Lista 03

F-328 – Física Geral III – 2o Semestre 2013
LISTA DO CAPÍTULO 23
Exercícios da lista para serem entregues: 2, 4, 10, 13, 16 e 18.
1) Um campo elétrico não uniforme é dado pela expressão:

E = ay x̂ + bzŷ + cxẑ ,
onde a, b e c são constantes. Determine o fluxo do campo elétrico através de uma superfície
retangular contida no plano xy e com dois lados indo de x = 0 até x = w e y = 0 até y = h.
2) Uma barra cilíndrica condutora muito longa de raio R1 e comprimento L,
carregada com carga Q1= +q, é envolta por uma casca cilíndrica, de raio R2
e mesmo comprimento L, carregada com uma carga Q2 = -2q. Use a lei de
Gauss para determinar:
a) o vetor campo elétrico a uma distância radial r > R2;
b) o vetor campo elétrico a uma distância radial R1 < r < R2;
c) a carga nas superfícies interna e externa da casca. 3) Uma carga está distribuída uniformemente através do volume de um cilindro muito longo de
raio R.
ρr
a) mostre que para uma distância r do eixo do cilindro e com r < R, temos: E =
, 2ε 0
onde ρ é a densidade volumétrica de cargas no cilindro.
b) Escreva uma expressão para E quando r > R .
4) Uma placa espessa plana de espessura d possui uma densidade de
carga volumétrica uniforme ρ. Determine a intensidade do campo
elétrico em todos os pontos do espaço:
a) tanto dentro;
b) quanto fora da placa, em termos de x, com esta
distância medida a partir do centro da placa.
5) Uma superfície fechada com dimensões a = b= 0,4 m e c =
0,6 m está localizada como na figura ao lado. O campo
elétrico nessa região é não-uniforme e é dado pela

expressão E = (3,0 + 2,0x 2 ) x̂ N/C, onde x em metros.
Calcule:
a) o fluxo de φE através da superfície;
b) a carga elétrica total contida na superfície.
6) A figura mostra o módulo do campo elétrico do lado de
dentro e do lado de fora de uma esfera com uma
distribuição de cargas positivas em função da distância ao
centro da esfera. A escala do eixo vertical é definida por
Es = 5,0×107 N/C. Qual a carga da esfera?
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7) Em uma região específica da atmosfera da Terra, o campo
elétrico acima da superfície foi medido e registraram-se os
seguintes valores: 150 N/C orientado para baixo a uma altitude
de 250 m e 170 N/C orientado para baixo a uma altitude de 400
m. Calcule a densidade volumétrica de carga da atmosfera
admitindo que seja uniforme entre 250 e 400m. (Pode-se
desprezar a curvatura da Terra? Por quê?)
()
nˆ ˆj
400 m

