Funções vetoriais nos espaços bi e tridimensionais

Funções vetoriais nos espaços bi e tridimensionais: uma intervenção com
o software GeoGebra.
Roberto Seidi Imafuku1
GD4 – Educação Matemática no Ensino Superior
Apresenta-se neste artigo um projeto de pesquisa de Doutorado em Educação Matemática, que tem por
objetivos verificar e enriquecer as Definições de Conceito e as Imagens de Conceito evocadas de um grupo
de estudantes de um Curso de Licenciatura em Matemática, sobre o objeto função vetorial. Colocam-se como
questões de pesquisa Qual é a imagem de conceito evocada por estudantes ao realizar atividades envolvendo
funções vetoriais? Qual é a definição de conceito de função vetorial desses estudantes? Um conjunto de
atividades, num ambiente informático, com o uso do software Geogebra, enriquece a imagem de conceito de
função vetorial desse grupo? Escolheu-se como fundamentação teórica as ideias de Tall e Vinner (1981) de
Imagem de Conceito e de Definição de Conceito, que nortearão a elaboração e a análise de dois instrumentos
de pesquisa, um conjunto de questões e um conjunto de atividades. O primeiro será aplicado antes e depois
da aplicação do segundo, para verificar se foi enriquecida a imagem de conceito de função vetorial, depois
que os sujeitos realizarem as atividades do segundo instrumento, em duplas, acompanhadas por um
observador neutro e vídeo gravadas, num ambiente informatizado, com o software GeoGebra.
Palavras-chave: Ensino de Cálculo. Funções vetoriais. Imagem de Conceito. Definição de Conceito.
GeoGebra.
O início de nossa trajetória docente, na área de Matemática, deu-se em 1999, ano de
ingresso no curso Licenciatura em Matemática da Universidade Guarulhos. Na época, já
lecionava Matemática no Ensino Fundamental da Rede Pública do Estado de São Paulo. A
partir de 2004, ao final da Especialização em Educação Matemática, passamos a atuar,
também, como professor no nível superior, com aulas no Curso Licenciatura em
Matemática, que é a formação inicial de professores, na instituição citada.
Nesse curso, na disciplina Cálculo Diferencial e Integral VI, cujo conteúdo se iniciava com
integrais duplas e prosseguia com integrais triplas, funções vetoriais e integrais de linha,
pudemos perceber que os estudantes, assim como nós, enquanto estudante de Graduação,
apresentávamos dificuldades para determinar os limites de integração em integrais
definidas múltiplas. A partir de então, e nos semestres seguintes, outras turmas da mesma
disciplina tiveram dificuldades parecidas.
Nas disciplinas que envolvem Cálculo Diferencial e Integral (CDI) e que abordam funções
de várias variáveis reais, pudemos notar que muitos alunos, mesmo aqueles que foram bem
sucedidos nas funções de uma variável real, apresentam grandes dificuldades quando se
1
Universidade Anhanguera de São Paulo, e-mail: [email protected], orientadora: Vera Helena
Giusti de Souza.
deparam com uma função que é definida por mais de uma variável, no que diz respeito à
interpretação do significado e da representação gráfica.
Com uma inquietação muito grande, de 2006 a 2008, cursamos o “Mestrado Acadêmico
em Educação Matemática”, na PUC-SP, período em que frequentamos o grupo de pesquisa
“Matemática no ensino superior: Didática do Cálculo” e, sob orientação do Professor
Doutor Benedito Antônio da Silva, desenvolvemos a pesquisa intitulada “Sobre a
passagem do estudo de função de uma variável real para o caso de duas variáveis”, com o
objetivo de verificar quais as dificuldade e saberes manifestados pelos estudantes, relativos
à transição do estudo das funções de uma variável para o caso de duas variáveis, no que diz
respeito às variáveis e à interdependência entre elas; ao domínio e ao gráfico; à relação
entre o gráfico do domínio e o gráfico da função; e também quais manifestações dessas
dificuldades são reveladas no estudo das derivadas parciais de primeira ordem.
Para atingir o objetivo proposto, recorremos à Teoria dos Registros de Representação
Semiótica (DUVAL, 2003), segundo a qual só se pode acessar um objeto matemático por
meio de representações semióticas desse objeto e que são necessários ao menos dois
registros para que não se confunda um objeto com suas representações.
