Formulário

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REGRAS DE DERIVAÇÃO
Sejam u e v duas funções reais de variável real
(sec u )′ = u ′ sec u tg u
(cos ec u )′ = −u ′. cos ec u . cot g u
(senu )′ = u ′ cos u
(cos u )′ = −u ′ sin u
k ′ = 0 , k ∈ IR
(ax + b )′ = a , com a , b ∈ IR
(u ± v )′ = u ′ ± v ′
(u .v )′ = u ′.v + u .v ′
(k .u )′ = k .u ′ , com k ∈ IR
(u )
p ′
= p .u
p −1
.u ′ ,
(tg u )
com p ∈ IR
p
p u
p −1
, com p ∈ IN \ {}
1 e u > 0 se p
par
(ln u )′ = u
2
= −u ′ cos ec u
(e u )′ = u ′.e u
′
u′
2
sen u
u′
2
=
= u ′ sec u
2
cos u
′
⎛ u ⎞ u ′.v − u .v ′
, com v ≠ 0
⎜ ⎟ =
2
v
⎝v⎠
(p u )′ =
− u′
(cot g u )′ =
(a u )′ = u ′a u ln a , com a ∈ IR + \ {}1
(u v )′ = v.u v−1 .u ′ + v ′.u v .ln u
′
u
(log a u )′ =
secx =
u′
u . ln a
, com a ∈ IR + \ {}
1
1
cosecx =
cos x
1 + tg2x = sec2x
cosec2x
senx
sen(2x) = 2senxcosx
sen2x =
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
sen2x + cos2x = 1
1
1 − cos( 2 x )
2
cos(2x) = cos x –
sen2x
cos2x =
1 + cos( 2 x )
2
sen(x ± y) = senx.cosy ± seny.cosx
cos(x ± y) = cosx.cosy m senx.seny
2
tg(2x) =
tg2x =
2tgx
2
1 − tg x
1 − cos( 2 x )
1 + cos( 2 x )
tg(x ± y) =
tgx ± tgy
1 m tgxtgy
1 + cotg2x =
2
cotg(2x) =
cotg2x =
cot g x − 1
2 cot gx
1 + cos( 2 x )
1 − cos( 2 x )
cotg(x ± y) =
cot gx cot gy m 1
cot gy ± cot gx
⎛ x ± y ⎞ cos⎛ x m y ⎞
senx ± seny = 2 sen⎜
⎟ ⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
x+ y⎞ ⎛x− y⎞
cosx + cosy = 2 cos⎛⎜
⎟ cos⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
x+ y⎞ ⎛x− y⎞
cosx - cosy = -2 sen⎛⎜
⎟ sen⎜
⎟
⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠
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CURVAS EM COORDENADAS PARAMÉTRICAS
Circunferência de centro (a, b) e raio r
Elipse de centro (a, b)
⎧ x = a + r cos t
, t ∈ [0, 2π]
⎨
⎩ y = b + r sent
⎧ x = a + s cos t
, t ∈ [0, 2π]
⎨
⎩ y = b + r sent
b
s
b
r
a
a
Parábola de Neile
Parábola semi-cúbica
⎧x = t3
⎨
2
⎩y = t
⎧x = t 2
⎨
3
⎩y = t
Astróide
⎧ x = a cos 3 t
, a > 0, t ∈ [0, 2π]
⎨
3
y
=
asen
t
⎩
ARCO DE CICLÓIDE
⎧ x = a( t − sent )
, A > 0 E T ∈ [0, 2π]
⎨
⎩ y = a( 1 − cos t )
0
2π a
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PRIMITIVAS IMEDIATAS
Sejam f: I → IR uma função diferenciável num intervalo I de IR., a um número real e C uma
constante arbitrária.
