede de amigos de uma escola americana, determinando uma
rede de pequeno mundo [9].
Figura 3.3: Diagrama representando uma rede de contatos sexuais, Potterat.
Devemos destacar as redes complexas provenientes de modelagem matemática que
22
Figura 3.4: Rede de amigos de uma escola E.U.A. James Moody [7].
busca reproduzir os aspectos quantitativos que emergem das redes complexas reais. Fato
observado, que ao longo da última década os novos modelos propostos tornam-se capazes
de modelar mecanismos de muitos e diferentes sistemas complexos.
3.3.2
Redes Aleatórias
Os trabalhos de P. Erdös e A. Rényi [15] em meados de 1950 constituem uma
das bases da teoria moderna das redes complexas. Nesses trabalhos, os autores estudaram,
do ponto de vista matemático, um sistema formado por E conexões distribuídas aleatoriamente entre N vértices. Mesmo sendo o primeiro modelo amplamente estudado, o mesmo
não possui muitas aplicações relevantes já que poucos sistemas possuem tal grau de aleatoriedade. Anatol Rapoport propôs [12] a utilização das redes aleatórias para explicar o efeito
23
do mundo pequeno encontrado no experimento de Milgram. Com este modelo ele conseguiu
obter o valor 6 para o número de pessoas que separam dois indivíduos escolhidos ao acaso,
entretanto o modelo não leva em conta o fato de que as pessoas possuem um núcleo local
de amizades e não distribuídas de maneira aleatória por toda a população, a ilustração da
Figura 3.5.
Figura 3.5: Ilustração de uma rede aleatória.
3.3.3
Redes Regulares
Este é o modelo conhecido pelos físicos há mais tempo. Geralmente, essas redes são
geográficas, ou seja, os vértices possuem uma posição bem definida no espaço Euclidiano.
Além disso, as conexões são distribuídas somente entre os vizinhos topologicos de cada
vértice. Como vimos no capítulo anterior, a Física do Estado Sólido, a rede regular é uma
ferramenta indispensável para representação dos átomos em uma estrutura e suas intereações
24
locais.
3.3.4
Redes de Mundo Pequeno
Este foi o modelo de rede proposto por D.J. Watts e S. Strogatz [11] para explicar o
efeito mundo pequeno emergente no experimento de Milgram. Ele incorpora a aleatoriedade
e a localidade dos dois modelos discutidos anterioremente de uma maneira que o torna
completamente diferente de ambos. O modelo consiste basicamente em reorientar todas as
conexões de uma rede regular com uma probabilidade p. Quando p = 0 nada se altera e
mantemos a topologia regular. Quando p = 1, todas as conexões são alteradas e a rede
torna-se aleatória. Para os valores de p contidos nesse intervalo a rede assume a topologia
mundo pequeno, conforme a ilustração da figura 3.6 a rede (1) apresenta uma rede regular,
que é considerada um caso particular de rede complexa, para a (2) o fator de aleatoriedade
é introduzido obtendo uma rede totalmente aleatória, e por fim uma rede pequeno mundo
é apresentada em (3), para um determinado fator de aleatoriedade entre p = 0 e p = 1.
Figura 3.6: Ilustração de redes de pequeno mundo segundo os autores Watts e Strogatz
para diferentes probabilidades de conexão. 1 - rede regular. 2 - rede aleatória. 3 - rede
mundo pequeno.
25
3.3.5
Redes Livres de Escala
Graças aos avanços computacionais nas técnicas de aquisição e armazenamento de
dados de redes reais, os pesquisadores perceberam que grande parte dos sistemas físicos
ainda não se adequava a nenhum dos modelos estudados anteriormente. Do ponto de vista
topológico, dois fatores tornavam as redes reais incapazes de serem investigadas através dos
modelos existentes. São eles:
i) as redes estão em constante evolução, com vértices e conexões entrando e saindo
do sistema a todo instante;
ii) os novos vértices tendem a se conectar com vértices que possuem grande número
de conexões. Este segundo fator ficou conhecido na literatura com dinâmica de anexação
preferencial.
Em 1998 Watts e Strogatz mostraram que a rede neural do verme Caenorhabditis
elegans, a rede de energia elétrica do oeste dos Estados Unidos e a rede de colaboração de
atores exibia o efeito de mundo pequeno[11].
Matematicamente falando, o que esses autores perceberam é que a distribuição de
conectividade das redes reais obedece a uma lei de potência, caracterizada por um decaimento exponencial. Ao contrário, a distribuição de conectividade das redes aleatórias segue
a distribuição de Poisson, caracterizada por um pico bem definido e decaimento exponecial.
Nas redes regulares infinitas a distribuição de conectividade é dada pela função delta de
Dirac, pois todos os vértices realizam o mesmo número de conexões. Isso demonstra que
26
a presença de vértices com intensa conectividade (hubs) nas redes aleatórias, regulares e
mundo pequeno (já que esta é a interpolação das duas primeira) é praticamente nula e que,
como foi comprovada, este não é o caso da maior parte das redes reais.
As redes cuja distribuição de conectividade obedece a uma lei de potência, ficaram
conhecidas como redes livres de escala. Este nome faz referência a ausência de um pico na
distribuição de conectividade, indicando uma escala característica ao sistema (como ocorre
em grafos aleatórios).
3.3.6
Rede Apoloniana
Esta rede tem origem histórica ligada com o problema de Apollonius de Perga
[7],para determinar a melhor cobertura de um plano por círculos. Nessa solução clássica,
três círculos tangentes geram uma região que deve ser preenchida por novos círculos menores
que tangenciam os iniciais, e assim sucessivamente. Este problema da cobertura ótima de
um plano por círculos, está relacionado com o problema de empacotamento de esferas no
espaço, ilustrado na Figura 3.7, e ampliado o tangenciamento dos círculos na Figura 3.8.
O tamanho dos círculos segue uma lei de potência com o expoente em torno de
1,3.
A rede Apoloniana é definida a partir da solução dos círculos tangentes, ao se
estabelecer uma ligação entre n centros dos círculos que se tangenciam.
Uma importante questão que tem sido explorada muitas vezes na ciência de redes
27
Figura 3.7: Ilustração da conexão de círculos tangentes.
é o problema de apropriadas redes complexas para sistemas que ocorram jogos de conectividade e regras essenciais. Para esta proposta, redes Determinísticas representam estratégia
ideal, desde que controláveis e sujeitas as restrições do problema, por exemplo, espaço,
tempo, economia e outras limitações. Usando modelos determinísticos, poderá ser possível
identificarmos outras propriedades de redes, como a conectividade, o empacotamento, a
participação das ligações, etc. Alguns exemplos de redes determinísticas são classificadas
em escala livre, sendo essas perfeitamente usadas para descrever redes em crescimento [1],
[3] e [9], porém muitas têm a possibilidade de serem constuídas no espaço euclidiano. Em
outras palavras, a classe de redes Apolonianas formam uma nova abordagem e que pode
ser determinística ou randômica, são livres de escala, apresenta efeitos de mundo pequeno,
está inserida no espaço euclidiano.
Além das várias características desta rede, a Apoloniana é um excelente modelo
para estudar propriedades de sistemas sem simetria de translação e com simetria de escala.
Para a geração da rede, realiza-se a conexão dos centros das esferas por linhas, e
28
Figura 3.8: Ilustração de um empacotamento de círculos tangentes.
então, obtemos uma rede com crescimento triangular, representada pela Figura 3.9 :
Figura 3.9: Ilustração das gerações da rede apoloniana. 2-D. Para cada n = 0,1,2,3 os
respectivos sítios 3,4,7,16.
A partir da figura acima podemos ver que, para cada geração n ≥ 2 o número de sítios N é acrescido por um fator 3n−1 e as ligações de cada sítio i multiplicada por um fator 2.
