Chapter 5 Trabalho e energia no movimento unidimensional

Chapter 5
Trabalho e energia no
movimento unidimensional
5.1
Conservação de energia na queda livre
Vamos, primeiramente, considerar um exemplo simples. O problema da
queda livre unidimensional de um corpo de massa m pela força gravitacional
da terra com aceleração g. Seja y a coordenada vertical do corpo. A segunda
lei de Newton para este caso fica
d2 y
= −mg .
(5.1)
dt2
Já sabemos resolver esta equação e obter a coordenada vertical y como função
do tempo t. Aqui, contudo, veremos o problema por outro ângulo.
Multiplicando ambos os lados da equação acima por dy/dt obtemos
m
dy
d2 y dy
= −mg .
2
dt dt
dt
Pela regra da cadeia sabemos que para v = v (t) ,
m
e, portanto (v = dy/dt),
(5.2)
d 2
dv
v = 2v ,
dt
dt
d2 y dy
1d
=
dt2 dt
2 dt
dy
dt
2
,
Utilizando a relação (5.3) na Eq.(5.2), temos
2
1 d dy
dy
m
= −mg ,
2 dt dt
dt
47
(5.3)
48CHAPTER 5. TRABALHO E ENERGIA NO MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
ou, equivalentemente,
2
d m dy
+ mgy = 0.
dt 2 dt
Esta equação implica que a quantidade,
2
m dy
+ mgy
2 dt
é constante no tempo, mesmo que cada um dos termos,
2
m dy
2 dt
(5.4)
e
mgy
(5.5)
separadamente variem no tempo. A quantidade
2
m dy
T ≡
2 dt
presente na Eq.(5.4) é chamada de energia cinética, e a quantidade na Eq.(5.5)
V ≡ mgy
é chamada de energia potencial. Mesmo que T e V variem no tempo, a soma,
E =T +V
é constante no tempo. Chamaremos E de energia total. Vamos denotar as
quantidades correspondentes no instante t1 por
E1 = T1 + V1
e no instante t2 por
E2 = T2 + V2 .
A constância da energia total significa que
E1 = E2 ,
ou seja
T1 + V1 = T2 + V2 .
5.2. TRABALHO E A VARIAÇÃO DE ENERGIA CINÉTICA
49
Note que o fato fundamental é que a equação de movimento (a segunda
lei de Newton) mostra que o movimento de queda livre sempre conserva a
energia total, ou seja, a soma da energia potencial com a energia cinética é
sempre constante. Podemos utilizar este fato para resolver alguns problemas
de modo bem simples.
Exercícios:
1. Lançamos uma pedra de massa m na direção vertical com a velocidade
inicial v0 . Qual é a altura máxima que a pedra atinge? Despreze o
efeito de ar.
2. Uma pessoa cai de um predio de 10m de altura. Qual é a velocidade
em km/h do corpo quando atinge o térreo ? Despreze o efeito de ar.
3. Escreva as seguintes expressões como a derivada de alguma quantidade.
(Ex. x2 dx
=
dt
1 d
3 dt
(x3 ) ).
1)
2)
3)
4)
5)
5.2
2 2
dz
dz
,
dt
dt2
2
df d f
e dt 2
dt
1 df
f dt
d2 f
1
(df /dt)2 + 1 dt2
1
d2 s
2 dt2
1 − ds
dt
Trabalho e a variação de energia cinética
Vamos considerar a situação de uma força mais geral do que a força gravitacional constante. Pela 2a lei de Newton, temos para a partícula com massa
m,
d2 x
m 2 = f (t) ,
dt
onde f = f (t) é a força que atua na partícula. Multiplicando por dx/dt dos
dois lados, temos
dx d2 x
dx
m
= f (t)
2
dt dt
dt
50CHAPTER 5. TRABALHO E ENERGIA NO MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
Seguindo argumento análogo ao da sessão acima, temos
d m dx 2
dx
= f (t)
dt 2 dt
dt
ou
dx
dT
= f (t) ,
dt
dt
onde
m
T =
2
dx
dt
(5.6)
(5.7)
2
é a energia cinética da partícula no instante t. O lado direto da equação (5.7)
pode ser escrito como
f (t)
dx
=
dt
x(t + ∆t) − x(t)
∆t→0
∆t
f (t) ∆x
= lim
∆t→0
∆t
lim f (t)
onde ∆x é o deslocamento da partícula no intervalo de tempo, (t, t + ∆t) .
Definimos o trabalho feito pela força f quando ela movimenta a partícula
pela distância ∆x por
∆W = f (t) ∆x.
Assim, podemos escrever
f (t)
dx
∆W
= lim
= ω (t) ,
∆t→0 ∆t
dt
(5.8)
onde ω(t) representa a taxa de trabalho que a força exerce na partícula no
instante t.
Com isto, a equação (5.7) fica
dT
= ω (t) .
dt
Podemos integrar a equação acima no tempo de t = ti até t = tf obtendo
tf
ω (t) dt
(5.9)
Tf − Ti =
ti
O lado direito da equação acima representa o trabalho total que a força
exerceu sobre a partícula durante o período (ti → tf ) . Portanto, a equação
(5.9) está dizendo que o trabalho feito pela força é utilzado para aumentar (ou
5.3. FORÇA CONSERVATIVA -1
51
diminuir, dependendo do sinal do lado direito) a energia cinética da partícula.
Caso a energia cinética da partícula aumente, dizemos que a força realizou
trabalho (positivo) sobre a partícula. Caso contrário, dizemos que a partícula
realizou trabalho (positivo), ou, equivalentemente, que a força realizou um
trabalho negativo. Desta forma, podemos dizer que a quantidade
tf
−
ω (t) dt
ti
representa o trabalho que a partícula realiza.
5.3
Força conservativa -1
Na equação (5.8), escrevemos a taxa que a força exerce como
ω = lim
∆t→0
∆W
dx
= f (t) .
∆t
dt
Neste caso, tome cuidado para NÃO escrever o lado direto da equação (5.9)
como
tf
tf
dx
ω (t) dt =
f dt
dt
ti
tixf
→
f dx,
xi
simplesmente cancelando dt. Isto porque, no caso geral, f = f (t) e a velocidade v (t) = dx/dt são duas funções independentes entre si, e não se pode
utilizar o método de integração por substituição para substituir a variável t
por x.
Entretanto, existem casos em que a variação da força f depende somente
da posição x e não depende explicitamente de t, ou seja,
f (t) = f(x(t)).
