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Transformação de similaridade
Relembrando bases e representações, nós dissemos
que dada uma base {q1, q2, ..., qn} no espaço real ndimensional, qualquer vetor deste espaço pode ser
escrito como: x = α1q1 + α 2q 2 + ... + α n q n .
α 1 
M
=
x
Q
Ou na forma matricial
 
α n 
Onde q1, q2, ...qn são as colunas de Q e o vetor
~
x = [α1 α 2 ... α n ]′ é dito ser a representação de x
com respeito a base {q1,q2...qn}.
Note entretanto que x pode ser uma coluna de uma
matriz. Assim, se fizermos isto para cada coluna
poderíamos representar toda a matriz em relação
a base Q.
Considere a equação:
Ax = y;
A : ℜn → ℜn
(6)
com a relação a base {q1, q2 ...qn} a equação (6) se
torna:
Ax = y
(7)
onde x e y são as representações de x e y com
respeito a base {q1, q2 ...qn}, assim:
x = Qx e y = Q y
(8)
Substituindo (8) em (6)
temos:
AQx = Qy
(9)
Como Q é uma matriz
nxn não singular, ela
adimite inversa.
Multiplicando ambos
membros de (9) pela
inversa de Q à direita:
Q −1 AQx = y
(10)
Substituindo (7) em (10):
−1
Q AQx = Ax
A = Q −1 AQ
ou
A = QAQ −1
A e A são ditas matrizes
semelhantes.
__________
Seja um vetor b nx1 tal que
os n vetores
b, Ab, A 2b..., A n −1b
São LI e formam uma base.
2
n −1
=
Q
[
b
Ab
A
b
...
A
b]
Assim, tomando
a representação da matriz A com respeito a base
Q será:
0
1

0
−1
A = Q AQ = 
M
0

0
β1 

β2 
L 0 0 β3 

L M M
M 
L 1 0 β n −1 

L 0 1 β n 
0 L 0 0
0 L 0 0
1
M
0
0
Esta matriz é dita estar na forma companheira.
Forma diagonal e forma de Jordan
Uma matriz quadrada pode ter diferentes
representações em relação a diferentes base.
Nesta seção é introduzida uma base particular de
modo que a representação da matriz seja diagonal
ou bloco diagonal.
Definição 5
Seja A uma matriz nxn . O escalar λ em C é
chamado autovalor de A se existe um vetor x
diferente de zero tal que Ax=λx. O vetor x é um
autovetor (direito) de A associado ao autovalor λ.
De Ax =λx, obtemos:
λx-Ax=0
(λI –A)x=0
(11)
onde I é a matriz identidade nxn.
Se [λI-A] é não singular a
única solução para (11) é
x=0. Para (11) ter uma
solução x não nula a
matriz [λI-A] precisa
ser singular, ou seja,
ter determinante zero.
Assim, λ é um autovalor
de A se for uma
solução de
∆(λ) = det(λI-A)=0
∆(λ) é um polinômio
mônico de grau n e é
chamado de polinômio
característico de A.
 − 3 − 4
Ex 6: Seja A = 

5
5


 λ + 3
4 

∆(λ ) = det(λI − A) = det 


−
λ
−
5
5


= (λ + 3)(λ − 5) + 20 = λ2 − 2λ + 5
2
∆
λ
=
λ
− 2λ + 5 é o polinômio característico
(
)
Então,
de A e suas raízes, λ=1+2i e λ=1-2i, são os
autovalores de A.
Note que os autovalores são complexos embora a
matriz A seja real. Não há restrições para este
fato.
As matrizes
0
1
A=
0

0
0
0
1
0
0
0
0
1
−α4 
− α 3 
−α2 

− α1 
 − α1 − α 2 − α 3 − α 4 
 1

0
0
0

B=
 0
1
0
0


0
1
0
 0
bem como A’ e B’ tem o seguinte polinômio
característico:
∆(λ ) = λ4 + α1λ3 + α 2 λ2 + α 3λ + α 4
Estas matrizes podem facilmente ser formadas a
partir dos coeficientes de ∆(λ); são formas
companheiras.
Autovalores distintos ou não levam à algumas
implicações.
Caso1 – Todos autovalores são distintos
Seja qi um autovetor de A associado com λi, ou
seja, Aqi = λiqi.
O conjunto {qi} i=1,2...,n é LI e forma uma base.
Assim se tomarmos uma matriz Q=[q1 q2 ...qn] e a
utilizarmos para aplicar uma transformação de
similaridade em A, como:
0
λ1


