Sinais e Sistemas 2017.1 Lista 5 Transformada de Fourier

Sinais e Sistemas 2017.1
Lista 5 Transformada de Fourier
Gustavo Amaral, David Stolnicki, Dykson Henrique, e Pedro Frayha
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Primeira Questão
Explique, em poucas palavras, do que se trata a Transformada de Fourier.
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Segunda Questão
O que é o espectro de um sinal?
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Terceira Questão
Seja X (jω) a transformada de Fourier do sinal x (t). Sabenedo que o módulo de X (jω) assume valores
iguais e diferentes de zero para todas as frequências, argumente sobre a expressão de x (t).
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Quarta Questão
Determine a transformada de Fourier dos seguintes sinais:
• cos (ω0 t) .
• δ (t).
• sen (ω0 t) · cos (ω0 t).
• ejωt .
• sen (ω0 t + π/2).
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Quinta Questão
Mostre que, se F {f (t)} = F {g (t)} → f (t) = g (t).
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Sexta Questão
Figura 1
Seja y (t) = x (t) cos (2t) e suponha que o módulo da transformada de y (t) seja dado pela Figura 1.
• Determine o gráco do módulo da transformada de Fourier de x (t − 2).
R∞
• Calcule o resultado da integral z (t) = −∞ y (θ) sen [10 (t − θ)] dθ.
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Sétima Questão
Figura 2
Seja x (t) o sinal apresentado na Figura 2. Sem calcular explicitamente X (jω),
• Determine o valor de X (j0).
• Calcule o valor de |X (j1000)| − |X (−j1000)| .
• Faça um esboço do gráco da fase de X (jω) em função de ω .
R∞
• Calcule −∞ X (jω) e3jω dω .
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Oitava Questão
Calcule a tranformada de Fourier do sinal x (t) apresentado na Figura 3.
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Figura 3
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Nona Questão
Seja x (t) um sinal com transformada X (jω). Suponha que:
• x (t) é real.
• x (t) = 0 para t ≤ 0.
R∞
1
• 2π
Re {X (jω)} ejωt dt = |t|e−t .
−∞
Encontre a expressão de x (t).
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Décima Questão
Considere os sinais:
• x (t) = u (t − 1) − 2u (t − 2) + u (t − 3)
P
• y (t) = ∞
k=−∞ x (t − kT ) , T > 0.
Sejam ak os coecientes de Fourier de y (t) e X (jω) a transformade de Fourier de x (t).
a) Ache X (jω).
b) Determine uma expressão para os coecientes de Fourier ak e verique se ak = T1 X j 2πk
.
T
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Décima Primeira Questão
Justique usando a linguagem associada a transformada de Fourier por quê instrumentos musicais
distintos geram sons distintos.
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Décima Segunda Questão
Prove que se f é uma função tal que F(f ) é par então f é par.
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Décima Terceira Questão
Usando as propriedades de fourier encontre uma "função"(é permitido deltas de Dirac e outras distribuições) tal que f ∗ f = f , onde ∗ denota a operação de convolução.
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Décima Quarta Questão
Prove que se f é real e par então F(f ) é real.
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Décima Quinta Questão
Mostre que toda a função com série de fourier tem transformada de fourier e que a transformada se
escreve em função da série.
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Décima Sexta Questão
Explique o que a relação de Parseval quer dizer de um ponto de vista físico.
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Décima Sétima Questão
Um instrumento musical é tocado durante um período limitado T . O sinal produzido possui transformada de Fourier? E quanto a série de Fourier? Como elas se relacionariam.
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Décima Oitava Questão
Suponha que uma imagem (um sinal real bi-dimensional) lhe é apresentado. É possível determinar a
decomposição em frequências desse sinal? Argumente o que você espera das características da transformada
de Fourier desse sinal.
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Décima Nona Questão
Suponha que um tambor e uma guitarra estejam tocando ao mesmo tempo, ou seja, o sinal que chega
aos seus ouvidos é uma soma dos sinais provenientes de cada uma das fontes sonoras. No entanto, você
consegue distinguir claramente o som que pertence a cada instrumento. Do ponto de vista da decomposição
em frequências desses sinais, e levando em conta a linearidade da transformada de Fourier, o que se pode
argumentar?
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Vigésima Questão
Projete um dispositivo imaginário que seja capaz de separar os sinais da questão anterior antes que eles
cheguem aos seus ouvidos. Explique o funcionamento detalhado desse dispositivo.
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