Neste caso, o método de substituição pode ser efetuado, obtendo-se
tf
xf
ω (t) dt =
f (x) dx.
ti
xi
Assim, podemos definir uma função V (x) por
x
V (x) = −
f (x′ ) dx′ ,
52CHAPTER 5. TRABALHO E ENERGIA NO MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
tal que (note o sinal − na frente !)
tf
ti
ω (t) dt = V (xi ) − V (xf ) .
Neste caso, a equação (5.9) fica
Tf − Ti = V (xi ) − V (xf ) ,
ou
Tf + V (xf ) = Ti + V (xi ) ,
(5.10)
isto é, a soma da energia cinética com a quantidade V (x) é mantida do tempo
inicial até o tempo final. A quantidade V (x) é dita energia potencial (ou
energia da posição) associada à força f (x).
5.4
Conservação de energia na mola unidimensional
Podemos aplicar argumento acima para um sistema massa+mola.
k
m
Na figura acima, uma massa está ligada à mola de constante de mola k e
comprimento natural l0 num plano sem atrito. Como vimos, para obtermos
a conservação de energia, partimos da segunda lei de Newton. Assim, antes
de procurarmos quem será a energia conservada devemos responder à
Questão: Qual é a equação de movimento para a massa?
5.4. CONSERVAÇÃO DE ENERGIA NA MOLA UNIDIMENSIONAL 53
Resposta: O primeiro passo para respondê-la é determinar a variável que
usaremos para expressar a equação de movimento. Num problema unidimensional como este, não há muita escolha, mas existem certas liberdades, como, por exemplo, a origem do eixo de coordenadas. Vamos
escolhê-la como sendo o extremo fixo da mola. Chamaremos x à coordenada horizontal da massa medida a partir desta origem. O segundo
passo é identificar todas as forças que atuam no objeto quando a massa
estiver na posição x. Neste problema, temos apenas a força da mola (a
força gravitacional se cancela com a força normal da mesa). Temos
f = −k (x − l0 ) .
Note que o sinal negativo acima é fundamental. É nele que dá o caráter
restaurador da força, i.e., ele garante que x − l0 e a aceleração tenham
sinais opostos. Agora podemos utilizar a segunda lei de Newton para
obter
d2 x
m 2 = −k (x − l0 ) .
dt
Note que a escolha da origem do sistema de coordenadas não é única.
Podemos escolher qualquer posição horizontal como a origem do sistema de coordenadas.
De posse da equação de movimento pode-se encontrar a energia conservada neste problema (veja exercícios abaixo).
Exercícios:
1. Escreva a equação de movimento da massa usando o sistema de coordenadas que tem sua origem num ponto afastado do extremo fixo da
mola por a.
2. Escreva a equação de movimento da massa usando o sistema de coordenadas que tem sua origem no ponto de equilíbrio da massa.
3. Verifique que as equações obtidas os itens 1 e 2 acima estão relacionadas
através de uma transformação de variável e identifique a transformação.
4. Temos uma equação de movimento,
m
d2 x
= −kx,
dt2
com k > 0. Mostre que
2
1
dx
1
E= m
+ kx2
2
dt
2
é constante no tempo t.
54CHAPTER 5. TRABALHO E ENERGIA NO MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
5. Utilizando o resultado acima do item 4, argumente que o movimento
é oscilatório. Qual é a amplitude máxima da oscilação? Quando a
velocidade atinge seu máximo?
6. Se a equação de movimento fosse
m
d2 x
= +kx,
dt2
com k > 0, que tipo de movimento ocorreria?
5.5
Força conservativa -2
Nas últimas seções obtivemos leis de conservação de energia para algumas
forças específicas (elástica e gravitacional). No entanto, nem sempre isso é
possível. Dizemos que uma força é conservativa se existe um potencial V (x)
tal que
E = T + V (x) ,
seja uma constante de movimento. As condições que uma força deve satisfazer para ser conservativa serão discutidas mais adiante. No caso unidimensional, contudo, é suficiente que a força dependa apenas da posição do objeto
(veremos que em mais dimensões isto não é verdade!).
Exercício:
Um objeto de massa m se movimenta numa reta. Estabeleça um sistema
de coordenada nesta reta e expresse sua posição em termos de uma variável
x. Suponha que exista uma força f atuando neste objeto. Esta força depende
apenas da posição do objeto. Isto é, f é a função de x,
f = f (x) .
A equação de movimento (segunda lei de Newton) para este objeto é
m
d2 x
= f (x) .
dt2
1. Deduza a lei de conservação de energia,
E = T + V (x) = Const,
5.6. TRABALHO
55
onde
2
1
dx
T =
m
,
2
dt
x
V (x) = −
f (x′ ) dx′ ,
x0
e x0 pode ser escolhido arbitrariamente.
2. Aplique o resultado para o problema de uma massa em queda-livre sob
a força gravitacional da Terra.
3. Aplique o resultado para o problema de uma massa ligada a uma mola.
4. Uma planeta de massa m sente a força gravitacional do sol quando está
na distância x do sol como
M⊙ m
f = −G 2 ,
x
onde G é a constante gravitacional de Newton (G = 6.67259×10−11 m3 kg−1 s−2 )
e M⊙ é a massa do Sol (M⊙ = 2 × 1030 kg). Obtenha a energia potencial
V (x) para esta força. Fixe a indeterminação da constante no potencial
pela condição
V → 0, para x → ∞.
Obtenha a lei de conservação da energia, introduzindo o potencial,
x
V (x) = −
f (x′ ) dx′ .
5. Utilzando a lei de conservação da energia, descreva qualitativamente o
movimento da massa m nas situações ilustradas abaixo. (Nas figuras,
E representa a energia total (energia cinética + potencial) da massa.
6. Nas figuras acima, estude o comportamento da força como função de
x e esboce os gráficos correspondentes. Compare o comportamento da
força com o da velocidade do movimento em cada caso.
5.6
Trabalho
Considere que, sob a ação de uma força f , um objeto sofra um deslocamento
infinitesimal ∆x. Dizemos que a força realizou um trabalho
∆W = f ∆x .