Após o término dessa pesquisa, mudamos nossa prática como professor de Cálculo e ao
iniciar a introdução das funções de duas variáveis reais, passamos a oferecer uma
abordagem com os Registros de Representação Semiótica (DUVAL, 2003), por meio de
atividades que permitem a conversão entre os registros e constatamos, na prática, uma
melhora na superação das dificuldades, por parte dos estudantes.
De 2008 a 2012, assumimos as aulas da disciplina CDI em que se abordam as funções
vetoriais2 e surge uma nova e grande inquietação, agora em relação ao estudo das funções
vetoriais. Destacamos essa inquietação pois, em nossa prática, a partir de observações nas
aulas, nas avaliações e em conversas com os estudantes, verificamos que muitos
apresentam grandes dificuldades, pois não compreendem que ao estudar as funções
vetoriais estão tratando de uma função que a cada valor de um intervalo real I associa um
vetor ⃗ do espaço bi ou tri dimensional. E essa situação fica ainda mais complicada na
análise da representação gráfica, pois não a interpretam como, por exemplo, a trajetória
descrita por uma partícula ao longo do tempo (quando olhamos a variável independente
2
Neste texto, chamamos de funções vetoriais aquelas que têm como variável independente um número real e
como variável dependente um vetor bi ou tridimensional.
como sendo o tempo), pois fazem confusão com os gráficos de funções de uma e duas
variáveis, nos quais o conjunto domínio é representado no mesmo sistema de eixos que a
imagem, o que, em geral, não ocorre quando trabalhamos com as funções vetoriais, pois
esboçamos a imagem da função no espaço bi ou tri dimensional correspondente.
Partimos em busca de pesquisas, em Educação Matemática, que abordassem as funções
vetoriais para nos auxiliar, enquanto professor de Cálculo Diferencial e Integral desse
tópico, mas não encontramos nenhum trabalho sobre o tema. Decidimos, então, buscar um
Programa de Doutorado para desenvolver uma pesquisa sobre o ensino e a aprendizagem
de funções vetoriais e optamos pelo curso oferecido pela Universidade Anhanguera de São
Paulo, no qual, em 2012, cursamos duas disciplinas na condição de aluno especial e nos
identificamos com a linha de pesquisa Ensino e Aprendizagem de Matemática e suas
Inovações. Ingressamos no Programa no 1o semestre de 2014 e esta proposta de pesquisa é
resultado desse nosso primeiro ano como aluno regularmente matriculado no Doutorado.
Justificativa
Como apontamos anteriormente, não encontramos, até hoje, pesquisas na área de Educação
Matemática que abordam o ensino ou a aprendizagem de funções vetoriais, mas pesquisas
sobre o ensino e a aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral vêm apontando, ao
longo dos anos, que os índices de reprovação e desistência nessa disciplina são altos.
Como destacamos em nossa pesquisa de Mestrado (IMAFUKU, 2008), vários
pesquisadores já destacavam esses problemas. Barufi (1999, apud IMAFUKU, 2008)
aponta que, no ano de 1995, os índices de aprovação nos cursos de Matemática e
Estatística, oferecidos pela Universidade de São Paulo, eram baixos, nas áreas de ciências
exatas, ciências humanas e ciências biológicas.
Também em 1995, em seu boletm informativo nº6, a Sociedade Brasileira de MatemáticaSBM, segundo Reis (2001, p. 20), destacou a necessidade de se aprofundar a discussão
sobre o ensino do Cálculo.
Nessa mesma direção, Dall’Anese (2000) destaca os altos índices de reprovação na
disciplina e diz que esse fato sinaliza para a existência de problemas no ensino e na
aprendizagem. Com relação ao ensino, critica a abordagem do conteúdo por meio de aulas
expositivas, em que o professor apresenta as definições, propriedades e exemplos e sugere
que os estudantes resolvam listas de exercícios, pensando ter dado conta de cumprir os
objetivos.