Mais precisamente, a geração n (n = 0, 1, 2, ...) onde os m(k, n) = 3n , 3n−1 , 3n−2 ..., 32 , 31 , 3,
29
e os 3 vértices com grau k = 3, 3 × 2, 3 × 22 , ..., 3 × 2n−1 , 3 × 2n , e 2n+1 , respectivamente.
Utilizando a teoria dos grafos, podemos contruir a matriz adjancência para as
primeiras gerações da rede apoloniana, para isso consideraremos as ligações pela representação do algarismo 1 e a não-ligação pelo zero. Na Figura 3.10, representamos como se dá
a construção da matriz para três gerações.
011110111100000
101101100001101
110100000000000
111011100000000
100100100000000
010100100000000
110111001110111
100000001000000
100000110110000
100000101000000
000000101000000
010000000000100
010000100001011
000000100000100
010000100000100
Figura 3.10: n=1 (azul), 2 (vermelho) e 3 (preto)
A rede apolononiana tem sido usada como substrato para construção de modelos
de interação magnética, conforme os trabalhos de Andrade e Hermann [16], apresentam
propriedades magnéticas e termodinâmicas do modelo de Ising definido na rede triangular
apoloniana. Os estudos definem valores de constantes de acoplamento para interações ferromagnéticas e anti-ferromagnéticas. Outras análises eletrônicas via modelos de Hubbard,
foram exploradas por Herrmann e André Souza [17].
30
Capítulo 4
Estados Estendidos e Localizados
4.1
Modelos Desordenados
O entendimento de propriedades físicas dos sólidos sempre foi de crucial importân-
cia para a compreensão da estrutura da matéria e o desenvolvimento da ciência. A criação da
Mecânica Quântica possibilitou a explicação de fenômenos até então pouco compreendidos,
bem como alavancou o surgimento de novas propostas e idéias na física.
Definimos, no capítulo 2, um cristal como um arranjo regular e períodico de átomos, e vimos que existem propriedades de simetria para um cristal ideal. A grande maioria
dos cristais não possuem formação tão regular, na realidade a maioria sempre apresentam algumas impurezas, possuem alguma desordem, que é gerada pela presença de átomos
diferentes na rede principal, ou até mesmo uma distorção.
O efeito da desordem é sempre quebrar alguma simetria do sistema. Quando
trabalhamos com sistemas desordenados, não podemos mais lançar mão de argumentos de
simetria, como invariância por translação, e nem de resultados que dela são decorrentes,
31
como o teorema de Bloch [5] e [8]. Em uma rede cristalina por exemplo, onde alguns
átomos do cristal são substituídos por átomos de outra espécie, não podemos mais dizer
que o mesmo tipo de átomo aparece em r e em r + Rn ; mas podemos assegurar que existe
um átomo de um tipo ou de outro em cada sítio da rede. A grande maioria dos sistemas
físicos reais não têm simetria translacional, apresentando algum tipo de desordem natural
ou produzida. Conhecido o grau de desordem, os efeitos em uma rede não poderão ser
desprezados devendo ser adotados modelos que contemplem as características, para um
entendimento adequado de suas propriedades. Esses modelos podem ter uma desordem
estrutural, na qual átomos idênticos são colocados em um arranjo espacial desordenado ou,
uma desordem composicional, na qual uma rede ordenada possui átomos de diferentes tipos.
O entendimento das propriedades eletrônicas dos modelos desordenados, ou seja,
que não apresentam a periodicidade cristalina, torna-se um objeto importante de estudo.
Faz-se necessária a explicação das propriedades de transporte nesses cristais e como os estados quânticos estão localizados no mesmo. Em 1958, Paul Anderson [4] cria uma explicação
de grande importância para o entendimento de diversas propriedades das estruturas sólidas,
sobretudo a transição metal-isolante.
Anderson mostrou que a natureza dos estados eletrônicos em sólidos desordenados apresenta uma forte dependência com o grau de desordem existente. Para desordem
forte os estados eletrônicos são exponencialmente localizados e o material torna-se isolante.
Para um grau de desordem intermediário o sistema pode apresentar uma transição metalisolante. Para um grau de desordem fraca as funções de onda eletrônicas são estendidas
e o comportamento do sistema é tipicamente metálico. O estudo do grau de desordem de
32
funções de onda é de grande valia para o entendimento da existência de metais e isolantes.
4.2
Localização de Anderson
Vamos considerar um sistema composto por uma rede homogênea de
29 Si
e uma
série de impurezas de 31 P como mostra a Figura 4.1 . O fósforo se encontra com um elétron
adicional cujo o momento de spin pode interagir com spins de uma rede dentro de uma
zona conhecida por região de localização. É interessante analisar a localização do elétron
em função da concentração de impurezas na amostra.
Figura 4.1: Ilustração do modelo de desordem apresentado por Paul Anderson. Spins
nucleares adicionados às impurezas.
No caso em que a concentração de impurezas é alta, temos que os elétrons podem
mover-se livremente em torno da rede, pois as regiões de localização começam a separarse. Um estudo de Ressonância Eletrônica Paramagnética desenvolvido, mostra os espectros
33
correspondentes a diferentes valores na concentração do fósforo.
Podemos observar na Figura 4.2, a localização de funções de onda para diferentes
concentrações de fósforo na amostra.
a resposta magnética dos elétrons de Si depende da concentração de
Figura 4.2: Sinais de ressonância paramagnética nuclear do fósforo, Harrison [18].
P . Para sistemas diluídos, nota-se claramente a contribuição dos spins com orientação
distintas. No entanto, para altas concentrações, observa-se que os sinais atribuídos a cada
orientação do spin eletrônico desaparecem e dão lugar a um único sinal central, atribuído
a um interligação de sinais. A estas concentrações, o elétron de fósforo pode mover-se
por regiões maiores e detecta campos magnéticos separados. As perturbações dos sinais,
correspondem aos distintos estados de spin dos átomos de silício que interagem com o estado
eletrônico.
34
Para entender este fenômeno, é preciso estimar o tempo de meia-vida associado ao
elétron segundo a regra de Ouro de Fermi [5]:
h 2 1
1
'
hJ i ;
τ
2π i,j W
(4.1)
em que W é um parâmtro associado a desordem no sistema e J é a interação entre o spin
eletrônico e os spins nucleares. Segundo a expressão, os valores correspondentes a este tempo
são da ordem de 10−7 s. Contudo, o valor experimental atribuído a esta quantidade oscila
entre os 10s e 100s. Para atacar este problema Anderson [4] propôs gerar um hamiltoniano
mais sensível, baseado nas interações primeiras dos sítios. O sistema que se deseja descrever
corresponde a uma rede de spins que se encontram nas posições Ri . A interação entre os
spins se dá entre os primeiros vizinhos, ilustrado na Figura 4.3.
Figura 4.3: Rede de primeiros vizinhos.
35
4.2.1
Localização de Sistemas Unidimensionais
Vamos considerar um sistema periódico unidimensional como se mostra na ilustração da Figura 4.4 ,
Figura 4.4: Rede unidimensional periódica. Cada célula constando de energia E diferentes
e parâmetro 2a.
A relação de dispersão neste caso é similar a uma rede ordenada. Contudo, pode
notar-se que em k = π/2a aparece uma descontinuidade ou salto energético denominado
gap. Assim, introduzimos no espectro mais e mais gaps, surgindo um questionamento, quais
estados são permitidos ou proibidos.
