Proposição ou sentença Conjunto de palavras ou símbolos que

PROPOSIÇÃO OU SENTENÇA
Conjunto de palavras ou símbolos que exprimem um
pensamento ou sentido completo.
Proposições
Ex. :






Operações sobre proposições
(1) Conjunção
(e ;

; interseção)
Ex. : P: Ricardo é bonito e inteligente.
 Afirmam .. fatos.

 Exprimem..idéias..ou.. juízos.
TABELA VERDADE
O Flamengo é campeão da Taça Guanabara.
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Ricardo é bonito.
3 + 4 = 34
Engenho Novo é o melhor bairro do Rio de
Janeiro.
O Guarani de Campinas é o campeão brasileiro
de 2008.
Obs: Toda proposição pode ser classificada em verdadeira
(V) ou falsa (F). Valores lógicos.
(2) Disjunção
(ou ;
p
q

; união)
p  q
Ex. : P : Ricardo é bonito ou inteligente.
TABELA VERDADE
p
p  q
q
AXIOMAS DA LÓGICA MATEMÁTICA
(I) Princípio da Não Contradição
Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa
simultaneamente.
(Se ... então ... ;  )
(II) Princípio do Terceiro excluído
(3) Condicional
Toda proposição, ou é verdadeira, ou é falsa. Não
existe uma terceira possibilidade.
Ex. : Se chover, então vou à praia.
TABELA VERDADE
p
q
p  q
TIPOS DE PROPOSIÇÃO

Proposição simples (letra minúscula)
Ex.: p : Ricardo é bonito.

Proposição composta (letra maiúscula)
 )
P : Ricardo é bonito ou inteligente.
(4) Bicondicional
Q : Ricardo é feio e distraído.
Ex. : Roma fica na Europa se e somente se a neve é
branca.
S : Se Ricardo é bonito, então é feliz.
TABELA VERDADE
Conectivos
São
usados
para
formar
novas
(proposições compostas) a partir de outras.
( Se e somente se ;
p
q
p  q
proposições
Ex.: “e”; “ou” ; “se, então” ; “se, e somente se”.
OPERAÇÕES
VERDADE
SOBRE
PROPOSIÇÔES
-
TABELA
Negação de uma proposição.
1) A negação do “e” é o “ou” e vice–versa.
Ex.: p : Ricardo é bonito.
Ex. : P : Ricardo é bonito e inteligente.
Negação de p : “não p” (~ p)
~ p : Ricardo não é bonito. Ou É falso que Ricardo é
bonito.
TABELA VERDADE
Para montarmos esta tabela, basta analisarmos a tabela
do condicional nos dois sentidos.
NEGAÇÃO DOS PRINCIPAIS CONECTIVOS
p
~p
V
F
F
V
~ P : Ricardo não é bonito ou não é inteligente.
Q : Ricardo é bonito ou inteligente.
~ Q : Ricardo não é bonito e não é inteligente.
1
2) A negação do condicional
A negação de p  q é p  ~ q , uma vez que a
única opção que torna a condicional falsa é p ser
verdadeira e q ser falsa. (vide tabela-verdade de p  q).
Logo:
P : p q
entende de futebol” (porque, afinal, os maranhenses são
brasileiros). Isto significa que da afirmativa p, “todo
brasileiro entende de futebol”, podemos tirar a conclusão
q: “todo maranhense entende de futebol”. (É lógico que
também podemos tirar outras conclusões como, por
exemplo, todo paulista entende de futebol, todo gaúcho
entende de futebol e até todo carioca entende de
futebol.).
Quando de uma afirmação p podemos tirar uma
conclusão q dizemos que p implica q. Indicamos:
~ P : p  ~q
p  q (leia: p implica q)
Ex. : P : Se chover, então vou à praia.
~ P : Choveu e não fui à praia.
Os símbolos  e 
significados diferentes.
QUANTIFICADORES
Universal:  : Lê-se “para todo”, “qualquer que
seja”
Existencial :  : Lê-se “existe pelo menos um”
 ! : Lê-se “existe um único”
/ : Lê-se “não existe”