56CHAPTER 5. TRABALHO E ENERGIA NO MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
V
x=x1
x=x1
x
V=E
V=V(x)
Figure 5.1:
V
x
x=x1
V=E=Vmin
V=V(x)
Figure 5.2:
5.6. TRABALHO
57
V
V=E
x
V=V(x)
x=0
Figure 5.3:
V
V=E
x
V=V(x)
Figure 5.4:
58CHAPTER 5. TRABALHO E ENERGIA NO MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
V
V=E
x
V=V(x)
x=0
Figure 5.5:
O significado desta definição de trabalho pode ser entendido pela figura
abaixo.
Neste exemplo, para levantar o peso de massa m por uma altura ∆h, devemos puxar a corda pela mesma distância ∆h, com a força f = mg. Quando
o objeto é levantado por ∆h, ele adquire a energia potencial
∆V = mg × ∆h.
Por outro lado, o trabalho que foi fornecido pela força que puxou a corda é
∆W = T × ∆h
= mg × ∆h,
5.6. TRABALHO
59
onde T é a tensão da corda, que é igual, em módulo, à força gravitacional
atuando na massa, mg.
Assim, temos
∆V = ∆W,
indicando que o trabalho definido desta forma equivale à mudança na energia
potencial causada pela força.
1. Pela conservação de energia, deduza a força f necessária para levantar
a carga no caso ilustrado abaixo. Cada roldana tem massa m.
f
M
2. Explique o funcionamento de uma alavanca em termos da conservação
de energia.
60CHAPTER 5. TRABALHO E ENERGIA NO MOVIMENTO UNIDIMENSIONAL
Chapter 6
Movimento Bi- e
Tri-Dimensional
6.1
Noção de Trajetória
Quando um objeto se movimenta num plano, ou no espaço, precisamos de
mais de uma variável para especificar sua posição em cada instante. Para
determinar a posição de uma partícula num plano, precisamos de duas coordenadas, x e y. No espaço, precisamos de três coordenadas, x, y e z. O
número de coordenadas necessárias para determinar o movimento de um sistema é chamado de graus de liberdade. Para determinar o movimento de um
objeto não puntiforme, por exemplo, uma bola de bilhar, além do movimento
de translação na mesa, devemos considerar o movimento de rotação da bola.
Neste caso, embora o movimento da bola esteja limitado a um plano (no caso
a mesa de bilhar), o número de graus de liberdade é maior que 2.
No momento, vamos nos concentrar no estudo de objetos puntiformes.
Começamos com o caso bi-dimensional. Estabelecendo o sistema de coordenadas no plano em questão podemos expressar a posição do objeto pelas
suas coordenadas,
(x, y) .
O par de números (x, y) determina a posição da partícula. Esta representação
corresponde à determinação da posição em termos de pontos num mapa.
Quando o objeto se movimenta, as variáveis x e y passam a depender do
tempo.
x = x (t) ,
y = y (t) .
61
(6.1)
(6.2)
62
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
A sequência das posições nos instantes sucessivos,
(x (t1 ) , y (t1 )) , (x (t2 ) , y (t2 )) , (x (t3 ) , y (t3 )) , ...
forma uma curva no plano. Esta curva é chamada de trajetória da partícula.
A equação de trajetória
y = f (x)
(6.3)
pode ser obtida das Eqs.(6.1,6.2) ao eliminarmos o parâmetro t.
Exercício:
1. Obtenha a trajetória dos seguintes movimentos e desenhe-a no plano
x − y.
(a)
x = x0 (const.) ,
y = t,
(b)
x = t−2
y = 2t + 1,
(c)
x = 3 + t,
1
y = 1 + t − t2 ,
2
(d)
x = R cos ωt,
y = R sin ωt,
(R, ω : const.)
(e)
x = 2R cos ωt,
y = 3R sin ωt,
(f)
π
x = 2R cos ωt +
,
4
y = 3R sin (ωt) ,
6.2. VETORES
63
(g)
et + e−t
,
2
et − e−t
y =
,
2
x =
6.2
Vetores
Percebemos que para o movimento bidimensional, diferentemente do caso
unidimensional, o conceito de velocidade deve ser generalizado para incluir
não só a magnitude da velocidade, mas também sua direção. Uma grandeza
que tenha magnitude e direção é denomidada vetor e representada por uma
flecha. A direção e o comprimento da flecha dão a direção e a magnitude do
vetor, respectivamente.
É comum expressar um vetor com uma seta em cima da letra, por exemplo:
#v ,#a, #y , ...
Note que os vetores não são números comuns e, portanto, deve-se tomar
cuidado para nunca confundi-los.
Um vetor
Por outro lado, se especificarmos a trajetória do objeto em termos de suas
coordenadas x e y,
x = x (t) ,
y = y (t) ,
então, é óbvio que a velocidade na direção x é dada por
vx =
dx
,
dt
(6.4)
64
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
e, também, a velocidade na direção y fica
vy =
dy
.
dt
(6.5)
→
V
dy
dt
dx
dt
As equações (6.4,6.5) mostram que num intervalo de tempo infinitesimalmente pequeno, ∆t, o objeto se desloca no plano X − Y de
∆x = vx ∆t
na direção de X e por
∆y = vy ∆t
na direção Y. Pelo teorema de Pitágoras, a distância percorrida pelo objeto
é
∆l = ∆x2 + ∆y 2 ,
donde sua velocidade é dada por
∆x2 + ∆y 2
∆l
v = lim
= lim
∆t→0 ∆t
∆t→0
∆t
2 2
∆x
∆y
= lim
+
∆t→0
∆t
∆t
=
vx2 + vy2 .
6.3. VETOR DESLOCAMENTO
6.3
65
Vetor deslocamento
A natureza vetorial da velocidade de um objeto vem do carácter vetorial do
deslocamento do objeto. Para perceber a natureza vetorial do deslocamento,
considere um objeto que se desloca do ponto P0 = (x0 , y0 ) ao ponto P1 =
(x1 , y1 ). Podemos associar o vetor deslocamento à seta que aponta do ponto
P0 ao ponto P1 . Obviamente, o deslocamento tem magnitude (a distância
entre os pontos) e direção (a mesma da seta). Portanto, o deslocamento é
−→
−→
um vetor. Denotamos o vetor deslocamento por ∆r. O vetor ∆r é a seta
−−→
P0 P1 ., i.e,
−→ −−→
∆r = P0 P1 .
−→
Em termos de componentes, podemos expressar ∆r por
−→
x1 − x0
∆r →
.
y1 − y0
Podemos definir as seguintes operações algébricas para vetores deslocamento:
−→
a. Multiplicação de um vetor por um número. Para um dado vetor ∆r
−→
e um α constante, podemos considerar o deslocamento α vezes ∆r.