Para um melhor entendimento, comecemos com a equação de Schrödinger unidimensional dada por:
¯→®
¯→®
u
u = E ¯−
H ¯−
(4.2)
¯− ®
u vem dado por amplitudes uj de cada sítio. Uma forma
em que onde o vetor de estado ¯→
de expressar a estas amplitudes de sítio em forma recorrente pode ser feita mediante a
matriz de transferência Pj tal que:
36
⎛
⎛
⎞
⎜ uj+1 ⎟ ⎜
⎟=⎜
⎜
⎠ ⎝
⎝
uj
|
⎞⎛
−Ej
V
⎞
−1 ⎟ ⎜ uj ⎟
⎟
⎟⎜
⎠
⎠⎝
uj−1
1
0
{z
}
(4.3)
Pj
onde V é o potencial de interação entre os primeiros vizinhos. As condições iniciais vêm
dadas por formas independentes
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ u0 ⎟
⎜ 1 ⎟
⎜
⎟ = ⎜ ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
0
u1
⎛ ⎞
⎛
⎞
⎜ 0 ⎟
⎜ u0 ⎟
⎜
⎟ = ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝
⎠
1
u1
(4.4)
Para um número L de iterações teremos então:
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ uj+1+L ⎟
⎜ uj ⎟
⎜
⎟ = Pj+L ...Pj ⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
uj+L
uj−1
(4.5)
Podemos pensar que devido a desordem na rede estas matrizes são estatisticamente
independentes e de variáveis aleatórias. A informação sobre a localização dos estados está
contido no produto Pj+L , Pj+L−1 ...Pj.
No caso de apenas dois sítios, temos que encontrar os autovalores λ da matriz
transferência, tal que:
λ2 −
− E0
λ+1 = 0
V
λ =
(4.6)
− E0
±
V
sµ
− E0
V
¶2
−1
(4.7)
37
Figura 4.5: Relação de dispersão para uma rede unidimensional periódica.
Multiplicando uma e outra vez em cada interação encontramos a solução na forma:
⇒ e±ika | − E0 | > 2V
(4.8)
⇒ eiπ−ka | − E0 | ≤ 2V
(4.9)
Vejamos agora para um sistema desordenado onde as matrizes Pj são independentes. Aqui tem que, para o limite de sistemas infinitos;
lim
L−→+∞
°
→°
−
°
°
ln °PL ...P1 X °
L
=γ>0
(4.10)
em que γ é o expoente de Lyapunov. Para o dímero que vemos este expoente é justamente
k = π/2a.
38
Agora, se tivermos um número n de bandas, podemos observar um comportamento conforme a curva da Figura 4.5.
Esta função, neste caso em que tomamos o limite L −→ ∞, passa a ser uma função
superiormente semicontínua.
4.2.2
Densidade de Estados
Conforme P. Dean [19], quando deseja-se calcular o expoente de Lyapunov, que
é uma das ferramentas para o grau de localização dos autoestados eletrônicos, para uma
sistema binário unidimensional. As condições iniciais vêm dadas segundo:
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜ u0 ⎟ ⎜ 0 ⎟
⎜
⎟=⎜ ⎟
⎝
⎠ ⎝ ⎠
1
u1
(4.11)
Recordando que a partir destas amplitudes podemos calcular, mediante a
matriz de transferência, as amplitudes dos restantes dos sítios do sistema. A mudança de
sinal na amplitude de um sítio a outro determina um nó na função de onda. O número de
nós desta função tem que ser diretamente proporcional ao número de onda k. Se partirmos
de um estado fundamental (k = 0), nós encontramos com uma amplitude que não varia de
sinal e a medida que incrementamos é o número de onda k em δk = 2π/N a aparecem os
nós. Portanto, o número de nós (ou variações de sinal) é igual ao número do estado.
Neste sentido teremos para todos os nós:
Número de nós = N( ) =
Z
N ( 0 )d 0 ,
−∞
se temos desordem no sistema podemos descrever a amplitude como antes, e dizer:
(4.12)
39
uL α eγL ,
(4.13)
no sistema desordenado teríamos
k =
k =
√
2m
,
~
p
2m | |
,
~
≥0
<0
(4.14)
Por outro lado, podemos calcular o expoente com a seguinte integral principal,
1
k= P
π
Z
k( 0 )d 0
− 0
(4.15)
Esta expressão para o expoente de Lyapunov é válida para qualquer relação de
disperção, incluindo o regime localizado.
4.2.3
Localização de Autofunções
De acordo com a publicação de Pastawski, et al. [20], para a consideração de um
sistema unidimensional de período L tal como se mostra na ilustração da Figura 4.6,
Podemos imaginar que em um período se tem um estado localizado no sítio Lα .
Contudo, este subsistema não se encontra fechado e se interliga com outras células idênticas.
O que obtemos então é uma super-rede. A interação entre os sítios de localização de
subsistemas vizinhos vem da seguinte relação:
­
®
Vα0 ,α = α0 1 |V | αL = u∗α0 1 uαL V
(4.16)
40
Figura 4.6: Sistema unidimensional periódico.
Se existir essa interação, então se forma uma banda para cada estado do subsistema:
' Eα0 + 2Vα,α cos kL
∙
0¸
1
α (k) − Eα
arc cos
k =
L
2Vα,α
α (k)
(4.17)
Extendendo ao plano complexo se tem:
∙ 0
¸
1
−1 Eα − α (k)
k = cosh
L
2Vα,α
(4.18)
Para valores grandes do argumento, o cosseno hiperbólico se comporta como uma
exponencial, de modo que a função inversa se comporta como um logaritmo natural, assim:
k'
− Eα0
1
ln
L
2Vα,α
(4.19)
41
os valores de amplitude nos sítios extremos do subsistema assumem:
u1 = e−Lc /ξ α
uL = e−(L−Lα )/ξ α
(4.20)
onde ξ α é a longitude de localização do auto estado α − ésimo, cujo centro de localização
está no sítio Lc . Teremos então:
k'
1
1
ln eL/ξ =
,
L
ξα
(4.21)
ou dizer, o expoente de Lyapunov é o inverso da longitude de localização. A ilustração da
Figura 4.7 apresenta um espectro de bandas que retratam uma rede desordenada.
Figura 4.7: Bandas de energia em uma super-rede de desordem.
42
4.3
O Hamiltoniano Tight-binding e a Teoria de Localização
O hamiltoniano associado à interação de primeiros vizinhos é definido por:
H=
X
X
Ei |iihi| +
Vi,j |iihj| .
i
(4.22)
i,j
Supondo que as energias do sítio Ei podem ter valores arbitrários em um intervalo
de largura W e o termo Vi,j diminui rapidamente com a distância entre os sítios i → j. A
largura W é chamada de força ou intensidade da desordem e este termo controla a transição
metal-isolante. Anderson mostrou que dependendo ou não da desordem pode haver ou não
transporte eletrônico. Essa transição é controlada por um valor de W chamado de valor
crítico e conhecido por W c. Quando W = 0 vale o teorema de Bloch e para valores
diferentes em redes que não apresentam simetria de translação as funções de Wannier [8].
Os auto-estados e as auto-energias do Hamiltoniano (4.22), são calculados através
da equação de auto-valores dada pela equação(2.26)
H |ψi = E |ψi
É possível escrever as soluções para os estados estacionários na forma de combinações lineares dos orbitais atômicos | i i dada por:
|ψi =
X
ci | i i
(4.23)
i
onde os auto estados | i i formam uma base ortogonal para o espaço das soluções do
hamiltoniano dado por (4.22) e |ci |2 representa a amplitude de probabilidade de encontrar
o elétron no sítio i.
43
Introduzindo a equação (4.23) e o hamiltoniano (4.22) na equação de autovalores
(2.26), temos que a equação de Schrödinger fornece as relações entre as amplitudes de
probabilidades dadas por:
Eci = i ci +
X
Vij cj .
(4.24)
j
Simplificando a equação anterior, podemos considerar que o termo Vij , também
conhecido como termo de hopping, seja constante e os termos não-nulos são apenas entre
os primeiros vizinhos. Desta forma podemos escrever:
Eci = i ci + V
X
cj+i
(4.25)
j
onde a soma em j é feita sobre os primeiros vizinhos e V tem unidade de energia.
Para o modelo de Bloch em uma rede unidimensional cristalina, podemos considerar novamente que W = 0, ou seja, não há desordem. Assim, todas as energias
constantes e iguais a
0,
i
são
ou seja:
i
=
0, i
= 1, 2, 3, ...