Com vista nos altos índices de reprovação e evasão e na necessidade de aprofundar a
discussão sobre o ensino do Cálculo, como exemplificamos nos parágrafos anteriores,
muitas pesquisas foram e estão sendo desenvolvidas, visando a melhoria dos processos de
ensino e de aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral, mas em sua grande maioria
abordando os conceitos de limite, de derivada e de integral ou o ensino e a aprendizagem
do Cálculo de uma forma mais geral, com a abordagem por meio do uso das Tecnologias
de Informação e Comunicação (TIC), como exemplificamos no que segue

Tall e Vinner (1981) e Cornu (1991) discutem o pensamento matemático
avançado e as abordagens no ensino e na aprendizegem de limite

Vinner (1983), Dall’Anese (2000) e Giraldo (2004) desenvolveram
pesquisas tendo como objeto de estudo a derivada

Tall (1986) e Vidigal (2007) abordam, em seus trabalhos, aspectos ligados
ao Teorema Fundamental do Cálculo

Reis (2001) e Escher (2011) apresentam algumas possibilidades de
abordagens sobre o ensino e a aprendizagem de Cálculo

Vilarreal (1999) e Vieira (2013) destacam o uso das TIC no ensino e na
aprendizagem de Cálculo.
Não encontramos na literatura trabalhos que abordem o conceito de função vetorial, mas
nos deparamos com vários trabalhos que utilizam as Tecnologias de Informação e
Comunicação (TIC) para o ensino de Matemática, como Richt (2005) e Martins (2009),
que destacam a importância da utilização de recursos didáticos que possam motivar os
estudantes na busca pelo conhecimento.
Martins (2009) salienta que
alunos e professores procuram novos recursos e encontram na tecnologia uma
ligação entre a Matemática e a vida real no mundo atual. Enquanto professores
de Matemática, o nosso contributo pode passar por tentar trazer para a sala de
aula elementos motivadores, capazes de quebrar monotonias há muito instaladas
e de facilitar as aprendizagens (MARTINS, 2009, p. 2727).3
3
Fizemos a adaptação do texto ao novo acordo ortográfico
Em relação às disciplinas que envolvem o Cálculo Diferencial e Integral, pensamos que a
utilização do computador pode motivar e favorecer os processos de ensino e de
aprendizagem e também que, de acordo com Villareal (1999),
... o computador pode ser tanto um reorganizador quanto um suplemento nas
atividades dos estudantes para aprender Matemática, dependendo da abordagem
que eles desenvolvam nesse ambiente computacional. Do tipo de atividades
propostas, das relações que for estabelecida com o computador, da frequência no
uso e da familiaridade no uso e da familiaridade que se tenha com ele
(VILLAREAL, 1999, p. 362).
Com o que concordamos e ainda acrescentamos a opinião de Ponte (1995, p. 2) sobre as
TIC, quando diz que elas “colocam desafios irrecusáveis à atividade educativa dada a sua
possibilidade de proporcionar poder ao pensamento matemático e estender o alcance e a
profundidade das aplicações desta ciência”.
No nosso caso, pretendemos buscar a utilização das TIC, tanto como um reorganizador
quanto um suplemento nas atividades que iremos desenvolver, uma vez que, como
constatou Araújo (2002, p.161), “a imprevisibilidade dos acontecimentos, quando se
trabalha em ambientes informatizados, abre possibilidades para que investigações
aconteçam”.
Vemos também que a escolha da TIC que será utilizada deve ser feita com muito cuidado
pois, de acordo com Escher (2011),
quando nos propomos a introduzir as TIC na educação, faz-se necessário
pensarmos cuidadosamente sobre a escolha da tecnologia e, consequentemente,
do software a ser utilizado na sala de aula, devendo também esta escolha atender
e contemplar os objetivos projetados pelo professor ao mediar o processo
educativo. (ESCHER, 2011, p. 30)
Tendo em vista que a escolha do software a ser utilizado deve atender e possibilitar os
objetivos do processo educativo, e também de nossa pesquisa, optamos pelo software
GeoGebra4, pois de acordo com Amorim e Souza(2012) “ além de ser livre e de fácil
familiarização por parte de alunos e professores, é possível realizar testes sucessivos, o que
facilita o poder de investigação pelo dinamismo”.
De acordo com Paranhos (2009) na aprendizagem e na resolução de problemas de
Matemática é fundamental o desenho de esboços, figuras, diagramas e a construção de
4
GeoGebra foi criado por Markus Hohenwarter em 2001/2002 como parte de sua tese de mestrado em
educação matemática e ciência da computação na Universidade de Salzburg , na Áustria. Apoiado por uma
bolsa de estudos DOC da Academia Austríaca de Ciências , ele foi capaz de continuar o desenvolvimento do
software como parte de seu projeto de doutorado em educação matemática (HOHENWARTER e PREINER,
2007).
modelos, para que se possa melhor entender conceitos e futuramente discutir os resultados
obtidos com seus cálculos. Destacamos também que, no estudo das funções vetoriais, as
representações gráficas são necessárias para a compreensão de seu significado e que a
utilização do GeoGebra pode facilitar essa representação, pois podemos mostrar que o
vetor posição depende de um parâmetro (domínio da função) que é um subconjunto de
e
não faz parte do sistema de eixos cartesianos onde esboçamos a imagem da função, o que
na representação estática apresentada nos livros didáticos é de difícil compreensão.