Expressamos o vetor resultante como
−→
α ∆r.
−→
Ele é um vetor de magnitude α vezes maior do que ∆r. A direção de
−→
−→
α ∆r será a mesma que ∆r para α > 0 e oposta caso α < 0. Assim,
−→
(−1) ∆r
−→
expressa um vetor de mesma magnitude e direção oposta à ∆r. Neste
caso escrevemos simplesmente
−→
−∆r.
b. Adição de dois vetores. Podemos considerar o deslocamento sucessivo
−→
−→
de dois vetores de deslocamento, ∆r1 e ∆r2 . O resultado também é
um deslocamento e pode, portanto, ser expresso por um vetor. O vetor
resultante dos deslocamento sucessivo é definido como o vetor que liga
o ponto inicial e o ponto final do deslocamento. Denotamos a operação
de deslocamento sucessivo pelo símbolo (+).
66
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
P2
∆r 2
∆r 3
P1
∆r 1
P0
Na figura acima, temos
−→
−→
−→
∆r3 = ∆r1 + ∆r2 .
O símbolo + para adição vetorial não deve ser confundido como o
simbolo + entre números. Não existe uma quantidade correspondente
à expressão,
−→
∆r1 + α ,
na qual α é um número.
Exercícios:
1. Segundo a definição de adição para vetores de deslocamento, não é
óbvio que vale a regra
−→ ? −→
−→
−→
∆r1 + ∆r2 = ∆r2 + ∆r1 .
Prove (geometricamente) que de fato vale a regra acima.
2. Seguindo as definições a,b acima mostre geometricamente o significado
da expressão,
−→
−→
−→
∆r3 = ∆r1 − ∆r2 .
−→ −→
3. Para um par de vetores de deslocamento, ∆r1 e ∆r2 , e dois números α
e β, podemos construir o vetor,
−→
−→
−→
∆r3 = α∆r1 + β ∆r2 .
6.3. VETOR DESLOCAMENTO
67
−→
−→ −→
Dizemos que ∆r3 é uma combinação linear de ∆r1 e ∆r2 .
−→ −→
Sejam ∆r1 e ∆r2 dados na figura abaixo
∆r 2
∆r 1
−→ −→
Os vetores ∆r1 e ∆r2 são perpendiculares entre si e têm o mesmo módulo.
Desenhe o vetor resultante das seguintes combinações lineares.
1 −→
1 −→
∆r1 + ∆r2 ,
2
2
−→
−→
2∆r1 + ∆r2 ,
−−→
−→
∆r1 + 2∆r2 ,
−−→
−→
3∆r1 − 2∆r2 ,
4. Encontre a condição sobre os coeficientes α e β de uma combinação
linear entre dois vetores,
−→
−→
−→
∆r3 = α∆r1 + β ∆r2
para a qual os pontos finais dos três vetores
−→ −→ −→
∆r1 , ∆r2 , ∆r3
fiquem numa mesma reta (veja a figura).
68
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
∆r 3
∆r 2
∆r 1
Figure 6.1:
6.4
Espaço vetorial
Na seção anterior definimos de forma intuitiva o que entendemos por vetores.
Discutimos algumas das propriedades vetoriais que nos serão úteis ao longo
do nosso curso. O objetivo principal para introduzir o conceito de vetor é
incorporar a noção de "direção" na nossa analise. Cabe a pergunta. O que
distingue uma direção a outra numa linguagem matemática? O objetivo da
presente seção é formalizar matematicamente o conceito de vetor.
Considere um conjunto V cujo elementos são denotados por uma seta,
como por exemplo
V = {#u, #v , ....} .
Embora a notação #u lembre o vetor discutido na seção anterior, o símbolo
→
−
→ é utilizado somente para indicar que −
u é elemento do conjunto V e, por
enquanto, não estamos considerando quaisquer atribuições a esses elementos
(ou seja, eles ainda podem ser qualquer coisa...).
Agora, para introduzir a noção de direção em V , é fundamental que sejam
definidas as seguintes duas operações: primeira, a adição, que a cada par de
elementos #u, #v ∈ V faz corresponder um outro elemento de V , w
# = #u + #v.
Essa operação corresponde ao "deslocamento sucessivo" de dois vetores na
seção anterior. Note que aqui o símbolo + em princípio não tem nada a ver
com a adição de números comuns. Segunda, a multiplicação por um número
real, que a cada número real α ∈ R (R : conjunto de todos os números reais)
e a cada elemento #v ∈ V faz corresponder um outro elemento de V , α · #v,
6.4. ESPAÇO VETORIAL
69
geralmente escrito apenas como α#v. Essa operação corresponde a deslocar α
vezes na direção do vetor #v .
Dizemos que V é um espaço vetorial se, para quaisquer α , β ∈ R e
#u, #v , w
# ∈ V , forem satisfeitas as condições abaixo, conhecidas como axiomas
de espaço vetorial:
1. (Comutatividade) #u + #v = #v + #u ;
2. (Associatividade) (#u + #v) + w
# = #u + (#v + w)
# ;
3. (Elemento nulo) existe um elemento #0 ∈ V tal que #0 + #v = #v + #0 = #v
para todo #v ∈ V ;
−−→
4. (Inverso aditivo) para cada #v ∈ V existe um elemento (−v) ∈ V
−−→
chamado de inverso aditivo de #v tal que #v + (−v) = 0.Denotamos
−−→
simplesmente (−v) = −#v ;
5. (Distributividade) (α + β)#v = α#v + β#v e α(#u + #v ) = α#u + α#v ;
6. (Multiplicação por 1) 1 · #v = #v .
Caso o conjunto V munido das duas operações + e · forme um espaço
vetorial, diremos que seus elementos são vetores. Em princípio, α poderia
ser um número complexo, ou, mais geralmente, um elemento de um corpo
qualquer. Contudo, para este curso, o corpo em questão será sempre o dos
reais.
Exercício:
1. Mostre geometricamente que o conjunto formado pelos vetores deslocamento e munido das operações definidas na seção anterior forma um
espaço vetorial.
2. Mostre que o conjunto de todas as funções, V = {f (x)} com domínio
no intervalo a ≤ x ≤ b forma um espaço vetorial.
3. Mostre que o conjunto das regras acima para constituir um espaço
vetorial permite, se α = 0 , a operação "algébrica": se α#u + β#v =
#0,então
β
#u = − #v .