(4.26)
Para uma cadeia linear onde os termos de hopping são constantes e diferentes de
zero apenas para os primeiros vizinhos, temos que
Eci = i ci + V
X
cj
j=i,i+1
substituindo (4.26) em (4.27), temos que:
(4.27)
44
(E −
0 )ci
= V (ci−1 + ci+1 )
(4.28)
As soluções tipo ondas de Bloch podem ser usaddas como solução da equação
anterior. Desta forma, tomando
cn = c0 eikn
(4.29)
e substituindo em (4.28), temos que:
E=
0
+ 2t cos(k)
(4.30)
que é a relação de dispersão obtida para o modelo de Bloch unidimensional [20] com potencial constate em cada sítio da rede e dado por
0.
As bandas de energia permitidas neste
caso é dada por:
0
− 2t < E <
0
+ 2t
(4.31)
Anderson estudou o caso mais geral em seu modelo, tomando W e t diferentes de
zero, o que torna o problema muito mais complicado. Ele resolveu o problema utilizando
técnicas matemáticas sofisticadas como a teoria de perturbação [4], tendo como termos
perturbativos W e t, operadores de Green, técnicas de perturbação diagramática. Também
mostrou que se um sólido possui uma estrutura ordenada, então todos os estados eletrônicos
deste sólido são estendidos por toda a cadeia como uma onda de Bloch. De posse de
alguma desordem, seja ela estrutural, posicional ou de qualquer natureza, pode haver ou não
transmissão da função de onda, dependendo da quantidade de desordem existente no sólido.
45
A localização da função de onda da partícula ocorre devido às interferências destrutivas
sofridas ao tentar passar pelas barreiras aleatórias decorrentes do potencial.
A partir da teoria de localização de Anderson, as funções de estado podem ser
classificadas quanto ao grau de desordem presente em estendidas, quando existe um efeito
de desordem W > Wc , e para os os auto-estados quânticos ordenados W < Wc , os estados
são localizados. Existem várias de maneiras de se caracterizar a localização dos estados em
um sólido: coeficiente de participação, expoente de Lyuponov, etc. Segue na Figura 4.8
a representação de funções de onda localizadas e estendidas em uma visão 3-D para um
sistema desordenado bidimensional.
Figura 4.8: Amplitudes de probabilidade para um sistema eletrônico desordenado.
46
4.4
Construção do Hamiltoniano Tight-Binding para a Rede
Apoloniana
Vimos no Capítulo 2 a aproximação tight-binding. A equação do hamiltoniano
(2.37), que expressa a aproximação tight-binding, no espaço de estados dada por:
H =
_
Rμ |
¯
¯
­
­
Rμi R0 μ0 ¯ δ RR0 δ μμ0 + (1 − δ RR0 )γ μμ0 (R, R0 ) | Rμi R0 μ0 ¯
(4.32)
Como vamos restringir a um estudo mais simplificado neste trabalho, podemos ver
a equação acima em uma forma mais adequada. Existem ainda duas aproximações a fazer:
Vamos considerar apenas um átomo por sítio, e também que a interação só existe entre
os primeiros vizinhos. Além do mais, essa interação de primeiros vizinhos é simétrica, de
forma que γ n,n0 = γ 0 n,n = γ. Assim, o hamiltoniano no espaço de estados pode ser escrito
como
H =
X
n
|ni
n
hn| +
X
n6=m
|ni Vnm hn|
(4.33)
onde | n i representa a função de Wannier para um elétron no sítio n. Este é portanto, o
hamiltoniano básico que vamos utilizar daqui por diante.
Conhecida a equação de Schrödinger na formulação matricial, o hamiltoniano
acima fica representado por:
H |Ψi = E |Ψi
e os estados,
(4.34)
47
|Ψi =
4.4.1
X
am |mi
(4.35)
m
Modelo Uniforme
No sistema uniforme, as auto-energias dos sítios são iguais, ou seja,
n
=
0
=0
qualquer que seja n. Obtém-se assim a matriz cuja diagonal é composta pelos elementos
n.
Já o fato de a vizinhança ser não-nula somente entre os primeiros vizinhos, faz com
que essa matriz seja, nessa caso unidimensional, uma matriz tri-diagonal. As interações
de superposição dos vizinhos é então classificada através da especificação de vizinhança e
adotando o seguinte critério:
Vnm = V = 1, se n e m são primeiros vizinhos.
Vnm = V = 0, se n e m não são primeiros vizinhos.
0
= autoenergia = cons tan te = 0
Dessa maneira a construção matricial do hamiltoniano tight-binding fica representada:
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
H = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
..
.
..
.
..
.
0
⎞
··· ⎟
⎟
⎟
0 ··· ⎟
⎟
⎟
⎟
1 ··· ⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
·
·
·
⎟
0
⎟
⎠
.. ..
.
.
(4.36)
48
Esse hamiltoniano possui uma forma bastante simples, e corresponde ao caso em
que o sistema possui simetria de translação, daí as funções de onda para cada átomo em
sítio seguem as funções de Wannier que são localizados em pontos individuais da rede.
Para o caso hamiltoniano da rede apoloniana, onde as interações de primeiros
vizinhos vão sendo geradas e as energias dos autoestados são nulas, podemos apresentar
uma matriz adjacência apoloniana.
Figura 4.9: Matriz adjacência apoloniana referente à geração N = 5.
É importante ressaltar a matriz adjacência da Figura 4.9 é introduzida para o
cálculo numérico de autovalores e autovetores que irão caracterizar a rede apoloniana neste
estudo.
4.4.2
Modelos Árvore 1 e Árvore 2
Para uma explanação mais abrangente, construimos o modelo denominado árvore
1, Figura 4.10. Esse modelo consiste de adotarmos com sítios da rede apenas as interações
49
dos primeiros vizinhos originadas da última geração de sítios. Dessa forma os estados tendem
a uma estrutura homogênea, muito semelhante ao modelo de árvore de Cayley, bastante
explorado na literatura. A rede formada no árvore 1, é gerada a partir do núcleo central.
Figura 4.10: Modelo árvore 1
O modelo é caracterizado por possuir uma quantidade menor de ligações comparado ao modelo apoloniano, assim, a desordem é diminuída e constitui um fator importante nessa análise.
Em um segundo momento, é crucial também a análise das interações segundas
das gerações da rede. A essa estrutura definimos por árvore 2, Figura 4.11, por possuir as
segundas ligações, que por sua vez apresentam as conexões dos segundos vizinhos.
50
Figura 4.11: Modelo árvore 2
A partir das conexões dos sítios para os modelos apolonianos, árvore 1 e árvore 2,
é necessário uma representação geral para uma melhor visualização, de acordo com a Figura
4.12, o modelo apoloniano é descrito por toda a matriz adjacência, seguido dos sítios em
verde que contemplam as conexões árvore 1, o vermelho e o verde o modelo árvore 2.
51
Figura 4.12: Matriz identificadora dos modelos para a geração 3. O modelo verde identifica
o árvore 1. O vermelho acrescido do verde forma contempla o modelo árvore 2 e toda a
matriz o modelo apoloniano.
52
Capítulo 5
Propriedades da Rede Apoloniana
5.1
Caracterização Espectral
A primeira caracterização de propriedades espectrais foi realizada por Andrade
e Miranda [5], a partir da evolução númerica do espectro de autovalores para as nove
primeiras gerações da rede. O cálculo dos autovalores requer uma atenção maior, pois o
grau de caracterização polinomial Pn (λ) cresce assintoticamente com 3n . Para n = 3, temos
a possível fatoração de P3 como:
P3 = (λ5 + 2λ4 − 25λ3 + 28λ2 + 35λ − 48)(λ4 − λ3 − 7λ2 + 7λ + 5)2 λ3
(5.1)
Para os valores de 4 ≤ n ≤ 8 , faz necessário o uso de recursos numéricos para a resolução de seus valores. A equação (5.1) indica que temos cinco autovalores não-degenerados,
um grupo de quatro autovalores duplamente degenerados, e um autovalor triplamente degenerado. Estas observações tornam-se bastante úteis na classificação dos autovalores basea-
53
dos na degenerescência. Desta maneira, classificando os autovalores segundo três classes
(C1 , C2 , C3 ),sendo a primeira para autovalores não-degenerados, a segunda para autovalores duplamente degenerados e a terceira para autovalores que contenham mais de duas
degenerescência.