Função
f’.f p
Primitiva
f p +1
+ C,
p +1
Função
Primitiva
f’.cotg f
ln|sen f| + C
f’.sec2f
tg f + C
com p ≠ -1.
f'
f
ln| f | + C
f’.e f
ef+C
f’.cosec2f
- cotg f + C
af
+C
ln a
f’.sec f .tg f
sec f + C
f’.sen f
- cos f + C
f’.cosec f.cotg f
- cosec f + C
f’.cos f
sen f + C
f’.sec f
ln|sec f + tg f| + C
f’.tg f
- ln|cos f| + C
f’.cosec f
-ln|cosec f + cotg f|
f’.a
f
+C
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TESTES DE CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA DE SÉRIES NUMÉRICAS
CRITÉRIOS
SÉRIE
CONVERGÊNCIA OU DIVERGÊNCIA
+∞
∑ an
n =1
Teste da
divergência
Diverge se
Geométrica
lim a
n→+∞ n
ƒ Converge para S =
+∞ n − 1
∑ ar
n =1
≠ 0.
a
1− r
, se | r | < 1.
ƒ Diverge se | r | ≥ 1.
Dirichlet
ƒ Converge se p > 1.
+∞ 1
∑
n=1 n p
ƒ Diverge se 0 < p ≤ 1.
+∞
+∞
Sejam ∑ a n e ∑ bn duas séries tais que
n =1
n=1
0 ≤ an ≤ bn, ∀ n∈ IN .
+∞
+∞
n=1
n =1
+∞
+∞
ƒ Se ∑ bn converge, então ∑ a n converge.
Comparação
+∞
+∞
∑ a n , ∑ bn
n=1
n =1
,
ƒ Se ∑ a n diverge, então ∑ bn diverge.
n=1
n =1
an > 0 e bn > 0
Alternada
Leibniz
+∞
n
∑ (− 1) a n , an > 0
n =1
Converge se (an) é uma sucessão decrescente, isto
é,
an ≥ an+1,
e se
lim a = 0.
n→+∞ n
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QUÁDRICAS
a, b, c ∈ IR
Elipsóide
x2 y2 z2
+
+
=1
a2 b2 c2
Intersecção com o plano plano Oxy: Elipse
Intersecção com o plano Oxz: Elipse
Intersecção com o plano plano Oyz: Elipse
A superfície é uma superfície esférica se a = b = c ≠ 0
Hiperbolóide de uma folha
x2 y2 z2
+
−
=1
a2 b2 c2
Intersecção com o plano Oxy: Elipse
Intersecção com o plano Oxz: Hipérbole
Intersecção com o plano Oyz: Hipérbole
Hiperbolóide de duas folhas
z2
c2
−
y2
b2
−
x2
a2
=1
Intersecção com o plano Oxy: Não existe
Intersecção com o plano Oxz: Hipérbole
Intersecção com o plano Oyz: Hipérbole
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Cone elíptico
x2 y2 z2
+
−
=0
a2 b2 c2
Intersecção com o plano Oxy:
Origem das
coordenadas
c
x
a
c
Intersecção com o plano Oyz: par de rectas z = ± y
b
Intersecção com o plano Oxz: par de rectas z = ±
Parabolóide elíptico
x2 y2
+
=z
a2 b2
Intersecção com o plano Oxy:
Origem das
coordenadas
Intersecção com o plano Oxz: Parábola
Intersecção com o plano Oyz: Parábola
Parabolóide hiperbólico
x2 y2
−
=z
a2 b2
Intersecção com o plano Oxy: par de rectas y = ±
Intersecção com o plano Oxz: Parábola
Intersecção com o plano Oyz: Parábola
b
x
a
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CURVAS EM COORDENADAS POLARES
CIRCUNFERÊNCIAS, A ∈ IR
r = a(cosθ + bsenθ)
r = acosθ
r = asenθ
a>0
a>0
a<0
CARDIÓIDE
a<0
CARACOL DE PASCAL COM LAÇO
CARACOL DE PASCAL SEM
LAÇO
r = a(1 ± senθ)
OU R = A(1 ± COSθ)
r = a + bcosθ, b > a
OU R = A + BSENθ, B > A
r = a - bcosθ, a > b
+
OU R = A - BSENθ, A > B , A, B∈ IR
Lemniscatas, a > 0
r2 = -acos2θ
r2 = acos2θ
r2 = -asen2θ
Rosas: r = acos(nθ) ou r = asen(nθ), n∈ IN e a∈ IR
r2 = asen2θ
(n pétalas se n é ímpar e 2n pétalas se n é par
(n ≥2)
r = asen3θ
Espiral de Arquimedes
r = aθ
r = asen2θ
Espiral hiperbólica
r=
a
θ
Espiral logarítmica
r = eaθ,
a ∈ IR