α
70
6.5
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
Independência linear, Combinação linear
e Dimensão de um espaço vetorial
Somente da definição formal acima de um espaço vetorial V, a noção de
"direção" que queremos formalizar ainda não fica explícita. Vamos analizar
essa questão mais em detalhe.
Consideremos um vetor u ∈ V e o vetor resultante de multiplicação por
um número real α,
#v = α#u ∈ V.
No caso do vetor de deslocamento, essa operação corresponde a um deslocamento na mesma direção de #u pelo fator α. Assim, a multiplicação por um
número não altera a direção. Generalizando essa ideia, podemos considerar
que, para um dado vetor u, todos os vetores da forma
#v = α#u
(6.6)
estão essencialmente na mesma direção (a direção oposta também considera
a mesma direção). Quando os dois vetores estiverem na mesma direção, diremos que os dois vetores são linearmente dependentes. Inversamente, quando
os dois vetores representarem essencialmente direções distintas, não é possível
escrevê-los na forma Eq.(6.6), e diremos que os dois vetores são linearmente
independentes.
Como podemos expressar operacionalmente uma situação em que os dois
vetores #u e #v não podem ser relacionados na forma Eq.(6.6)? Para responder
a esta pergunta, vamos, primeiramente, considerar o caso inverso, ou seja, os
dois vetores #u e #v são expressos em termos da Eq.(6.6) e, portanto, linearmente dependentes. A Eq.(6.6) mostra que existem dois números α, β ∈ R
não nulos tal que
α#u + β#v = #0.
A forma do lado esquerdo da equação acima, α#u + β#v é chamada combinação
linear de #u e #v.
Agora, queremos a situação contrária. Neste caso, a afirmação de que
não há α, β não nulos que satisfazem a equação acima é equivalente à
condição
α#u + β#v = #0,
implicar necessariamente (se e somente se) em
α = β = 0.
Assim, estabelecemos a definição de independência linear de dois vetores por:
6.5. INDEPENDÊNCIA LINEAR, COMBINAÇÃO LINEAR E DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORI
Definição: Os dois elementos #u e #v ∈ V são ditos linearmente independentes
quando a equação
α#u + β#v = #0,
se e somente se
α = β = 0.
No exemplo de vetores de deslocamento, a definição acima está dizendo
que para se voltar ao ponto inicial (#0) fazendo deslocamentos de tamanho α
e β, respectivamente, em duas direções distintas, #u e #v, a única maneira é
não andar nem na direção #u nem #v,ou seja, α = 0, β = 0.
Podemos generalizar a definição acima.
Definição: Os n elementos #u1 , #u2 , .., #un ∈ V são ditos linearmente independentes quando a equação
vale se e somente se
α1#u1 + α2#u2 + · · · + αn#un = #0,
α1 = α2 = · · · = αn = 0.
Os n vetores linearmente independentes representam essencialmente n
direções distintas. Mas para entender melhor o que significa "as direções
essencialmente distintas", vamos considerar um exemplo de deslocamento no
plano x − y. Escolhemos dois vetores de deslocamento #u e #v. Se esses dois
vetores #u e #v representam duas direções essencialmente diferentes, sabemos
que podemos alcançar qualquer ponto do plano combinando os dois deslocamentos adequadamente. Assim, sabemos que qualquer ponto no plano, w,
#
pode ser escrito pela combinação linear
w
# = α#u + β#v .
Em outras palavras, o plano x−y pode ser completado pela combinação linear
de dois vetores linearmente independentes. Mas isto implica que quaisquer
3 vetores, #u, #v e #z no plano x − y sempre podem ser escrito como
α#u + β#v + γ w
# = #0.
Ou seja, no espaço vetorial do plano x − y não há possibilidade de escolher
3 vetores linearmente independentes. O número máximo de vetores linearmente independentes neste caso é 2.
Para um dado espaço vetorial V, o número máximo de vetores linearmente
independentes possível é chamado de dimensão do espaço. Como vimos, no
caso de plano x − y, a dimensão é 2. A dimensão do espaço é o número
máximo de direções essencialmente distintas contidas no espaço.
72
6.6
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
Base, Componentes
Seja V um espaço vetorial de dimensão n. Então, por definição, existem n
vetores linearmente independentes. Sejam #e1 , #e2 , .., #en vetores linearmente
independentes. Então, pela definição de dimensão, qualquer vetor #u ∈ V
pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores, #e1 , #e2 , .., #en .
#u = u1#e1 + u2#e2 + · · · + un#en .
O conjunto {#e1 , #e2 , .., #en } é dito uma base do espaço V. Os números, u1 , u2 , .., un
são ditos os componentes do vetor #u na base {#e1 , #e2 , .., #en } .
No caso de espaço 3-dimensional real, podemos considerar como base os
3 vetores #i, #j, #k que estão nas direções de eixos X,Y e Z, respectivamente.
6.7
Produto Escalar (Produto Interno) - Motivação
A força física tem carater vetorial, ou seja, ela tem tamanho e direção. Assim,
representamos a força por f#. Quando essa força movimenta uma partícula,
causando um deslocamento ∆#r, podemos consideramos o trabalho feito por
esta força. Escolhendo um sistema de coordenadas, podemos expressar tanto
f# como ∆#r em termos de suas componentes,


fx
f# →  fx  ,
fz


∆x
∆#r →  ∆y  .
∆z
O trabalho realizado pela força f# então é a soma das contribuições de cada
uma das componentes,
∆W = fx dx + fy dy + fz dz.
(6.7)
A expressão acima pode ser considerada como um procedimento para se obter
um número (∆W ), a partir de um par de vetores, ∆#r e f#,
∆#r, f# ∈ V → ∆W ∈ R
Um procedimento para se construir um número (chamado de escalar, em
contraste a vetor) a partir de dois vetores #u e #v quaisquer é dito o produto
escalar (ou produto interno) e escrito como (#u, #v) ou #u · #v.
6.7. PRODUTO ESCALAR (PRODUTO INTERNO) - MOTIVAÇÃO 73
Exercícios: Consideremos dois vetores #a e #b no plano x − y, sendo
#a =
ax
ay
,
#b =
bx
by
.
Definimos um produto escalar #a · #b por
#a · #b = ax bx + ay by .