Quando n = 4, é identificado 9 e 8 autovalores distintos, respectivamente, nas
classses C1 e C2 . Para n ≤ 8, nós observamos que o número de autovalores são escritos
precisamente por 2n−1 + 1 e 2n−1 para C1 e C2 . É notado que os autovalores C1 e C2 para
um dado n não aparecerá novamente para algum outro valor de n.
A classe C3 apresenta diferentes fatores. Para n = 4, contém doze autovalores
degenerados com valor igual a zero (λ = 0) e dois outros triplamente degenerados (λ =
√
√
± 3). Quando n = 5, a degenerescência para λ = 0 e λ = ± 3 é mudada para 39 e 12.
O esquema acima repetido para as geraçõs n ≤ 8 , sugere que: (i) uma vez
que os autovalores λ emergem da classe C3 para conceder n = q, e nunca para uma classe
n ≥ q; (ii) o número de novos autovalores degenerados que emergem da geração q é 2q−3 ; (iii)
(3)
a degenerescência dn,q é aumentada com dn+1,q = 3dn,q + 3. Assim, Dn , o total de números
de autovalores em C3 na geração n, é
n
n
X
X
3
3n−q+2
q−3
= (3n−1 − 2n + 1),
Dn =
2 dn,q =
2q−3
2
2
q=3
q=3
(5.2)
onde para as outras duas classes, temos:
Dn(1) = 2n−1 + 1
e
Dn(2) = 2n
(5.3)
54
A densidade espectral integrada, pode ser obtida através da relação
N
Πn (λ) =
n
Zλ
ρn (λ0 )dλ0
(5.4)
−∞
onde a densidade ρn (λ)dλ conta o número de autovalores em um intervalo dλ em torno do
ponto λ na geração n.
Os espectros são caracterizados pela presença de trechos onde Πn é constante,
correspondente ao gaps em ρn (λ), de vários degraus, correspondente a valores de λ equivalentes a autovalores da classe C3 que contém grande número de autovalores degenerados,
conforme Figura 5.1.
1.0
Π(λ)
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-20
-10
0
λ
10
20
Figura 5.1: Gráfico Π × λ, sétima geração.
(1)
55
5.2
Caracterização dos Auto-estados
A caracterização dos autovalores e dos auto-estados da rede requer a determinação
do espectro e dos auto-vetores apolonianos. Realizamos os cálculos dos auto-vetores utilizando a linguagem de programação Fortran 90 Microsoft, dentro da biblioteca M SIM SL
e da rotina DEV CSF . Os auto-estados encontrados apresentam em todos os seus estados
a simetria de rotação por 2π/3, que poderam ser divididos em duas grandes classes devido a Paridade. Outro método que tornou possível a classificação dos auto-estados, foi a
identificação de estados estendidos e localizados através do Coeficiente de Participação. A
saída de resultados é feita em uma matriz A, de tal forma que seu elemento aij representa
a j − ésima componente do auto estado correspondente ao i − ésimo autovalor, ou seja,
aij represente a componente do auto estado i no sítio j.
5.2.1
Paridade
A classificação dos auto-vetores em estados pares e ímpares é possível através das
expressões:
P ar :
N
X
ai,j 6= 0
(5.5)
j=1
´
Impar
:
N
X
ai,j = 0
j=1
Esta lei não se verifica para todos os autovalores da classe C2. Por exemplo, quando
√
√
λ = + 3, para n = 6, temos 10 ímpares e 2 pares, mas para λ = − 3, encontramos apenas
estados ímpares. Para estados da classe C2, vemos que a cada par de autovalores temos
56
sempre 1 estado par e 1 ímpar.
Nesta análise podemos observar que todos os autovalores das classes C1 , C2 e C3
apresentam estados pares e ímpares. É importante salientar, que a classe C3 por possuir
um maior quantidade de estados degenerados, também apresenta uma maior quantidade de
estados ímpares.
A denominação " ímpar " é um pouco forçada, no entanto, devido ao fato que
a rede é invariante por rotações de 2π/3 em torno do ponto central, esta denominação
expressa o fato que a soma de aij dos 3 sítios que são levados uns aos outros por rotações
2π/3 é nula. Em tais estados o valor de aij correspondente ao sítio central se anula.
5.2.2
Coeficiente de Participação
Existem diversas formas de calcular o grau de localização de um estado eletrônicos,
entre eles: método das funções de Green recursivas, cálculo do comprimento de localização,
número de Thouless, coeficiente de participação, coeficiente de participação inversa, matrizes
de transferência. Desde as características do sistema e do método utilizado para se obter
os auto estados, adotamos o Coeficiente de Participação como ferramenta para o cálculo
sistemático do grau de localização dos estados eletrônicos da rede Apoloniana.
O conceito de coeficiente de participação para aferir grau de localização dos estados
eletrônicos foi introduzido em 1970 por Bell e Dean [19]. Num modelo tight-binding com N
vértices, o coeficiente de participação é definido por:
1
ξ=
N
N
X
i=1
(5.6)
|ai |
4
57
onde ai é a amplitude de probabilidade da função de onda no sítio i. Considera-se que a
função de onda seja normalizada, ou seja, que
N
X
i=1
|ai |2 = 1
(5.7)
O coeficiente descreve a proporção do número total de sítios do sistema que contribuem efetivamente para a função de onda (ou seja, que tem componentes significativamente diferentes de zero). O significado físico da Participação pode ser compreendido
melhor se ilustrarmos dois casos limites:
i) se a função de onda de um estado for igualmente distribuída por toda a rede,
√
com componentes idênticas (ai = 1/ N para todo i), então o coeficiente assuem seu valor
máximo: ξ = 1.
ii) se a função de onda for totalmente concentrada em um único sítio i0 , teremos
ai0 = 1 e todos os demais ai = 0. Portanto, a Participação assumirá seu valor mínimo:
ξ = 1/N. Assim, os valores do Coeficiente de Participação variam entre 1/N (máximo de
localização do estado eletrônico) e 1 (máximo de extensão).
Entretanto, o valor máximo do Coeficiente de Participação de um estado é, em
geral, menor do que 1. Mesmo para uma rede perfeita, sem desordem, apenas o primeiro e
o último autoestado da banda de energia tem Participação 1. Os demais auto-estados são
ondas estacionárias, que são superposições de ondas de Bloch, e que portanto apresentam
nós. Nesse caso, o valor da Participação será menor que 1 e dependerá do modo como
elas são construídas. Na presença de um pequeno grau de desordem, os auto-estados serão
ondas multiplamente espalhadas, e a amplitude em um determinado ponto será resultante
58
de muitas diferentes ondas. Se o grau de desordem for aumentado, de modo que haja uma
flutuação apreciável no potencial, a função de onda tenderá a se concentrar nas regiões
favoráveis do potencial, diminuindo assim o valor do Coeficiente de Participação.
Para caracterizar a natureza dos estados eletrônicos na rede apoloniana, realizamos
o cálculo e a construção gráfica do Coeficiente de Participação Normalizada descrita no
capítulo anterior em função de algumas gerações. Os autovalores são indexados por ordem crescente de seu valor, ou seja, o autovalor λmax corresponde ao máximo valor de λi ,
conforme a ilustração gráfica da Figura 5.2.
___ N = 124
___ N = 367
___ N = 1096
1,0
0,8
ξ/N
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
i/N
Figura 5.2: Relação entre o coeficiente de participação normalizada para diferentes valores de N. O grande intervalo central representando os autovalores da classe de maior
degenerescência C3.
