2.º Teste - Escola Básica E Secundária Dr. Ângelo Augusto Da Silva

Escola Básica e Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
Teste de MATEMÁTICA A 11º Ano
Duração: 90 minutos
Classificação
Dezembro/ 2008
____________
Nome ________________________ Nº ___ T: __
O Prof.__________________
(Luís Abreu)
1ª PARTE
Para cada uma das seguintes questões de escolha múltipla, seleccione a resposta correcta de entre as alternativas
que lhe são apresentadas e escreva-a na sua folha de prova. Se apresentar mais do que uma resposta a questão será
anulada, o mesmo acontecendo em caso de resposta ambígua.
1. As soluções da equação tg 2 x = 1 são dadas pela expressão:
(A) x =
(C) x =
π
4
π
4
kπ
, k ∈]
2
(B) x =
+ kπ , k ∈ ]
(D) x =
+
π
4
+
kπ
, k ∈]
4
kπ
, k ∈]
4
G
G
2. Considere num referencial ortonormado do espaço, os vectores u( a , 0, 3) e v(b, 5, 0) .
G
G
Os vectores u e v são perpendiculares se:
(A) a = −
1
b
(B) a = −b
(C) a .b = −15
(D) a = 0 ∨ b = 0
3. Considere um hexágono regular [ABCDEF] inscrito
numa circunferência de raio 5.
JJJG JJJG
Qual é o valor do produto escalar AD . DF ?
75
2
(A) −75
(B) −
(C) −5 3
(D) 75
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4. Considere as rectas a e b definidas pelas equações:
a : ( x, y ) = (1, 2) + k ( 2, −7), k ∈ \
e b : 7 y = −λ . x + 2, λ ∈ \
Qual é o valor de λ para que as rectas a e b sejam paralelas?
(A) λ = −2
(B) λ = 2
(C) λ = −
49
2
(D) λ =
49
2
5. Considere num referencial do plano, a recta t de equação ( x, y ) = ( −3, 2 ) + k (1, −1), k ∈ \ .
Qual é a recta que faz o maior ângulo com a recta t?
(A) y = x
(B) y = − x
(C) y = 2 x
(D) y = 5 x
2ª PARTE
Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando os cálculos efectuados e as justificações necessárias.
Quando não é indicada a aproximação que se pede para um resultado, pretende-se o valor exacto.
1. Na figura está representado o círculo trigonométrico
e um triângulo [ABC].
Sabe-se que:
• o lado [BC] é paralelo ao eixo da ordenadas;
• a amplitude x, em radianos, pertence ao
intervalo ]0, π [ .
1.1. Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada, em função da amplitude x, por:
A( x ) = senx + senx × cosx
1.2. Determine, o valor exacto, da área do triângulo quando x =
1.3. Resolva, analiticamente, no intervalo ]0, π [ , a condição
5
π.
6
A( x ) 1
= .
senx 2
1.4. Qual deverá ser a amplitude do ângulo x, para que o triângulo [ABC] seja
equilátero? Justifique a sua resposta.
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1.5. Utilizando a calculadora gráfica, determine, com aproximação às centésimas,
o(s) valor(es) de x de modo que a área do triângulo seja igual a 1.
Na sua explicação, deve incluir o(s) gráfico(s) e as coordenadas dos pontos que considerou
para resolver esta questão.
2. Considere num referencial ortonormado do plano os pontos A( 2, 3) , B(0, 4) e a recta r de
equação ( x, y ) = ( −3, 5) + k (3, 1), k ∈ \ .
2.1. Determine a inclinação da recta AB. Apresente o resultado em graus, com
aproximação às décimas.
2.2. Determine em radianos, com arredondamento às milésimas, a amplitude do ângulo
formado pelas rectas AB e r.
2.3. Escreva a equação reduzida da recta s perpendicular a r e que contém o ponto B.
JJJG
2.4. Determine um vector perpendicular a AB e com norma igual a
2.
2.5. Relativamente à circunferência de diâmetro [AB], identifique o conjunto de pontos
JJJG JJJG
P(x,y) do plano, que satisfazem a condição AB. BP = 0 . Represente-o por uma equação
cartesiana.
3. Na figura encontra-se representado um cubo [ABCDEFGH] cuja aresta mede a.
Mostre que:
JJJG JJJG JJJG JJJG
AC .AG + AC .GE = 0
Fim
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Cotações:
1ª Parte
Questões
Pontos
10 pontos
cada
questão
2ª Parte
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
2.1.
2.2.
2.3
2.4
2.5
3.
16
10
16
10
16
10
14
14
12
16
16
Soluções:
1ª Parte
1 2 3 4 5
A D A D A
2ª Parte
1
3
−
2 4
2
1.3. S = { π }
3
1.2.
1.4.
π
3
1.5. x 0, 57 ou x 1, 57
2.1.
153,4º
2.2.
π
4
2.3. y = −3 x + 4
2.4. (
2
2
,2 )
5
5
2.5. Recta tangente à circunferência no ponto B
−2 x + y − 4 = 0
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