Decidimos desenvolver esse estudo sobre o ensino e a aprendizagem das funções vetoriais,
pois além das aplicações dentro da própria Matemática, são utilizadas em outras áreas,
como por exemplo: na Física, quando estuda a velocidade e a aceleração de uma partícula
ao longo do tempo ou esboça trajetórias de partículas; nas Engenharias, ao estudarem os
fenômenos de transporte; na Astronomia, ao analisar as órbitas e as posições dos planetas;
na Computação, no desenvolvimento de jogos; mas nosso foco está na Licenciatura em
Matemática, que é responsável pela formação inicial de professores de Matemática, que
farão parte dos processos de ensino, de aprendizagem e de formação de futuros
profissionais das áreas destacadas.
Assim, tendo em vista a grande aplicabilidade e a falta de pesquisas sobre o tema funções
vetoriais e determinados a utilizar as TIC em nossa abordagem, optamos por realizar, em
nossa Tese de Doutorado em Educação Matemática, uma intervenção, junto a um grupo de
alunos de Licenciatura em Matemática, com base nas ideias de Imagem de Conceito e de
Definição de Conceito de Tall e Vinner (1981), com os seguintes objetivos.
Determinar a definição de conceito de função vetorial do grupo pesquisado.
E verificar a existência, ou não, na imagem de conceito desses sujeitos, de que o domínio
da função vetorial é um subconjunto de
; o imagem da função é determinada pela
extremidade do vetor posição. E ainda se a imagem de uma função vetorial pode
representar o movimento descrito por uma partícula, quando a variável independente é o
tempo.
Com esses objetivos, colocamos nossas questões de pesquisa.
Qual é a imagem de conceito evocada por estudantes ao realizar atividades envolvendo
funções vetoriais?
Qual é a definição de conceito de função vetorial desses estudantes?
Um conjunto de atividades, num ambiente informático, com o uso do software Geogebra,
enriquece a imagem de conceito de função vetorial desse grupo?
No que segue, é importante colocar algumas considerações teóricas sobre as ideias de
Definição de Conceito e de Imagem de Conceito de Tall e Vinner (???), que nortearam a
elaboração de nossos objetivos e de nossas questões de pesquisa.
Considerações Teóricas
Escolhemos verificar e enriquecer a Imagem de Conceito e a Definição de Conceito
evocada (TALL E VINNER, 1981??) de um grupo de sujeitos pois, a partir dessas análises,
julgamos possível elaborar abordagens que possam ser utilizadas no ensino de Cálculo
Diferencial e Integral, para ajudar a superação de dificuldades de estudantes, no caso de
funções vetoriais.
Imagem de Conceito e Definição de Conceito
As ideias de Imagem de Conceito e de Definição de Conceito foram desenvolvidas por
David Tall e Shlomo Vinner, em 1981. Segundo eles, devemos distinguir entre os
conceitos matemáticos definidos formalmente e os processos cognitivos pelos quais estes
são desenvolvidos (TALL; VINNER, 1981), o que significa que a abordagem de um novo
conceito não deve se dar apenas por sua definição formal, mas também de forma a
possibilitar o reconhecimento desse conceito em situações reais e sua utilização em
contextos apropriados. Isso requer um conjunto de ideias sobre esse novo conceito, para
que se possa formar o que esses pesquisadores chamam de Imagem de Conceito, que é
a estrutura cognitiva total associada a um conceito, que inclui todas as imagens
mentais, propriedades e processos associados. Ela é construída ao longo dos anos
por meio de experiências de todos os tipos, mudando à medida que o indivíduo
encontra novos estímulos e amadurece (TALL e VINNER, 1981, p. 152,
tradução nossa)5.
Segundo Tall e Vinner (1981), a Imagem de Conceito não precisa ser coerente o tempo
todo pois, dependendo do estímulo que é dado, um indivíduo pode ativar diferentes partes
da imagem de conceito, desenvolvendo-o de forma não coerente.