59
Como o número de sítios da rede apoloniana cresce de forma exponencial com
relação à geração, a elucidação desta questão se torna difícil se for feita para todos os
estados. Por exemplo, as próximas gerações teriam 3283 e 9844 sítios que se localiza já
no limite de tratamento numérico para determinação de autovalores e de autovetores com
razoável precisão.
O grande número de estados degenerados são identificados por espaçamentos, onde
o ξ cresce de maneira constante. Note-se por exemplo, a parte do intervalo central corresponde ao autovalor λ = 0, isto é, a maior degenerescência apresentada. Este intervalo é
apresentado de maneira destacada na Figura 5.3.
A rede Apoloniana apresenta, em sua maior parte, estados localizados e apenas
alguns estados estendidos, dentro da classe C3 . A representação gráfica, ajuda a identificar
os picos que determinam estados estendidos do sistema, quanto que as regiões onde ξ/N
decresce com N determina estados localizados.
Um valor relativamente alto de ξ nas primeiras gerações da rede sugere a presença
de estados estendidos nas primeiras gerações. Porém, com o aumento da população dos
estados, a configuração passa a se tornar localizada, conforme representação dos estados
por sítios gerados para o maior valor do Coeficiente de Participação dentro da classe C3,
que é a mais degenerada.
Em comparação com outros modelos que têm sido analisados pelo método do
coeficiente de participação, o caso aqui estudado, apresenta algumas particularidades.
Analisando o espectro é constatada a sua grande degenerescência, faz-se necessário
identificar como está ocorrendo a evolução dos estados através das várias gerações de N .
60
1,0
___ N = 124
___ N = 367
___ N = 1096
0,8
ξ/N
0,6
0,4
0,2
0,0
0,4
0,6
i/N
Figura 5.3:
Todavia, em modelos desordenados, quase não há degenerescência, de modo que pode-se
identificar os estados apenas pelo seu autovalor. No caso da rede apoloniana há, em contrário, uma grande degenerescência. Isso faz com que o número de estados degenerados de
um mesmo λ aumente com N. Assim, não há como identificar um mesmo estado nas gerações seguintes. Desta maneira, utilizamos a medida do coeficiente de participação máxima
e mínima dentro das classes de autovalores C3, C2 e C1, para poder sugerir a evolução de
ξ/N × N . Atentamos também para a paridade dos auto-estados que compõem o espectro,
que pode ser dividido em pares e ímpares. Assim a classificação geral dos estados tem que
61
atender as necessidades da classificação dos autovalores e auto-vetores.
Utilizando gráficos em escala logarítmica é possível seguir claramente o comportamento de ξ e associá-lo ao caráter do estado. Isto se deve ao fato que os valores do coeficiente
de participação ξ ' N 1 determinam o estado ser estendido e para ξ ' N α (α < 1) os estados
serem localizados.
Uma série de ilustrações mostra o comportamento de ξ para alguns estados específicos.
Modelo Apoloniano
___λ=0,ímpar,ξmax(N),p
ξ
inclinação=0,91558
___λ=0,ímpar,ξmin(N),p
100
10
inclinação=0,40164
1
10
100
1000
N
Figura 5.4: Ilustração do máximo e mínimos coeficiente de participação da classe C3, para
o autovalor λ = 0, decorrente das várias gerações criadas N (5, 6, 7 e 8).
A inclinação indicada na Figura 5.4 foi calculada com base nos estados para as
gerações de 5 − 8. É possível, no entanto, perceber que, se tomarmos apenas os pontos
das duas últimas gerações, estas inclinações aumentam, respectivamente para 0,96 e 0,89.
62
Isto pode indicar que, no limite em que o número de gerações aumente, tenhamos que
cada vez mais, o caráter de estado algebricamente estendido fique mais fraco, aproximandose de estados estendidos. Este comentário é válido, também para os outros estados que
discutimos a seguir.
Os estados pares também podem ser analisados de acordo com o mesmo critério.
Porém os estados pares não são apresentados para a rede apoloniana dentro das classes C3
e C2.
Como mostramos que a propriedade de degenerescência dos estados da classe C3
apresenta a mesma regra de crescimento apresentada para o autovalor λ = 0, esperamos
provar que comportamento é semelhante para os estados correpondentes de outros autovalores da classe C3. Por isso, repetimos o mesmo procedimento para outros autovalores
da classe C3, para verificar se a propriedade identificada acima continua válida para mais
alguns casos, isto é, para os valores λ =
√
3 ' ±1, 73.
Os resultados nas Figuras ?? e 5.5 mostram que, para estados ímpares caracterizados por +1, 73 ξ max (N ), a inclinação da reta é menor que 1.0, sugerindo, portanto,
estado muito fracamente localizado. O estado ímpar caracterizado por ξ min (N ), mostra a
inclinação 0, 489 classificando o estado em localizado algebricamente. Os mesmos resultados são observados para o autovalor −1, 73, determinando as mesmas propriedades de
localização.
Como já mencionado anteriormente, os autovalores da rede apoloniana apresentam simetria, porém a paridade dos autovalores negativos não carregam consigo a mesma
característica. Conforme já mencionado os auto estados pares não são observados dentro
63
das classes C3 e C2.
Modelo Apoloniano
___λ=-1,73,ímpar,ξmax(N),p
ξ
100
inclinação=0,89695
___λ=-1,73,ímpar,ξmin(N),p
inclinação=0,80528
10
1
100
1000
N
Figura 5.5:
Estes resultados corroboram a conclusão anterior, que quase a totalidade dos auto
estados do modelo são localizados. Ainda que esta localização seja de caráter fraco. Como
a propriedade de localização é de grande importância para a determinação e classificação
dos estados eletrônicos da rede apoloniana, investigamos agora se para as outras classes do
espectro de autovalores, a mesma propriedade é satisfeita. Adotamos que os autovalores
mais extremos do espectro, isto é λmax > 0 e λmin < 0 pertencem ambos a classe C1. A
dependência do ξ N ×N é mostrada na figura 5.6, mostrando mínimo, é importante ressaltar
que a única classe que apresenta estados ímpares e pares é a classe C1.
Ambos os estados têm inclinação < 1, sendo para λmin igual a 0, 14 e para λmax
64
Modelo Apoloniano, C1
___λ= primeiro
___λ= último
ξ
100
inclinação=0,19882
10
inclinação=0,05076
1
10
100
1000
N
Figura 5.6: Ilustração da Participação versus N , para os autovalores da classe C1. Note-se
que os valores tendem a estados localizados algebricamente.
0, 84. Assim, o estado de λmin é muito mais fortemente localizado.
Finalmente, para classe C2 , investigamos os estados correspondentes aos autovalores duplamente degenerados mais extremos λmax,2 = λN−1 = λN−2 e λmin,2 = λ2 = λ3 .Os
resultados mostram que as propriedades de localização destes estados é similar àquelas
observadas para λmax e λmin , de acordo com a Figura 5.7.
Para concluirmos os aspectos evolutivos dos auto-estados nas gerações apolonianas,
realizamos a inserção das componentes do auto-vetor de maior coeficiente de participação
da rede, para que possamos melhor visualizar o aspecto de que os estados tendem com a
sequência crescente dos valores de N a estados localizados. O que surpreende, pois a rede
apoloniana é definida como sendo uma rede inomogênea, porém os estados são localizados.
65
Modelo Apoloniano classe C2
___ξmax(N),p
ξ
100
___ξmin(N),p
inclinação=0,18275
10
inclinação=0,08499
1
100
1000
N
Figura 5.7: Ilustração da Participação versus N , para os autovalores da classe C2. Note-se
que os valores tendem a estados localizados algebricamente.
Note-se que no gráfico 5.8 e 5.9 a componente am para as gerações g > 5 começam
a aparecer alguns sítios com grande amplitude de probabilidade com relação aos demais, o
que pode ser um estado fracamente localizado, conforme as ilustrações.