(6.8)
#
Sendo #a, b , #c vetores quaisquer e x um número, mostre que o produto
escalar tem as seguintes propriedades:
1. (a) Reciprocidade:
#a · #b = #b · #a,
(b) Distributividade:
#a · #b + #c = #a · #b + #a · #c,
#a + #b · #c = #a · #c + #b · #c,
(c) Linearidade em ambos os argumentos:
#a · x#b = x #a · #b ,
#
#
(x#a) · b = x #a · b .
(d) Positividade:
#a · #a ≥ 0,
com a igualdade válida somente para o vetor nulo, ou seja
#a · #a = 0 ⇔ #a = 0.
Note que a quantidade,
é o módulo do vetor #a.
√
#a · #a = |#a|
74
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
6.8
Produto Escalar para definir a geometria
(ângulos, distâncias)
Quando introduzimos um espaço vetorial na forma abstrata, pelas regras
de adição e multiplicação por escalar como na seção anterior, devemos notar
que ainda não temos noção de distância e nem de ângulos entre duas direções.
Assim, ainda não temos conceito de eixos "ortogonais". Em seguida, veremos
que, se o produto escalar é definido no espaço vetorial V, podemos estabelecer
os conceitos de distância e de ângulos entre dois vetores.
Primeiramente, vamos supor que exista uma regra de construir um número
#u · #v a partir de dois vetores quaisquer #u e #v no espaço vetorial V.
∀
#u, #v ∈ V → #u · #v ∈ R
Aqui, não perguntamos na prática como obter o número #u · #v,mas exigimos
que esta construção satisfaça às seguintes regras ∀#u, #v e w
# ∈V
1. (a) Reciprocidade:
#u · #v = #v · #u,
(b) Distributividade:
#u · (#v + w)
# = #u · #v + #u · w,
#
(#u + #v ) · w
# = #u · w
# + #v · w,
#
(c) Linearidade em ambos os argumentos:
#u · (x#v ) = x (#u · #v ) ,
(x#u) · #v = x (#u · #v ) .
(d) Positividade:
#u · #u ≥ 0,
com a igualdade válida somente para o vetor nulo, ou seja
#u · #u = 0 ⇔ #u = 0.
A quantidade,
√
#u · #u = |#u| ,
é chamada de módulo do vetor #u.
6.8. PRODUTO ESCALAR PARA DEFINIR A GEOMETRIA (ÂNGULOS, DISTÂNCIAS)75
Exercícios:
1. Usando somente as regras obtidas no exercício anterior, prove as seguintes
igualdades.
2
#a + #b · #a − #b = |#a|2 − #b ,
2
2
#
#
#a + b · #a + b = |#a| + #b + 2 #a · #b .
2. Sejam #e1 e #e2 os vetores unitários linearmente independentes num espaço vetorial de dimensão 2 (por exempo, o plano X − Y ). Qualquer
vetor no espaço pode ser expresso como uma combinação linear dos #e1
e #e2 . Por exemplo,
#a = a1 #e1 + a2 #e2 ,
#b = b1 #e1 + b2 #e2 .
Como vimos, o conjunto de vetores #e1 e #e2 formam uma base deste
espaço. Os coeficientes (a1 , a2 ) são chamados de componentes do vetor
#a nesta base. Além disto, supomos que (#e1 · #e2 ) = 0. Neste caso, a
base (#e1 , #e2 ) é dita "ortonormal". Analogamente, (b1 , b2 ) são as compontentes do vetor #b nesta base. Usando somente a regra utilizada na
questão-1 acima, expresse o produto escalar
#a · #b
em termos dessas componentes. A partir daí mostre que a1 = #e1 · #a e
a2 = #e2 · #a
3. Qual é a condição para que dois vetores, #a e #b sejam paralelos? Como
fica esta condição em termos de componentes? Faça o mesmo para #a e
#b ortogonais.
4. Mostre que o módulo de um vetor
#a = a1 #e1 + a2 #e2 ,
é dado por
|#a| = a21 + a22 .
5. Considere dois vetores #a e #b no plano X − Y. Sendo #e1 e #e2 os vetores
unitários nas direções de X e Y respectivamente, use
#a = a1 #e1 + a2 #e2 ,
#b = b1 #e1 + b2 #e2 .
76
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
para mostrar que o ângulo entre #a e #b é dado por
cos θ = a1 b1 + a2 b2
,
a21 + a22 b21 + b22
6. Muitas vezes expressamos um vetor em termos de suas componentes
como
a1
.
#a →
a2
Mostre que
a1
a2
a1 + b1
+
=
a2 + b2
a1
xa1
x
=
.
a2
xa2
b1
b2
,
7. Sejam
#a →
#b →
2
3
3
1
,
,
numa base {#e1 , #e2 } . Calcule o módulo dos seguintes vetores:
1) #a + #b,
2) 2#a − 3#b.
8. Sejam
#a →
#b →
5
3
2
−1
,
,
na base {#e1 , #e2 } . Obtenha o vetor #x (e suas componentes) que satisfaz
às seguintes equações.
1) #a + #x = 2#b,
2) 2#a + #x = 3#b − #x
6.9. VETOR POSIÇÃO
77
9. Normalize o vetor
#a →
2
3
,
isto é, obtenha o vetor unitário que tem a mesma direção que #a.
10. Normalize os seguintes vetores:
1
1
−1
2
11. Demonstre geometricamente que os vetores
1
#a + #b
2
1
#v =
#a − #b
2
#u =
são ortogonais entre si se, e somente se, #a e #b têm o mesmo módulo.
Também verifique algebricamente.
12. Demonstre que o trabalho definido na Eq.(6.7) é escrito também como
dW = |d#r| f# cos θ,
onde
|d#r| =
(dx)2 + (dy)2 + (dz)2 ,
#
fx2 + fy2 + fz2 ,
f =
e θ é o ângulo entre os vetores f# e d#r.
6.9
Vetor Posição
Qualquer ponto no plano X − Y de coordenadas (x, y) pode ser obtido da
origem através do deslocamento
x
.
y
78
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
Desta forma, podemos identificar a posição de um objeto puntiforme qualquer
no plano X − Y como sendo um vetor de deslocamento a partir da origem do
sistema de coordenada em uso. Expresso dessa forma, o vetor correspondente
é chamado vetor posição. Assim, para qualquer ponto P (x, y) associamos
um vetor posição
x
y
−→
como sendo a seta OP . Mas lembre que quando falamos de adição vetorial,
sempre associamos o conceito de deslocamento para um vetor.
