Lista 2 de Microeconomia I Professor: Carlos EL da

Lista 2 de Microeconomia I
Professor: Carlos E.L. da Costa
Monitor: Vitor Farinha
Exercício 1 Seja f : R ! R uma função estritamente crescente. Mostre que se u : R ! R representa uma
relação de preferências então f u representa a mesma relação de preferências.
Exercício 2 Mostre que se existe uma função utilidade representando
ências racional.
então
é uma relação de prefer-
Exercício 3 (Convexidade e unicidade) Mostre que:
1. (a) Se as preferências são convexas (logo, u (x) é quase-côncava), então os conjuntos das soluções dos
problemas de maximização de utilidade e minimização de gastos são convexos.
(b) Se as preferências são estritamente convexas (logo, u (x) é estritamente quase-côncava), então as
soluções dos problemas de maximização de utilidade e minimização de gastos serão únicas (i.e.,
as demandas marshalliana e hicksiana são funções e não correspondências).
Obs.: Considere preferências racionais e contínuas, e (p; w )
0.
l
j p(x)x
w e u(x)
u(y) para todo y tal que p(y)y
wg:
Exercício 4 De…na x (p; y)
fx 2 R+
Suponha que para algum dos bens exista desconto por quantidade. Suponha, ainda, que as preferências sejam
estritamente convexas. Você pode mostrar que x (p; y) é um conjunto unitário?
Obs.: Nesse caso os preços não são dados. p(:) é a "função preço", ou seja, o valor pago por unidade depende
do total que o consumidor compra.
Exercício 5 (Demanda Cobb-Douglas) Considere a seguinte função utilidade: u (x1 ; x2 ) = x1 x2 ,
;
> 0:
1. (a) Calcule as funções de demanda marshallianas para os bens 1 e 2
(b) Homoteticidade é a propriedade das preferências nas quais a taxa marginal de substituição é
constante para todas as cestas ao longo de uma mesma reta partindo da origem. Mostre que a
função de utilidade Cobb-Douglas é homotética.
(c) Calcule a função utilidade indireta e veri…que as propriedades demonstradas no Teorema 1.6 (pág.
28 - JR)
Exercício 6 Suponha que um indivíduo vive dois períodos, possui uma dotação unitária em cada período e
pode poupar no primeiro instante, sendo remunerado à taxa r > 0. Suponha que as preferências pelo ‡uxo
de consumo no tempo são dadas por: U(C1 ;C2 ) = lnC1 + lnC2 , em que é o fator de desconto e está no
intervalo (0,1). Assuma que o preço do bem de consumo é 1 nos dois períodos. Admita que o agente não
pode deixar dívida no segundo período:
1. (a) Monte o problema do consumidor e encontre a poupança e o consumo ótimo em cada período.
a) Qual o impacto de um aumento na taxa de juros sobre a poupança no primeiro período?
Interprete.
b) Agora, assuma que o agente possui dotação apenas no primeiro período. Qual o impacto de uma
variação na taxa de juros sobre a poupança? Qual fato econômico explica este comportamento? (dica: pense
em termos de efeitos provocados por variações de preços).
Exercício 7 (Utilidade CES) Considere a função utilidade u(x) = (
1 x1
+
1=
2 x2 )
;
1;
2
2
0 ; x 2 R++
:
1. (a) Mostre que a elasticidade de substituição da função CES é constante. - A elasticidade de substip1 =p2
2 (p;w)
tuição entre os bens x1 e x2 é de…nida por: 12 (p; w) = @x1 (p;w)=@x
@(p1 =p2 )
x1 (p;w)=x2 (p;w)
(b) Mostre que quando
= 1, as curvas de indiferença são lineares.
1
(c) Mostre qua quando ! 0, a função CES representa as mesmas preferências que a função utilidade
Cobb-Douglas - u(x) = x1 1 x2 2 (Coloquei esta questão não para avaliar a matemática, mas sim
para que vcs vejam a generalidade da função CES).
Exercício 8 Suponha que existam dois bens, x1 e x2 , os quais são substitutos. Suponha que há dois vetores
de preços, p e q, tal que p1 > q1 e p2 < q2 :Seja V(.,.) a função utilidade indireta e x(.,.) a escolha ótima do
consumidor. Encontre o sinal da seguinte expressão: px(q; y) e(p; v(q; y)) em que y é a renda e e denota a
função despesa. Explique sua resposta.
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