Para os autovalores não-degenerados, Figuras 5.10 e 5.11, e duplamente degenerados, Figuras ?? e ?? , pode-se construir as representações gráficas que possui peculiaridades
para os estados máximos e mínimos.
As gerações para o valores mínimos de ordenamento dos autovalores e do coeficiente
de participação, apresentam para os estados da classe C1 e C2 um pico que caracteriza os
estados, em sua grande parte, localizados algebricamente.
66
Autoestados, λ = 0, máximo
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0 0,2
0,4 0,6
-0,1
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
-0,2
0,0
-0,3
-0,4
-0,5
n = 3, Nn = 7
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 4, Nn = 16 n = 5, Nn = 43
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
0,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 6, Nn = 124 n = 7, Nn = 367 n = 8, Nn = 1096
Figura 5.8: Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana,
para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao maior autovalor dentro
de cada geração dentro da classe C3
67
Autoestados, λ = 0, mínimo
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0 0,2
0,4 0,6
-0,1
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
-0,2
0,0
-0,3
-0,4
-0,5
n = 3, Nn = 7
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 4, Nn = 16 n = 5, Nn = 43
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
0,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 6, Nn = 124 n = 7, Nn = 367 n = 8, Nn = 1096
Figura 5.9: Gráfico de am × (Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana,
para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao menor autovalor dentro
de cada geração dentro da classe C3
68
Autoestados, C1, máximo
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0 0,2
0,4 0,6
-0,1
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
-0,2
0,0
-0,3
-0,4
-0,5
n = 3, Nn = 7
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 4, Nn = 16 n = 5, Nn = 43
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
0,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 6, Nn = 124 n = 7, Nn = 367 n = 8, Nn = 1096
Figura 5.10: Gráfico de am ×(Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana,
para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao maior autovalor dentro
de cada geração dentro da classe C1.
69
Autoestados, C1 , mínimo
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0 0,2
0,4 0,6
-0,1
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
-0,2
0,0
-0,3
-0,4
-0,5
n = 3, Nn = 7
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 4, Nn = 16 n = 5, Nn = 43
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
0,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 6, Nn = 124 n = 7, Nn = 367 n = 8, Nn = 1096
Figura 5.11: Gráfico de am ×(Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana,
para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao menor autovalor dentro
de cada geração dentro da classe C1.
70
É importante salientar que os estados apresentam simetria de rotação 2π/3, conforme citado em capítulos anteriores, essa observação é apresentada nos gráficos am ×
(Xm , Ym ), note que os estados que surgem nas gerações são sempre simétricos para o caso
par e para os ímpares são iguais a zero na sua soma geral.
5.3
Estudo dos modelos Árvore 1 e Árvore 2
O estudo das propriedades de localização do modelo Tight-Binding indicam que a
quase totalidade dos estados são localizados algebricamente. Este fato se deve certamente
ao fato que, embora as ligações entre os sítios sejam todas iguais, há um grande número de
sítios com número de conexões distintas. Isto torna a rede bastante inomogênea e, dentro
dos espectros gerais discutidos no capítulo anterior, dá margem ao aparecimento de estados
localizados. Para explorar esta hipótese, vamos considerar modelos tight-binding nas redes
denominadas árvore1 e árvore2 para verificar se os sítios sendo mais homogêneos com
relação ao número de conexões, encontramos um maior número de estados estendidos.
5.3.1
Caracterização Espectral
Os modelos árvore 1 e árvore 2 , possuem um grau de desordem menor, pois são
criados a partir da conservação das segundas e terceiras interações da rede apoloniana .
Dessa forma, uma análise comparativa dos modelos árvore 1 e 2 ao modelo apoloniano
facilita a caracterização do grau da desordem nos sistemas. O modelo árvore1 é semelhante
ao crescimento de uma árvore de Cayley, apresentando bastante homogeneidade, ou seja,
o número de autovalores degenerados é muito maior comparados aos modelos árvore 2
71
Figura 5.12: Espectro integralizado versus autovalores ( Π(λ)x λ ).Valores apresentados
para N = 7.
(que mantém ligações com alguns sítios) e o apoloniano. Nas Figuras 5.12 e ??, estão
apresentados os espectros integralizados em função dos autovalores para quatro gerações
distintas N = 5, 6, 7, e 8.
A comparação entre os espectros das diferentes redes mostra que os autovalores
da rede apoloniana se estendem em um intervalo no eixo λ maior do que aqueles ocupados
pelos espectros das árvores 2 e árvore 1. Fora isto, nota-se que o espectro é caracterizado
também por altos degraus e valores crescentes, correspondendo a autovalores com alta
degenerescência e intervalos sem autovalores (gaps).
Tentamos aplicar a mesma classificação dos autovalores utilizada no estudo da
rede apoloniana, nota-se que o aparecimento de autovalores da classe C2 em A1 e A2 não
72
ocorre, pois os mesmos migram para C3 na geração seguinte, mantendo sempre a mesma
degenerescência. No entanto, as leis de crescimento do número de degenerescência para
autovalores de classe C3, não segue a mesma lei de recorrência observada para o caso
apoloniano.
√
No caso A1, apenas o par de autovalores ± 3 aparece no espectro de classe C3
definido no caso apoloniano.
N =4 N =5 N =6 N =7 N =8
λ=√
0
8
23
62
185
548
2
7
18
56
169
λ=± 3
λ = ±2.44
0
2
6
19
54
λ = ±1.07
0
0
2
6
18
λ = ± 3.00
0
0
0
2
6
λ = ±3.12
0
0
0
0
2
√
Para o modelo A2, além do par ± 3, aparecem apenas 3.83, 0.36, −1.70, −2.49. A
partir deste ponto, os valores de λ para os diferentes modelos são distintos.
Na tabela, acima, ilustramos o número de estados degenerados para os primeiros
autovalores de classe C3 do modelo A1. Apesar de diversas tentativas feitas, não foi possível
obter uma lei empírica que permitisse prever o crescimento de degenerescência em função
da geração com aquelas obtidas para a rede apoloniana.
5.3.2
Coeficiente de Participação
Extendida a análise também para os modelo A1 e A2 em função do coeficiente de
participação.
O modelos árvore 1 é caracterizado por possuir uma homogeneidade maior, pois as
conexões com os sítios são reduzidas, conforme a Figura 4.10. É notado através do gráfico
ilustrado na Figura 5.13 é fato que o valor de ξ/N aumenta a medida que o número de
73
____ N = 124
____ N = 367
____ N = 1096
1,0
0,8
ξ/Ν
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
i/N
Figura 5.13: Os estados eletrônicos apresentam um crescimento da participação a medida
que crescemos as gerações. O gap central, ocorre um crescimento que aproxima os estados
ligeiramente estendidos no meio e nas extremidades os estados mudam essa característica.
74
gerações N cresce. De acordo com a discussão, isto é um indicativo de estados de natureza
estendida. O mesmo método de análise foi utilizado na construção das inclinações gráficas
do modelo árvore 1, e as inclinações dos modelos apresentam as propriedades de desordem.
Os resultados do modelo árvore 1 mostram que os estados degenerados da classe
C3 apresentam estados que estão diferentes de 1.0 sugerindo estados localizados, como
observado 0.99. Apesar que o modelo árvore 1 apresenta estados estendidos, de acordo a
Figura 5.14, os autovalores ξ max e ξ min caracterizam estados localizados algebricamente.
Modelo A1
ξ
___λ=0,ímpar,ξmax(N),p
100
___λ=0,ímpar,ξmin(N),p
inclinação=0,98865
10
inclinação=0,23755
1
10
100
1000
N
Figura 5.14: Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
λ = 0, para o modelo árvore 1.
Ainda para o modelo A1, os autovalores ±1.73,Figura 5.15 e 5.16 também são
apresentados para a analogia ao modelo apoloniano.