λ
2
ˆ = Q −1AQ = 

A


O


λn 
0
temos que  será uma matriz diagonal com os λis
na diagonal.
Teorema 4
Todas matrizes semelhantes tem os mesmos
autovalores.
Corolário: Todas matrizes semelhantes tem os
mesmos traços e determinantes.
Caso 2 –Os autovalores não são todos distintos
Neste caso nem sempre é possível encontrar uma
representação diagonal da matriz.
Forma de Jordan
Caso uma matriz nxn não possa ser diagonalizada
devido a impossibilidade de se encontrar n
autovetores LI, ainda é possível se encontrar um
conjunto especial de vetores que formam uma
base para a representação na forma canônica de
Jordan.
Ex 7: uma matriz 4x4 com λ1 com multiplicidade 3
e λ2 com multiplicidade 1, pode ter as seguintes
formas de Jordan:
0
0

λ1 1 0
λ1 1
λ1
0 λ 1 0 

0 λ


λ
1
1
1

 ou 
 ou 


 0 0 λ1




λ1
λ1






λ2 
λ2 
λ2 
0

0
0
As matrizes são bloco diagonal e a forma que será
considerada depende das características de A.
Voltaremos a este assunto mais na frente.
Funções de uma matriz quadrada
Seja A uma matriz quadrada então:
A k = A A ...A (k termos) e A 0 = I
Seja f(λ) um polinômio de grau finito:
f (λ ) = λn + α1λn −1 + ... + α n −1λ + α n
então
f ( Α) = A n + α1A n −1 + ... + α n −1A + α n I
ˆ Q −1 com A
ˆ na forma canônica de Jordan.
Seja A = QA
Então :
ˆ )Q −1 ou f ( A
ˆ ) = Q −1 f ( A)Q
f ( A ) = Qf ( A
k

A
 A1 0 
k
1
Se A = 
então
=
A


0
A
2

0
A1 e A 2 quadradas
0
k
A2 
O polinômio mínimo de uma matriz quadrada é o
polinômio mônico ψ(λ) de mais baixo grau tal que
ψ(A)=0 onde 0 é a matriz nula nxn.
- Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio mínimo.
Sejam λ1, λ2 ... λm autovalores distintos de A com
multiplicidades n1, n2 ... nm respectivamente. Então
o polinômio de A é:
∆(λ ) = det(λI − A) = (λ − λ1 ) n1 (λ − λ2 ) n2 ...(λ − λm ) nm
n1 > n2 ... nm
Definição 5
A maior ordem dos blocos de Jordan associados
com um autovalor λi é chamado índice de λi em A e
é denotado por ni , assim o polinômio mínimo se A
é:
m
ψ (λ ) = Π (λ − λi )
ni
i =1
Se uma matriz quadrada tem os polinômios
característico e mínimo respectivamente:
∆ (λ ) = (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) ... (λ − λr )
nr
ψ (λ ) = (λ − λ1 ) (λ − λ2 ) ...(λ − λr )
mr
n1
m1
n2
m2
onde λi são escalares distintos.
Para cada λi os blocos de Jordan correspondentes
Jij tem as seguintes propriedades:
(1) Existe ao menos um Jij de ordem mi os outros Jij
são de ordem menor ou igual a mi.
(2) 0 no. dos Jij associados a cada λi é igual a
multiplicidade geométrica dos λi (no. de
autovetores independentes correspondentes a λi ).
Ex 8: Seja a matriz A 7x7 cujos polinômios
característicos e mínimo são:
∆(λ ) = (λ − 2) 4 (λ − 3) 3
ψ (λ ) = (λ − 2) 2 (λ − 3) 2
Então a forma de Jordan é uma das seguintes matrizes:
2 1

2 1

0 2

0 2









2 1
2




ou
0
2
2






3 1 
3 1 




0 3 
0 3 




3
3


A primeira ocorre se A tem dois autovetores independentes associados ao autovalor 2.
A segunda ocorre se A tem três autovetores independentes associados ao autovalor 2.
Ex 9: Sejam as matrizes