CUIDADO !
Ex.: Em relação ao conjunto A = {6, 8, 9, 10, 12}
podemos dizer que:
 x  A, x é natural.
 x  A | x é par.
 ! x  A | x é ímpar.
/ x  A | x é primo.
A negação lógica de uma sentença do tipo (  x,
x tem a propriedade P) é a sentença (  x | x não tem a
propriedade P).
Ex. : p : Todo sorvete é gostoso
~ p : Existe sorvete que não é gostoso.
A negação lógica de uma sentença do tipo (  x |
x tem a propriedade P) é a sentença ( 
/ x | tem a
propriedade P).
são parecidos mas possuem
 É utilizado como conectivo para formação de uma
proposição composta (que pode ser uma tautologia ou
uma contradição).
 É utilizado somente quando a proposição composta
for uma tautologia.
Se também de q podemos tirar como conclusão p
dizemos que p e q são equivalentes. Neste caso,
indicamos:
pq
somente se q)
Ex.: x + 1 = 8
(leia : p é equivalente a q, ou p se e
x =7
3)EQUIVALÊNCIA LÓGICA (EXTREMAMENTE IMPORTANTE)
Imaginemos agora que E é um subconjunto de um
conjunto F e seja x um elemento qualquer. Podemos
afirmar que se x  E, então x  F.
Ex.: p : Existe marido que é fiel.
~ p : Não existe marido que é fiel. Ou Nenhum marido é
fiel.
F
●x
E
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES
1) Uma proposição composta é chamada de:
 x F

TAUTOLOGIA: quando possui valor lógico
verdadeiro (V); quaisquer que sejam os
valores lógicos das proposições que a compõe.
x E

CONTRADIÇÂO : quando possui valor lógico
falso (F); quaisquer que sejam os valores
lógicos das proposições que a compõe.
E também podemos afirmar que se x
2) IMPLICAÇÂO ( p


F, então x

E.
q)
Uma proposição p implica logicamente numa
proposição q, quando a condicional p  q é sempre
verdadeira (ou seja, uma tautologia).
Ex.: Se for verdade que “todo brasileiro entende de
futebol”, então também é verdade que “todo maranhense
2

x

F

x
E
●x
F
 F é a negação de x 
F.
De modo geral, quando

q
~ p

q
(
)
)
)
4) Dê a negação (lógica ) de cada sentença.
5) Forme a negação de cada frase.
a) Juliana é alta e loira.
b) Osmar é alto ou magro.
c) Sandro pratica natação e corrida
d) Simone gosta de ler ou ouvir música.
e) Se Carlos é feliz, então Jorge é rico.
f) Se um quadrilátero é retângulo, então suas diagonais
são congruentes.
Na verdade, vale a equivalência:
p
1
5
a) Existe menina feia.
b) Todo garoto gosta de futebol.
c) Nenhuma menina gosta de futebol.
d) Tudo que é bom engorda.
também temos que:
~q
d) Fleming descobriu a penicilina ou sen 30° =
h) Se 0 < 1 então 2 é irracional ( )
i) 9 é primo  72 = 49 ( )
j) – 5 > -7  6  7 = 40 ( )
k) Se 3 + 2 = 6 , então 4 + 4 = 9 ( )
l) 3 + 4 = 7 se e somente se 53 = 125 ( )
m)Todo cachorro tem 5 orelhas ou galinha é uma ave.(
Como dissemos anteriormente, costumamos representar a
negação de uma afirmativa p pelo símbolo ~ p .
p
)
e) 2 é primo  7 > 51 ( )
f) 2 é primo  7 > 51 ( )
g) 52 = 10   é racional (
E
A afirmativa x
c) Roma é a capital da França ou tg 45° = 1 (

~q

~p
Exemplos:
x é baiano  x é brasileiro
não é baiano
Se chover, então vou à praia
não choveu.
x
não é brasileiro
x
6) Escreva uma sentença equivalente a sentença dada.
 Não
fui à praia, então
OBS.: Este resumo teórico não trata a “Lógica
Matemática” com o rigor desejado. Ele pretende apenas
dar noções básicas para que o aluno resolva as questões
cobradas nos exames vestibulares.
EXERCÍCIOS
1) Sejam as proposições p : Está frio e q : Está chovendo.
Traduzir para a linguagem corrente as seguintes
proposições:
a) ~ p
b) p  q
c) p  q
d) q  p
e) p  ~ q
f) p  ~ q
g) ~ p  ~ q
2) Sejam as proposições p : Marcos é alto e q : Marcos é
elegante. Traduzir para a linguagem simbólica as
seguintes proposições:
a) Marcos é alto e elegante.
b) Marcos é alto, mas não é elegante.
c) Não é verdade que Marcos é baixo ou elegante.
d) Marcos não é nem alto nem elegante.
e) É falso que Marcos é baixo ou que não é elegante.
3) Determinar o valor lógico ( V ou F ) de cada uma das
seguintes proposições:
a) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10 ( )
b) 2 + 7 = 9  4 + 8 = 12 ( )
Se um polígono plano é triângulo, então a soma de seus
ângulos internos é igual a 180°.
7) (PUC-SP) A negação da proposição x
a) x  (A  B)
b) x  A ou x  B
c) x  A e x  B
d) x  A ou x  B
e) x  A e x  B

