Aulas Particulares Prof.: Nabor

Aulas Particulares Prof.: Nabor
Nome da aluno:
Disciplina: Matemática
Série:
Prof.: Nabor Nunes de Oliveira Netto
www.profnabor.com.br
Data:
/
Seqüência
Seqüência ou sucessão é todo conjunto de elementos, numéricos ou não,
colocados numa determinada ordem.
Em uma seqüência, o primeiro elemento é indicado por a1, o segundo por a2,..., o
enésimo elemento por an etc.:
O termo geral an pode representar qualquer termo da seqüência.
1) finita (a1,a2,a3,...,an): possui um número limitado de elementos;
2) infinita (a1,a2,a3,...,an,...) : possui um número ilimitado de elementos.
Para a Matemática as seqüências importantes são aquelas cujos termos obedecem a
uma determinada Lei de Formação.
an = 2n – 1 , n ε IN * , é dada por:
Para n = 1
a 1 = 2 . 1 – 1 = 1;
Para n = 2
a 2 = 2 . 2 – 1 = 3;
Para n = 3
a 3 = 2 . 3 – 1 = 5;
Para n = 4
a 4 = 2 . 4 – 1 = 7, etc.
1. Na seqüência (-2, 0, 2, 4, 6, 8) ache:
a) a3 – a1
b) a soma de seus termos.
2. Escreva os quatro primeiros termos da seqüência dada pelo termo geral an = 3n
–1
3. Calcule a soma a2 + a5 para a seqüência cujo termo geral é dado por: an =
(-1)n . n + 2 , n ≠ - 1
n+ 1
4. Escreva o termo geral das seqüências:
a) (1, 2, 3, 4, 5,....)
b) (2, 3, 4, .....)
c) (3, 6, 9, 12, 15, ....)
Progressão Aritmética
Uma seqüência de números é chamada de progressão aritmética (PA) quando
cada um do seus elementos a partir do segundo, é igual à soma do anterior com uma
constante r dada, chamada razão da PA.
Se a seqüência (a1, a2, a3,..., an, ....) é PA
a1 é o primeiro termo da PA
a2 = a1 + r
a3 = a2 + r
.

an = an – 1 + r , n ≥ 2 e n є IN :
/
.
an = a n – 1 + r
( an é o termo geral da PA)
Exemplo:
Estabelecer uma relação entre a3 e a7, sabendo que a3 = a2 + r e a7 = a6 + r:
a7 = a3 + 4r
De um modo geral, para n > m, an = am + ( n – m) r
Logo,
Classificação
1) Crescente, quando r > 0
2) Decrescente, quando r < 0
3) Constante , quando r = 0
Escreva:
a)
b)
c)
d)
uma PA de 5 termos onde o1o termo é 10 e a razão é 3.
uma PA de 8 termos onde o1o termo é 6 e a razão é -4
uma PA de 6 termos onde o1o termo é -3 e a razão é 5
uma PA de 4 termos onde o1o termo é (a + 2) e a razão é a
Determine:
a)o valor de x, tal que os números x 2 , (x + 2)2 , (x + 3)2 formem, nessa
ordem, uma PA.
b)o valor de x, de modo que os números 3x – 1, x + 3, x + 9 estejam
nessa ordem em PA.
Formula do Termo Geral de uma P.A.
an = a1 + (n – 1) r
1.
2.
3.
4.
Encontrar o termo geral da PA. (4,7,....)
Qual é o vigésimo termo da PA. (3,8,....)
Determine o número de termos da PA (-3, 1, 5, ........., 113)
Numa PA, de razão 3, o sétimo termo é 21. Qual é o primeiro termo?
É sempre conveniente colocar os termos da P.A. em função de a1 e r, lembrando que a2
= a1 + r
1. Numa PA, a3 + a6 = 29 e a4 + a7 = 35. Escreva a PA.
2. Determine a razão de uma PA, com 10 termos, sabendo que a soma dos dois
primeiros é 5 e a soma dos dois últimos é 53.
3. Ache a PA em que: a1 + a3 = - 6 e 2 a4 + a5 = 5
Quando os problemas tratam de soma ou produto de termos consecutivos de
uma PA., é conveniente escrever a PA. Em função do termo do meio, que indicamos por
x.
Assim:
Se a P.A. tem 3 termos, vamos indicá-los por: (x – r, x, x + r)
Se a P.A. tem 5 termos, vamos indicá-los por: (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r)
1. Ache 3 números em P.A. crescente, sabendo que a soma é 15 e o produto é 105.
2. A soma de 3 números em P.A. crescente é 21 e a soma de seus quadrados é 165.
Ache a P.A.
3. Os três lados de um triângulo retângulo formam uma P.A. cuja razão é 5. Qual o
valor dos três lados.
Soma dos n termos de uma P.A. finita
Em uma P.A. finita, a soma de dois termos eqüidistantes dos extremos é igual à soma
dos extremos.
Sn = (a1 + an ) n
2
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA
São seqüências de números reais não- nulos, em que o quociente entre cada
termo e o termo anterior, a partir do segundo termo, é uma constante q denominada de
razão da P.G.
a
a 2 a3
Se a seqüência (a1, a2, a3, ....., an ) é uma PG, então:

 n
a1 a2 an1
Verificar se a seqüência ( 3, 1, 1/3, 1/9) é uma PG.
1) Escreva os quatro primeiros termos de uma PG, sabendo que a1 = 4 e q = -2.
2) Determine a razão de cada PG:
a) (1/8, ¼, ½, 1, 2)
b) ( 27, -9, 3, -1, 1/3)
CLASSIFICAÇÃO
CRESCENTE: cada termo é maior que o anterior.
1o ) Quando a1 > 0 e q > 1
Por exemplo: (2, 4, 8, 16, 32)
2o ) Quando a1 < 0 e 0 < q < 1. Por exemplo: (-4, -2, -1, -1/2,....)
DECRESCENTE: cada termo é menor que o anterior.
1o ) Quando a1 > 0 e 0 < q < 1 Por exemplo: ( 1, 1/3, 1/9, 1/27,....)
2o ) Quando a1 < 0 e q > 1.
Por exemplo: ( -3, -6, -12,....)
CONSTANTE: Todos os termos são iguais entre si.
Por exemplo: ( 5, 5, 5, 5, ....)
OSCILANTE: Cada termo, a partir do segundo, tem o sinal contrário ao do
termo anterior.
Por
exemplo: ( 2, -6, 18, -54,.....)
1) Determine uma PG de 5 termos cujo primeiro termo é a1 e a razão é q nos seguintes
casos:
a) a1 = 3 e q = 3
b) a1 = -2 e q = 4
2) Determine a razão de cada PG:
a) (2, 2/5, 2/25, 2/125,...)
b) (3/7, 1/7, 1/21,...)
a1 = 1/5 e q = 2
c) ( 2/5, -3/5, 9/10,....)
3) O valor de x para que a seqüência (x + 1, x, x + 2) seja uma PG. ?
FORMULA DO TERMO GERAL
Considerando a progressão geométrica( a1, a2, a3, ......, an
seus termos pode ser escrito da seguinte maneira:
a1 = a1
a2 = a1 . q
a3 = a2 . q ==== a3 = (a1 . q) . q === a3 = a1 . q2
a4 = a3 . q ==== a4 = (a1 . q) .q === a4 = a1 . q3 ............
Assim temos que:
– 1,
an). Cada um de
a n  a1 .q n 1
1) Calcular o sétimo termo da PG (3/2, 1, 2/3,.....).
2) Calcular o primeiro termo de uma PG cujo décimo termo é 243 e a razão é 3:
3) Em uma PG de razão 4, os extremos são 3 e 768. Calcular o número de termos.
4) O segundo termo de uma é 2 e o quinto, 54. Escrever a PG.
5) Que número se deve somar a 1, 15 e 57, de modo a resultar em uma PG.?
6) As medidas dos ângulos internos de um quadrilátero estão em PG. De razão 2.
Calcular essas medidas.
INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA
Interpolar k meios geométricos entre dois números a e b significa obter uma
PG. De extremos a1 = a e an = b, com k + 2 termos.
1) Interpolar quatro meios geométricos entre 5 e 160.
2) Interpole três meios geométricos entre 4 e 324.
PROPRIEDADES DAS PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS
Cada termo de uma P.G. excluindo os extremos, é média geométrica entre seu
anterior e o posterior.
Dada a PG (2, 6, 18, 54), temos: 6 = √2 . 18 e 18 = √ 6 . 54
O produto dos termos eqüidistantes dos extremos de uma P.G. é igual ao
produto desses extremos:
Na PG. (2, 4, 8, 16, 32, 64, 128), temos: 8 . 32 = 2 . 128 e 4 . 64 = 2 . 128
FORMAS DE REPRESENTAR UMA P.G.
Para resolver problemas que envolvam soma e produto de termos de uma P.G.
representamos seus termos de uma maneira conveniente.
Uma P.G. de três termos, por exemplo, pode ser representada das seguintes
maneiras:
(x/q, x, x . q)
ou ( x, x . q, x . q2)
1) A soma de três números em PG, é 21 e o produto é 216. Determinar estes números.
2) A soma de três números em PG é 42 e o produto, 512. Calcule esses três números.
3) A soma de três números em PG crescente é 26 e o termo do meio é 6. Qual é o maior
dos três úmeros?
SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. FINITA
I
Seja a PG finita (a1, a2, a3, .........an– 1, an, de razão q (q ≠ 0 e q ≠ 1 ) :
Sn = a1 + a2 + a3 +.............+ an
II
Multiplicando ambos os membros de I por q, vem:
a2
a3
a4
an
q. Sn = a1. q + a2 . q + a3 . q + .....+ an– 1 . q + an. q
Fazendo II – I, vem:
q . Sn =
a2 + a3 + ........+ an – 1 + an . q
- Sn = - a1 – a2 –a3 - ...........- an – 1 – an
q . Sn – Sn = an . q – a1 ======
Sn ( q – 1) = an . q – a1 ======
Sn = a1 . qn – a1
Sn = an . q – a1 ==== Sn = a1 . qn – 1 . q – a1 ===
q–1
q–1
q -1
Sn 
a1 .(q n  1)
q 1
ou
Sn 
a n .(q  a1 )
q 1
1) Calcular a soma dos dez primeiros termos da PG ( 1, 3, 9, 27,.....)
2) Em uma PG, o quarto termo é 135 e o sétimo, 3645. Calcular a soma dos oito
primeiros termos.
3) Em uma PG, o oitavo termo é 324 e a razão é 2. Determine a soma dos nove
primeiros termos.
A SOMA DOS TERMOS DE UMA P.G. INFINITA
S
a1
1 q
-1<q<1
1) Calcular a soma dos termos da PG, ( 2, 1, ½, ¼, ......)
2) Calcular a geratriz da dízima 0,232323.
3) A soma dos termos da PG, ( 1, 1/x, 1/x2,.......), com x > 1, é 4. Calcular o valor de x.