Quando se trata de função, os alunos podem ter na Imagem de Conceito apenas aquelas
que associam um número real do conjunto domínio a um número real do conjunto contra
5
the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental pictures and
associated properties and processes. It is built up over the years through experiences of all kinds, changing as
the individual meets new stimuli and matures.
domínio; quando passam a trabalhar com função vetorial, que associa cada número de um
intervalo real a um vetor do espaço, essa Imagem de Conceito não é suficientemente rica, o
que pode dificultar a aprendizagem desse tipo de função. Este é um momento em que a
Imagem de conceito original precisa ser enriquecida. De acordo com Tall e Vinner (1981),
“por esta razão, todos atributos mentais associados a um conceito, sejam eles conscientes
ou inconscientes, devem ser incluídos na Imagem de Conceito” (tradução nossa)6.
Ao nos depararmos com uma situação em que temos que resolver um problema que
envolve um conceito matemático, precisamos ativar uma porção de nossa imagem de
conceito associada a esse objeto matemático. A essa porção da Imagem de Conceito, Tall e
Vinner (1981) chamam de Imagem de Conceito Evocada.
Outro conceito importante que vamos utilizar é a Definição de Conceito e, a respeito dela,
Tall e Vinner (1981) afirmam
A definição de um conceito (se houver uma) é uma questão completamente
diferente. Iremos considerar a definição do conceito como um conjunto de
palavras usadas para especificar aquele conceito. Ela pode ser aprendida por um
indivíduo de uma forma mecânica ou compreendida e relacionada com um maior
ou menor grau com o conceito como um todo. (TALL e VINNER, 1981, p.152,
tradução nossa)7
Com base nessas considerações teóricas e a partir de nossos objetivos e nossas questões de
pesquisa. Estruturamos nossa intervenção e descrevemos no que segue os procedimentos
metodológicos que pretendemos adotar.
Procedimentos Metodológicos
Em nossa pesquisa de Doutorado, buscaremos: 1. determinar qual é a definição de conceito
de função vetorial de um grupo de estudantes do Ensino Superior, que já estudou as
funções vetoriais; 2. verificar a existência, ou não, na imagem de conceito desses sujeitos,
de que o domínio da função vetorial é um subconjunto de
e que a imagem da função é
determinada pela extremidade do vetor posição; e se a imagem de uma função vetorial
pode representar o movimento descrito por uma partícula ao longo do tempo; 3. enriquecer
a Imagem de Conceito de função vetorial de cada sujeito do grupo.
6
For this reason all mental attributes associated with a concept, whether they be conscious or unconscious,
should be included in the concept image
7
The definition of a concept (if it has one) is quite a different matter. We shall regard the concept definition
to be a form of words used to specify that concept. It may be learnt by an individual in a rote fashion or more
meaningfully learnt and related to a greater or lesser degree to the concept as a whole. (TALL; VINNER,
1981, p. 152.)
Para responder qual é a Definição de Conceito de funções vetoriais que os estudantes têm
e qual é a Imagem de Conceito evocada por estudantes em uma atividade envolvendo tais
funções, elaboraremos um conjunto de questões que nos possibilitem verificar a Definição
de Conceito de cada sujeito e os construtos que destacamos no item 2 do parágrafo
anterior.
Após a análise das respostas dadas a esse conjunto de questões, e para enriquecer a
Imagem de Conceito de função vetorial desses sujeitos (nossa questão de pesquisa 3),
pretendemos elaborar um conjunto de atividades, para serem aplicadas num ambiente
informático, com o tablet ou computador pessoal e com o software GeoGebra. A aplicação
deverá ser em duplas, cada uma delas acompanhada por um observador neutro e, se
autorizado pelos sujeitos da pesquisa, filmada, para que possamos detectar detalhes de
expressão, gesto ou fala que os observadores não derem conta de descrever e a fim de
minimizar as perdas para a análise dos dados gerados por essa aplicação.
A análise dos protocolos, das observações e das imagens obtidas, com a aplicação dessas
atividades, com base nas ideias teóricas que escolhemos, deverão dar subsídios para a
última etapa de nossa pesquisa, que é procurar resposta para a terceira questão de pesquisa.
Para tal, aplicaremos novamente o conjunto de questões iniciais, para verificar se nosso
objetivo de enriquecer a Imagem de Conceito de cada um dos sujeitos do grupo de
estudantes foi alcançado.
Referências
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