1. Consideremos três pontos, A, B e C no plano X − Y . Escolhendo um
outro ponto O como origem, podemos considerar três vetores posição,
#a, #b e #c, correspondentes aos pontos A, B, e C, respectivamente. Expresse o vetor posição #g do centro geométrico do triângulo ABC em
termos dos vetores, #a, #b e #c.
2. Mostre que se escolhermos o centro geométrico do triângulo ABC como
origem, os vetores posição #a, #b e #c satisfazem à relação,
#a + #b + #c = #0.
3. Num triângulo, podemos associar um vetor para cada uma das arestas.
Sejam #a, #b e #c estes três vetores. Mostre que, escolhendo as direções
destes vetores apropriadamente, podemos ter
#a + #b + #c = #0.
(a) Expresse o centro geométrico do triângulo em termos destes vetores.
(b) Mostre que
a2 + b2 − c2
= cos θ.
2ab
onde a, b e c são os comprimentos das arestas e θ é o ângulo entre
as arestas a e b (veja a Fig. abaixo).
b
c
θ
a
6.9. VETOR POSIÇÃO
79
4. Sejam O, A, B e C 4 pontos distintos no plano X − Y . Prove que se
OB ⊥ CA,
OC ⊥ AB,
então
OA ⊥ BC.
5. Seja t um parâmetro que varia no intervalo
−1 ≤ t ≤ 1.
e
#e1 =
#e2 =
#r0 =
#a =
1
0
0
1
1
2
3
−1
,
,
Desenhe a trajetória dos seguintes vetores #r (t) no plano (X − Y ) . Calcule o vetor velocidade e desenhe seu movimento em t.
#r (t)
#r (t)
#r (t)
#r (t)
=
=
=
=
2t #e1 − (2 + t) #e2 ,
(1 − t) #a + #r0 ,
1 − t2 #e2 + t #e1 + #r0 .
t2#a + t#e1 + (1 − 2t) #e2 + #r0
6. O movimento de uma partícula é dado por
#r (t) = #r0 + #v0 t,
onde t é o tempo e #r0 e #v0 são vetores constantes.
(a) Qual é o movimento desta partícula?
(b) Um observador está numa posição cujo vetor posição é dado por
#a. Expresse a distância entre a partícula e o observador em função
do tempo t e discuta o comportamento desta função.
80
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
(c) Obtenha o instante tmin para o qual esta distância é mínima. Encontre o vetor posição #rmin da partícula neste instante e calcule a
partir daí a distância mínima entre a partícula e o observador.
(d) Calcule o vetor velocidade da partícula.
(e) Mostre que o vetor
d# (t) = #r (t) − #a
fica ortogonal à velocidade no tempo t = tmin . Interprete geometricamente este resultado.
6.10
Velocidade e Aceleração como vetor
Vamos considerar o movimento de um objeto cuja trajetória é dada por
#r = #r (t) .
A velocidade é definida como a variação do vetor posição num intervalo de
tempo infinitesimal. Já que a variação de um vetor é um vetor, a velocidade
é um vetor. Temos
d
(#r) .
#v ≡
dt
Note que a definição da derivada de uma função pode ser generalizada como
d
#r (t + ∆t) − r (t)
(#r) ≡ lim
,
∆t→0
dt
∆t
uma vez que todas as operações necessárias são bem definidas mesmo para
um vetor. Analogamente, o vetor aceleração é definido como
d#v
dt
d2#r
=
.
dt2
#a =
Podemos também generalizar o conceito de integral para um vetor. Seja #v (t)
um vetor que depende da variável t. Podemos definir a integral deste vetor
em t como
tf
N
′
′
#v (t ) dt = lim
∆t #v (ti ) ,
t0
∆t→0
N→∞ i=0
onde
ti = t0 + i∆t,
N∆t = (tf − t0 ) .
6.11. EQUAÇÃO DE NEWTON NA FORMA VETORIAL
81
Note que aqui também todas as operações necessárias são definidas para
vetores sem problemas.
Como no caso unidimensional, se a aceleração é dada explicitamente como
função do tempo t, podemos integrar a aceleração no tempo e obter o vetor
velocidade. Ao integrarmos o vetor velocidade no tempo, teremos o vetor
posição.
1. Obtenha o vetor posição como função do tempo para os seguintes casos
(#v : vetor velocidade, #a: aceleração. #e1 , #e2 : vetores constantes, ω :
constante). Assuma a condição inicial como
#r (0) = #r0 ,
#v (0) = #v0 .
1) #a (t) = #e2 ,
2) #a (t) = #e1 + t #e2
3) #a (t) = sin (ωt) #e1 + cos (ωt) #e2
6.11
Equação de Newton na forma vetorial
Podemos generalizar a segunda lei de Newton para a forma vetorial escrevendo
f# = m#a,
onde m é a massa do objeto, #a o vetor aceleração e f# o vetor força. Esta
equação diz que para alterar a velocidade, não apenas em módulo, mas também em direção, precisa-se de uma força. Note que esta equação é uma
relação que vale independentemente do sistema de coordenadas adotado. As
vezes é útil introduzir uma base (sistema de coordenadas) e expressar esta
relação em termos de componentes. Sejam #e1 e #e2 os vetores unitários nas
direções de X e Y , respectivamente. Estes vetores formam uma base ortonormal, isto é,
#e1 · #e1 = 1,
#e1 · #e2 = 0,
#e2 · #e2 = 1,
ou, numa forma mais compacta,
ei · ej = δ ij ,
82
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
onde o simbolo δ ij é chamado de delta de Kronecker e definido por
δ ij =
1, i = j
.
0, i =
j
Exercícios:
1. Seja
i, j ∈ {1, 2, ..., N} .
Mostre as seguintes propriedades da delta de Kronecker.
δ ij = δ 2ij ,
N
δ ij = 1.
i=1
N
i=1
N
N
δ ij ai = aj ,
δ ij ai bj =
i=1 j=1
N
N
ai bi ,
i=1
δ ij δ jk = δ ik ,
j=1
N
i=1
δ ij (1 − δ ij ) = 0.
2. Seja #a um vetor que expresso em termos da base ortonormal{#e1 , #e2 }
fica
#a = a1#e1 + a2#e2 .
Mostre que
a1 = #e1 · #a,
a2 = #e2 · #a,
ou seja,
ai = #ei · #a, i = 1, 2.