3

 3



3 


1


3 1

0 3



3 


1

3 1 0 
0 3 1 


0 0 3 


1

elas tem o mesmo polinômio característico.
∆ (λ ) = (λ − 3) (λ − 1)
3
Entretanto tem os seguintes polinômios mínimos
(λ − 3)(λ − 1); (λ − 3) 2 (λ − 1); (λ − 3) 3 (λ − 1)
Verifique!
A decomposição QR
Toda matriz A mxn com m maior ou igual a n pode
ser fatorada no produto de uma matriz Q com
colunas ortonormais pôr uma matriz triangular
superior a direita R.
O produto A=QR
é a decomposição QR de A. Se A for quadrada,
então Q é ortogonal. (A′ = A −1 )
A decomposição QR resulta do processo de GramSchmidt, ou seja as colunas de Q são obtidas a
partir das colunas de A pôr ortonormalização.
Obtenção de QR usando transf. de Householder
Seja A1 nxn
Passo 1: Fazer uK = [Ak(k,k) Ak(k+1,k) ... Ak(n,k)]’, onde uk é a
k-ésima coluna de Ak tomada da linha k até a linha n.
Passo 2: Obter xk = [Ak(k,k)+||uk||
Ak(k+1,k) ... Ak(n,k)]’
Passo 3: Obter a transformação de Householder
Hk = Ik − 2
xk xk′
xk
2
onde Ik é a matriz
identidade (n+1-k) x (n+1-k).
Passo 4: Montar a matriz
I k
Pk = 
0
0 
H k 
onde Ik é a matriz identidade (k-1) x (k-1).
Passo 5: Calcular Ak+1= Pk Ak .
Voltar ao passo 1 e repetir o processo para k até... n-1.
Neste ponto An deverá ser triangular superior.
Assim,
Q=P1P2Pn-1 e R = An
A1 = Q’ R
O algoritmo QR
O algoritmo QR é um processo para determinar
todos autovalores de uma matriz real A.
Obtém-se a decomposição QR de modo que:
Ak = Qk Rk
e depois inverte-se a ordem do produto para obter:
Ak+1 = Rk Qk
Cada Ak é semelhante ao antecessor e tem os
mesmos autovalores. Geralmente converge para
uma forma triangular superior com os a.vs. na
diagonal. O processo será acelerado se A for
inicialmente reduzida à forma de Hessenberg.
Exercícios para casa
13) Considere a matriz
0
A =  1
 0
0
0
1
0
2 
1 
a) Obter o polinômio característico.
b) Determinar os autovalores.
c) Determinar Q tal que D = inv(Q)AQ seja uma
matriz diagonal.
d) Verificar no matlab os comandos poly(A), eig(A)
e [q,d]=eig(A).
Qual a diferença entre a matriz Q calculada em
(c) e a matriz q determinada pelo MATLAB?
14) Mostrar que:
a) o zero é um autovalor de A se e só se A for singular.
b) AB e BA tem os mesmos autovalores. A e B quadradas.
c) se A é inversível e se λ é um a.v. de A então 1/λ
é um a.v. de da inversa de A.
15) Mostre que:
a) O determinante de uma matriz quadrada é igual ao
produto dos autovalores.
b) que seu traço é soma dos a.vs.
16) Dadas as matrizes A e B abaixo colocá-las na forma
diagonal. Se não for possível, colocar na forma de Jordan.
(obs: Usar o conceito de pol. Mínimo).
 1 − 3 3


A =  3 − 5 3
6 − 6 4
 − 3 1 − 1


B = − 7 5 − 1
 − 6 6 − 2
17) Considere a matriz
10 6 − 6 − 2
 6 11 − 6 − 3

A=
 8 8 − 4 − 4


3
 6 5 −6
Obter a decomposição QR de A utilizando:
a) Gram-Schmidt
b) Householder
Determine os autovalores de A utilizando o algoritmo QR:
c) na matriz A diretamente;
d) inicialmente reduzindo A à forma de Hessenberg.
Compare o número de iterações necessárias aos dois casos.
Obs. Utilize o comando [QR] =qr(A) do MATLAB para obter
as decomposições QR durante o processo.