Ei
h 250 m

Ef
A ()
− nˆ ˆj
Terra
8) A figura ao lado mostra a seção reta de duas esferas de raio R,
com distribuições volumétricas uniformes de cargas. O ponto P
está sobre a reta que liga os centros das esferas e se encontra a
uma distância R/2 do centro da esfera 1. Se o campo elétrico no
ponto P é zero, qual é a razão q1/q2 entre a carga da esfera 1 e a
carga da esfera 2?
9) Um antigo (incorreto) modelo do átomo de hidrogênio, sugerido por J. J. Thompson,
propunha que uma nuvem positiva de carga +e era uniformemente distribuída no volume de
uma esfera de raio R, com uma carga negativa puntiforme –e no centro da esfera.
a) utilizando a lei de Gauss, mostre que o elétron estaria em equilíbrio no centro da
esfera e, se fosse deslocado do centro a uma distância r<R, ficaria sujeito a uma
força restauradora do tipo F = − Κ r, onde Κ é uma constante;
k e2
;
R3
c) ache uma expressão para a frequência f de oscilações harmônicas simples que um
elétron de massa me executaria se fosse deslocado de uma pequena distância do
centro da esfera e abandonado;
d) calcule o valor numérico de R que produziria numa frequência de vibração igual a
2,47 x 1015 Hz, que é a frequência da luz da linha mais intensa do espectro do
átomo de hidrogênio.
b) mostre que Κ =
10) Uma esfera não condutora de raio 2a tem uma densidade de cargas
uniforme ρ. Uma cavidade esférica de raio a é removida da esfera,
como mostrado na figura ao lado. Mostre que o campo elétrico dentro
ρa
da cavidade é uniforme e é dado por E x =0 e E y =
. (sugestão:
3ε 0
utilize o princípio da superposição).
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11) Uma esfera de raio R envolve uma partícula de carga Q, localizada no
seu centro.
a) Mostre que o fluxo do campo elétrico através de um tampão
circular com meio-ângulo θ (figura) é igual a:
Q
(1− cosθ )
φE =
2ε 0
b) Qual é o fluxo para θ = π/2? e para θ = π ?
12) Uma carga puntiforme Q está sobre o eixo de um disco de raio R a
uma distância b do plano do disco, conforme figura ao lado. Mostre
que se ¼ do fluxo do campo elétrico da carga atravessa o disco,
então R = 3 b . (sugestão: use o resultado do problema anterior )
13) Um fio infinitamente longo, tendo uma densidade linear de cargas
λ , está a uma distância d de um ponto O, como na figura ao lado.
Determine o fluxo total do campo elétrico produzido pelo fio
através da superfície de uma esfera de raio R, centrada no ponto O.
Considere ambos os casos: R < d e R > d.
14) Considere uma esfera e uma camada esférica concêntricas, ambas condutoras. A camada
externa é oca e tem inicialmente uma carga de -7Q. A esfera interna é maciça e tem carga de
+2Q.
a) Como é a distribuição da carga na camada ? Isto é, quais os valores das cargas nas
suas faces interna e externa da camada?
b) Calcule o campo entre elétrico entre a esfera e a camada.
c) suponha que um fio condutor seja conectado entre a esfera e a camada. Após o
equilíbrio eletrostático ser estabelecido, qual o valor da carga na camada esférica?
d) aterrando-se a camada externa com um fio condutor (antes da conexão do item c)
e, em seguida desconectando-a, qual o valor total da carga na camada?
e) quais serão os novos valores das cargas nas faces interna e externa da camada?
15) A figura mostra uma camada esférica com uma densidade volumétrica
de cargas uniforme ρ = 1,8 nC/m3, raio interno a =10 cm e raio externo
b = 20 cm.
Determine o módulo do campo elétrico em:
a) r = 0;
b) r = a;
c) r = 1,5 a;
d) r = b;
e) r = 3b.
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16) Uma esfera sólida isolante de raio a está carregada com densidade
volumétrica ρ uniforme e carga total Q. Concêntrica a esta esfera existe
uma camada condutora de raios b e c, conforme figura ao lado.
a) Calcule o vetor campo elétrico para as seguintes regiões: r <
a, a < r < b, b < r < c e r > c;
b) Determine a carga induzida por unidade de área sobre as
superfícies interna e externa da camada condutora.
17) Uma esfera sólida condutora de raio a tem uma carga positiva igual 2Q.
Uma camada condutora de raio interno igual a b e raio externo igual a c
é concêntrica à esfera, conforme figura ao lado. Esta camada possui
uma carga igual a – Q.
a) Usando a lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico nas
regiões 1, 2, 3, e 4;
b) Determine a distribuição de carga nas superfícies interna
externa da camada, quando o sistema está em equilíbrio
eletrostático.
18) Na figura ao lado temos uma esfera central isolante de raio a e carga 3Q.
Concêntrica a esta esfera temos uma camada, também isolante, com
raios interno e externo iguais respectivamente a b e c e carregada com
uma carga igual –Q. Usando a lei de Gauss calcule o vetor campo
elétrico para:
a) r < a;
b) a < r < b;
c) b < r < c;
d) r > c.
19) Desafio:
a) Mostre que num plano infinito de cargas e numa superfície esférica, o campo
elétrico é descontínuo na região das cargas superficiais, e a descontinuidade é
σ / ε0 .
b) Prove que, em geral, quando há uma densidade superficial de carga σ , a
descontinuidade do campo vale σ / ε 0 .
c) Faça a demonstração construindo uma superfície gaussiana cilíndrica, com as
faces planas de um e outro lado da superfície e a parte cilíndrica normal à
superfície. Utilize a lei de Gauss para calcular E2 − E1 , onde E2 e E1 são as

componentes normais de E de um lado e de outro da superfície.
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