75
Modelo Árvore 1
___λ=+1,73,ímpar,ξmax(N),p
ξ
100
inclinação=0,9273
___λ=+1,73,ímpar,ξmin(N),p
10
inclinação=0,19096
1
100
1000
N
Figura 5.15: Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
+1,73.
76
Modelo Árvore 1
___λ=-1,73,ímpar,ξmax(N),p
ξ
100
inclinação=0,9562
___λ=-1,73,ímpar,ξmin(N),p
10
inclinação=0,2501
1
100
1000
N
Figura 5.16: Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores -1,73
para o modelo árvore 1.
O gráfico evolutivo para o modelo árvore 1, também é apresentado, conforme a
Figura 5.17 .
O modelo árvore 2 apresenta as três últimas gerações que classificam a defininção
do modelo. A análise para caracterizar o crescimento de participação será o mesmo utilizado
ao da rede apoloniano. Este modelo A2, apresenta diferenças intrigantes, pois a geração
que apresenta os 367 autovalores são contituídos de estados de maior participação o que
determina um caráter diferente aos modelos apolonianos e árvore 1. Alguma conclusão
concreta poderá ser observada com a expansão do número de gerações, ilustrado na Figura
5.18.
77
Autoestados, λ = 0, árvore 1, máximo
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0 0,2
0,4 0,6
-0,1
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
-0,2
0,0
-0,3
-0,4
-0,5
n = 3, Nn = 7
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 4, Nn = 16 n = 5, Nn = 43
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
0,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 6, Nn = 124 n = 7, Nn = 367 n = 8, Nn = 1096
Figura 5.17: Gráfico de am ×(Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana,
para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao maior autovalor dentro
de cada geração dentro da classe C3 para o modelo Árvore 1.
78
1,0
ξ/Ν
____ N = 124
____ N = 367
____ N = 1096
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
i/N
Figura 5.18: Estados eletrônicos do modelo árvore 2, que mantêm as conexões com as
três últimas gerações. É de caráter diferente o aparecimento de um maior coeficiente de
participação para a geração que apresenta 367 autovalores.
79
Modelo Árvore 2
___λ=0,ímpar,ξmax(N),p
ξ
___λ=0,ímpar,ξmin(N),p
100
inclinação=0,89103
10
inclinação= 0,0
1
10
100
1000
N
Figura 5.19: Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
λ = 0, para o modelo árvore 2.
Os intervalos de degenerescência são claramente identificados e os valores de participação são maiores, de acordo com a Figura 5.19 e 5.20. Importante ressaltar que para o
modelo árvore 2 apresenta estados localizados exponencialmente.
Os estados dos modelos árvore 1 e 2, também apresentam em sua maior parte dos
estados classificados em estados localizados algebricamente. Apesar dos sítios apresentarem
menor número de ligações, que caracterizam uma homogeneidade maior nas iterações, os
80
Modelo Árvore 2
___λ=+1,73,ímpar,ξmax(N),p
ξ
100
inclinação=0,90875
___λ=+1,73,ímpar,ξmin(N),p
10
inclinação=0,20321
1
100
1000
N
Figura 5.20: Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores
+1,73 para o modelo árvore 2.
estados ainda continuam a ser classificados como localizados, dentro das classes C3, C2 e
C1.
81
Modelo Árvore 2
___λ=-1,73,ímpar,ξmax(N),p
ξ
100
inclinação=0,8754
___λ=-1,73,ímpar,ξmin(N),p
10
inclinação=0,34639
1
100
1000
N
Figura 5.21: Ilustração da participação para as gerações 5, 6, 7 e 8, para os autovalores -1,73
para o modelo árvore 2.
82
Autoestados, λ = 0, árvore 2, máximo
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0 0,2
0,4 0,6
-0,1
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
-0,2
0,0
-0,3
-0,4
-0,5
n = 3, Nn = 7
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 4, Nn = 16 n = 5, Nn = 43
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
0,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 6, Nn = 124 n = 7, Nn = 367 n = 8, Nn = 1096
Figura 5.22: Gráfico de am ×(Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana,
para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao menor autovalor dentro
de cada geração dentro da classe C3 para o modelo Árvore 2
83
Autoestados, λ = 0, árvore 2, mínimo
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0 0,2
0,4 0,6
-0,1
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
-0,2
0,0
-0,3
-0,4
-0,5
n = 3, Nn = 7
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 4, Nn = 16 n = 5, Nn = 43
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0,0
0,0
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,8 1,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
0,0
0,0
0,60,8
0,4
-0,1 0,2 0,4 0,6
0,2
0,8 1,0
0,0
-0,2
-0,3
-0,4
-0,5
1,0
0,60,8
0,4
0,2
0,0
n = 6, Nn = 124 n = 7, Nn = 367 n = 8, Nn = 1096
Figura 5.23: Gráfico de am ×(Xm , Ym ), onde (Xm , Ym ) indicam os sítios da rede apoloniana,
para as gerações g = 3, ..., 8. Os estados mostrados correspondem ao menor autovalor dentro
de cada geração dentro da classe C3 para o modelo Árvore 2.
84
Capítulo 6
Conclusões
Nesta dissertação foi realizada uma análise das propriedades dos estados eletrônicos
de um modelo Tight-Binding sobre a rede apoloniana. O trabalho começou com uma
revisão das propriedades do espectro de autovalores da equação de Schrödinger, quando
foi mostrado que sua formulação matricial é feita da mesma matriz de adjacênica da rede
apoloniana. Como mostrado anteriormente a rede possui um espectro altamente degenerado
nos autovalores, o que dá origem a uma classificação dos autovalores em três classes distintas
C1, C2 e C3.Através dessas pode-se montar regras de crecimento de degenerescência. Dentre
essas o autovalor λ = 0 é o que apresenta maior degenerescência.
Os auto-vetores da rede refletem a simetria de rotação de 2π/3 da rede em torno
de seu ponto central. Esta se faz presente em suas componentes, daí o estudo dessas
simetrias determinaram a classificação quanto a sua paridade, em estados pares e ímpares.
Em particular, foi mostrado qeu autovalores de classe C3 adimitam tanto autoestados pares
como ímpares. A razão de participação ou também denominada coeficiente de participação,
85
foi introduzida para a análise do grau de localização dos estados da rede apoloniana. Pode
ser constatado que os estados, dentro das classes, em especial a C3, apresenta em sua grande
parte estados localizados a medida que crescem as gerações da rede. Os estados pares e
ímpares, máximos e mínimos, foram utilizados como indicadores de evolução do coeficiente
de participação para distintas gerações, fato observado que os estados máximos sempre
tendem a estados estendidos, enquanto que os estados mínimos são estados localizados
algebricamente. O coeficiente também foi utilizado para caracterizar os estados nas classes
C1 e C2 e apresentaram a mesma localização para os estados. Estimamos que a presença
quase exclusiva de estados localizados, ainda que fracamente, seja devido à grande diferença
do número de vizinho dentre os diversos nós da rede. Para esclarecer esta questão, fora então
analisadas as propriedades dos estados de duas outras redes, que denominamos de árvore
1 e árvore 2. Nestas, o número de vizinhos em cada sítio de rede fica constante, a menos
dos sítios iniciais e os introduzidos na última geração.
O espectro de autovalores é qualitativamente similar ao de rede apoloniana em
ambos os casos: nota-se a presença de grande degenerescência e de gaps entre os autovalores. Não foi possível estabelecer uma lei de recorrência para o número de autovalores de
classes C3, como obtido para a rede apoloniana. Alguns auto estados têm propriedades
de localização distintas, pois o cálculo de coeficiente de participação indica que, em certos
intervalos, o valor ξ/N cresce quando se aumenta o número de sítios na rede. Isto aponta
para um aumento significativo do número de estados estendidos, o que era de certa forma
esperado, pois as redes e os sistemas estudados tornaram-se mais uniformes. Ainda assim,
nota-se que tem ainda um grande número de estados localizados.
86
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