6.12. A 2A LEI DE NEWTON EM TERMOS DE COMPONENTES
6.12
83
A 2a Lei de Newton em termos de componentes
Como vimos, podemos expressar qualquer vetor no plano X − Y como uma
combinação linear dos vetores base {#e1 , #e2 }. Escrevendo
#a = a1#e1 + a2#e2 ,
f# = f1#e1 + f2#e2 ,
a segunda lei fica
f1#e1 + f2#e2 = m (a1#e1 + a2#e2 ) .
Rearruamando, temos
(f1 − ma1 ) #e1 + (f2 − ma2 ) #e2 = #0.
Esta equação tem a forma,
x#e1 + y#e2 = #0.
Usando as propriedades de #e1 e #e2 , definidos na seção anterior, é fácil perceber
(mostre!) que a única solução da equação acima é
x = y = 0,
ou seja,
Equivalentemente, temos
f1 − ma1 = 0,
f2 − ma2 = 0.
f1 = ma1 ,
f2 = ma2 .
Em outras palavras, a equação vetorial
f# = m#a,
implica que cada componente dos vetores são iguais. Uma equação vetorial
bi-dimensional resulta em duas equações, uma para cada componente. Em
termos de componentes, a equação vetorial
f1
a1
=m
,
f2
a2
representa as duas equações
f1 = ma1 ,
f2 = ma2 .
84
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
6.13
Caso Tridimensional
No espaço tridimensional existem 3 direções independentes. Ou seja, existem
3 vetores linearmente independentes. Como vimos, três vetores #a, #b e #c são
ditos linearmente independentes se a equação
x#a + y#b + z#c = 0
possuir como única solução
x = y = z = 0.
Exercícios:
1. Mostre, a partir da definição acima, que se três vetores forem linearmente independentes então nenhum dos três vetores pode ser expresso
como uma combinação linear dos outros dois.
2. Expresse a condição para que três vetores #a, #b e #c fiquem num mesmo
plano.
3. Vamos introduzir três vetores unitários {#e1 , #e2 , #e3 } nas direções de X,
Y e Z respectivamente. Este conjunto forma uma base ortonormal.
Podemos expressar qualquer vetor #a como uma combinação linear destes
vetores base.
#a = a1#e1 + a2#e2 + a2#e2 .
Sabemos que para quaisquer dois vetores #a e #b existe um plano que
os contém. Neste plano, podemos definir o produto escalar exatamente como no caso bi-dimensional. Assim, mesmo para vetores tridimensionais, definimos o produto escalar #a · #b como sendo
#a · #b = |#a| #b cos θ,
onde θ é o ângulo entre estes dois vetores definido no plano que os
contém.
(a) Mostre que
#ei · #ej = δ ij , (i, j) = {1, 2, 3} .
(b) Mostre que mesmo para três vetores #a, #b, e #c que não estejam num
mesmo plano vale a seguinte lei de distributividade,
#
#a · b + #c = #a · #b + #a · #c.
6.13. CASO TRIDIMENSIONAL
85
(c) Sejam
#a = a1#e1 + a2#e2 + a2#e2 ,
#b = b1#e1 + b2#e2 + b2#e2 .
Expresse o produto escalar #a · #b em termos de a1 , a2 , a3 , b1 , b2 e b3 .
86
CHAPTER 6. MOVIMENTO BI- E TRI-DIMENSIONAL
4. Argumente porquê as definições de derivada e integral de um vetor que
é função de um parâmetro t podem ser extendidas igualmente para o
caso tridimensional.
5. Consideremos o movimento de um objeto cuja aceleração é um vetor
constante,
#a = #a0 .
(a) Obtenha o vetor velocidade como função do tempo t, posta a
condição inicial
#v (0) = #v0
Mostre que existe um plano que contém o vetor velocidade para
todo o instante t.
(b) Obtenha o vetor posição correspondente como função do tempo t,
com a condição inicial,
#r (0) = #r0 .
Demonstre que o movimento da partícula está restrito a um plano
e discuta a trajetória da partícula neste plano.
6. Seja
#x = #x (t) = cos (ωt) #e1 + sin (ωt) #e2 ,
onde #e1 e #e2 são os vetores unitários nas direções de X e Y , respectivamente.
(a) Esboce o movimento do vetor posição no plano X − Y .
(b) Calcule o vetor velocidade #v em função do tempo e esboce o movimento deste vetor no plano X − Y .
(c) Calcule o vetor aceleração #a em função do tempo e esboce o movimento deste vetor no plano X − Y .
7. Sejam
#a = #a (t) ,
#b = #b (t) ,
dois vetores que variam no tempo.
(a) O produto escalar destes dois vetores é uma função (escalar) no
tempo. Usando as propriedades do produto escalar, mostre que
d#b
d # d#a #
#a · b =
· b + #a · .
dt
dt
dt
6.13. CASO TRIDIMENSIONAL
87
(b) Prove que para um movimento em que o vetor posição mantém
seu módulo constante (i.e., um movimento circular, mas não necessariamente uniforme), o vetor velocidade é perpendicular ao vetor
posição.
8. Considere o movimento de um projétil de massa m lançado no ar com
velocidade inicial #v0 e posição inicial #r0 . Despreze a força de atrito do
ar. A força gravitacional da Terra é dada por
f# = −mg#e3 ,
onde g é a constante de aceleração gravitacional da Terra e #e3 é o vetor
unitário na direção vertical da Terra, que escolhemos como o eixo Z.
(a) Calcule o vetor velocidade.
(b) Calcule o vetor posição.
(c) Mostre que os vetores posição e velocidade sempre estão num
mesmo plano.
(d) Podemos escolher os eixos X e Y de tal forma que o plano X − Z
seja o plano do movimento. Isto equivale a escolher os dois vetores
#r0 e #v0 apropriadamente. Quais devem ser as formas destes vetores
na base
{#e1 , #e2 , #e3 }?
#e1 e #e2 são os vetores unitários nas direções de X e Y respectivamente.
(e) Obtenha a equação da trajetória neste plano,
z = z (x) .
(f) Seja


cos θ
#v0 = v0  0  ,
sin θ
onde v0 > 0 é o módulo da velocidade inicial e θ é o ângulo entre
a velocidade inicial e o eixo X. Obtenha a altura máxima que o
projétil alcança em função do ângulo θ e de v0 .
(g) Obtenha as coordenadas no plano X − Y do ponto onde o projétil
cai na superfície da Terra (alcance do projétil), tomando a origem
no ponto de lançamento.
(h) Para um dado v0 , qual é o ângulo de lançamento que fornece o
maior alcance do projétil?