Distribuições Contínuas

Distribuições contínuas
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Distribuições Contínuas
As distribuições contínuas são utilizadas para determinar a probabilidade de variáveis
aleatórias contínuas que seguem um determinado padrão.
Correcção de continuidade
Em distribuições contínuas, a probabilidade de um dado valor real é nula.
x
P ( X = x) = ∫ f X (δ )∂δ = 0
x
Para se poder medir tal probabilidade dá-se uma margem k para esse valor. O valor k
depende da situação e da escala dos valores de X.
x+k
P( x − k < X < x + k ) =
∫f
X
(δ )∂δ > 0
x −k
Distribuição uniforme
O valor da função de distribuição de probabilidade é constante.
 1
,

f X ( x) =  b − a
0,
x ∈ [a, b]
x ∉ [a, b]
a+b
2
1
V ( X ) = (b − a) 2
12
E( X ) =
Distribuição exponencial negativa
X → EN (λ )
X : tempo entre ocorrências sucessivas de um processo de Poisson com parâmetro λ
(número médio de ocorrências por unidade de tempo)
λe
f X ( x) = 
0,
− λx
,
F ( x ) = 1 − e − λx
Distribuições contínuas
E( X ) =
x≥0
x<0
V (X ) =
1
λ
1
λ2
x>0
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Exercício:
A função densidade de probabilidade do tempo de vida de um determinado componente
é dada por:
f (t ) = k e − kt , (0 < t < ∞)
Um aparelho é constituído por três componentes deste tipo e a probabilidade de um
deles avariar é independente da probabilidade dos outros avariarem. Calcule a
probabilidade de:
a) Nenhum deles avariar em t0 horas;
b) Um deles avariar nas primeiras t0 horas, outro avariar nas segundas t0 horas e o
terceiro avariar depois das segundas t0 horas.
Resolução:
Em primeiro lugar, vamos calcular a função de distribuição acumulada de t:
t
F (t ) =
∫
t
−∞
Note-se que: P (T ≥ t ) = 1 − (1 − e
− kt
f ( x)∂x = ∫ ke −kx ∂x = 1 − e −kt
)=e
−∞
− kt
a) Para que nenhum avarie até t0 horas, os três componentes têm de ter tempos de
vida maiores do que t0. Como as probabilidades de cada componente são
independentes entre si, a probabilidade de nenhum avariar até t0 horas é o
seguinte produto:
[ ]
P (T1 ≥ t 0 ) × P(T2 ≥ t 0 ) × P(T3 ≥ t 0 ) = [P(T ≥ t 0 )] = e −kt0
3
3
= e −3kt0
b) Em primeiro lugar vamos calcular a probabilidade de um componente avariar
em cada um dos intervalos de tempo em questão:
P (T1 ≤ t 0 ) = F (t 0 ) = 1 − e − kt 0
P (t 0 ≤ T2 ≤ 2t 0 ) = F ( 2t 0 ) − F (t 0 ) = e − kt 0 − e − 2 kt 0
P (T3 ≥ 2t 0 ) = 1 − F ( 2t 0 ) = e − 2 kt 0
Se nós simplesmente multiplicarmos estas três probabilidades, obtemos a
probabilidade de uma avariar até t0, outra avariar entre t0 e 2 t0 e a terceira
depois de 2 t0, mas numa ordem específica. Temos também de considerar que os
componentes podem avariar por 3! = 6 ordens diferentes. Então a probabilidade
que nós queremos calcular é:
6 × P(T1 ≤ t 0 ) × P(t 0 ≤ T2 ≤ 2t 0 ) × P(T3 ≥ 2t 0 ) =
= 6(1 − e −kt0 )(e − kt0 − e −2 kt0 )(e − 2 kt0 ) = 6e −3kt0 − 12e −4 kt0 + 6e −5 kt0
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Distribuição normal ou gaussiana
É necessário saber a média (µ) e o desvio padrão (σ) para calcular as probabilidades
desta distribuição.
X → N (µ , σ 2 )
1  x−µ 

σ 
− 
1
f X ( x) =
e 2
2π σ
2
,
x, µ ∈ ℜ; σ > 0
E( X ) = µ
V (X ) = σ 2
Distribuição normal reduzida
Consiste em transformar a distribuição normal numa forma reduzida, para facilitar os
cálculos.
Z=
X −µ
σ
X → N ( µ , σ )  
→ Z → N (0,1)
2
z2
1 −2
f Z ( z) =
e ,
2π
z ∈ℜ
E (Z ) = 0
V (Z ) = 1
Exercício:
O peso médio de 500 estudantes do sexo masculino, de uma determinada universidade,
é 75.5 Kg e o desvio padrão é de 7.5 Kg. Admitindo-se que os pesos estão distribuídos
normalmente, determinar quantos estudantes pesam:
a) entre 60 e 77.5 Kg;
b) mais do que 92.5 Kg.
Resolução:
O peso de um estudante é na realidade um valor real, mas vamos admitir que o peso de
cada estudante só foi registado considerando intervalos de 0.5Kg. Isto implica que um
valor para o peso de 75 Kg corresponde na realidade a um intervalo de pesos entre
74.75 e 75.25 Kg.
Esta situação vai-nos obrigar a ter especial atenção às igualdades no cálculo de
probabilidades; já que apesar de estarmos perante uma distribuição contínua (normal) a
probabilidade de um aluno ter um peso de X não é nula, já que ao peso X corresponde
na realidade um intervalo de pesos ( [X - 0.25, X + 0.25] ).
X → N ( µ , σ 2 ), com µ = 75.5 Kg
Distribuições contínuas
∧ σ = 7.5 Kg
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a)
P (60 ≤ X ≤ 77.5) → P (60 − 0.25 ≤ X ≤ 77.5 + 0.25) = P(59.75 ≤ X ≤ 77.75)
Transformando a distribuição normal X → N ( µ , σ 2 ) na distribuição normal reduzida
Z → N (0,1) :
 59.75 − µ X − µ 77.75 − µ 
P (59.75 ≤ X ≤ 77.75) = P
≤
≤
 = P(−2.10 ≤ Z ≤ 0.30) =
σ
σ
σ


0.30
=
∫f
z2
0.30
Z
∫
( z )∂z =
− 2.10
1 −2
e ∂z = 0.6
2π
− 2.10
Então, o número de estudantes cujos pesos estão entre 60 e 77.5 Kg será a
probabilidade vezes o número de estudantes:
500 × P(60 ≤ X ≤ 77.5) = 500 × 0.6 = 300
b)
P ( X > 92.5) → P( X > 92.5 + 0.25) = P (92.75)
Atençao : se fosse ≥ 92.5 Kg :
P( X ≥ 92.5) → P( X ≥ 92.5 − 0.25) = P(92.25)
Transformando a distribuição normal X → N ( µ , σ 2 ) na distribuição normal reduzida
Z → N (0,1) :
 X − µ 92.75 − µ 
P ( X > 92.75) = P
>
 = P( Z > 2.30) =
σ
 σ

+∞
=
∫f
2.30
+∞
Z
( z )∂z =
∫
2.30
1
2π
e
−
z2
2
∂z = 0.0107
Então, o número de estudantes que pesam mais do que 92.5 Kg será a probabilidade
vezes o número de estudantes:
500 × P ( X > 92.5) = 500 × 0.0107 = 5
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