(A
 B) é:
8) (MACK-SP) Duas grandezas x e y são tais que : “se x =
3, então y = 7”
Pode-se concluir que:
a) se x  3, então y  7
b) se y = 7, então x = 3.
c) se y  7, então x  3
d) se x = 5, então y = 5.
e) Nenhuma das conclusões anteriores é válida.
9) (UF-BA) A negação de Hoje é segunda-feira e amanhã
não choverá.
a) Hoje não é segunda-feira e amanhã não choverá.
b) Hoje não é segunda-feira ou amanhã choverá.
c) Hoje não é segunda-feira, então amanhã choverá.
d) Hoje não é segunda-feira nem amanhã choverá.
e) Hoje é segunda-feira ou amanhã não choverá.
10) (UFF) Na cidade litorânea de Lorentin é rigorosamente
obedecida a seguinte ordem do prefeito:
3
“Se não chover, então todos os bares à beira-mar deverão
ser abertos.”
“Todo cartão que tiver um número racional em uma face
terá um polígono na outra.”
Pode-se afirmar que:
Uma pessoa deseja verificar se essa afirmação é
verdadeira. Para isso, ela será obrigada a virar os cartões
_____________ .
a) Se todos os bares à beira-mar estão abertos então
choveu.
b) Se todos os bares à beira-mar estão abertos então não
choveu.
c) Se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão
abertos.
d) Se choveu, então todos os bares à beira-mar estão
abertos.
e) Se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu.
11) A negação de “Se fico nervoso então bebo e fumo” é:
a) Fico nervoso e não bebo e não fumo.
b) Se fico nervoso eu bebo e então não fumo.
c) Fico nervoso e não bebo ou não fumo.
d) Se fico nervoso eu não bebo ou fumo.
e) Se fico nervoso eu não bebo e fumo.
15) (UFF) O seguinte enunciado é verdadeiro:
“Se uma mulher está grávida, então a substância
gonadotrofina coriônica está presente na sua urina.”
Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e
constatou-se que a substância gonadotrofina coriônica
está presente na urina de Fátima e não está presente na
urina de Mariana.
Utilizando a proposição enunciada, os resultados dos
exames e o raciocínio lógico dedutivo:
a) Garante-se que Fátima está grávida e não se pode
garantir que Mariana está grávida;
b) Garante-se que Mariana não está grávida e não se
pode garantir que Fátima está grávida;
c) Garante-se que Mariana está grávida e que Fátima
também está grávida;
d) Garante-se que Mariana não está grávida e que Fátima
está grávida.
12) (UFF) Considere os seguintes enunciados:
16 é múltiplo de 2
15 é múltiplo de 7
8 é número primo
A proposição que apresenta valor lógico verdadeiro é:
a) Se 15 é múltiplo de 7 ou 16 é múltiplo de 2 então 8
número primo.
b) Se 16 é múltiplo de 2 ou 8 é número primo então 15
múltiplo de 7.
c) Se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 e 8
número primo.
d) Se 15 é múltiplo de 7 e 8 é número primo então 16
múltiplo de 2.
e) Se 16 é múltiplo de 2 então 15 é múltiplo de 7 ou 8
número primo.
Justifique sua resposta.
é
é
é
é
é
13) (UFF) Considere um quadrilátero Q e a seguinte
proposição p:
16) Partindo das premissas:
(1) Todo repórter é esperto.
(2) Todo repórter é formado em Jornalismo.
(3) Jamil é esperto.
(4) Adelaide é jornalista.
Pode-se concluir que:
a) Adelaide é esperta?
b) Jamil é repórter?
c) Há jornalistas espertos?
“Se Q é um retângulo ou Q é um trapézio isósceles, então
os comprimentos das diagonais de Q são iguais.”
A proposição equivalente a p é:
17) Numa cidade, os seguintes fatos são verdadeiros:
a) “Se Q não é um retângulo ou Q não é um trapézio
isósceles, então os comprimentos das diagonais de Q não
são iguais.”
b) “Se Q não tem as diagonais com o mesmo
comprimento, então Q não é um retângulo e Q não é um
trapézio isósceles.”
c) “Se Q não tem as diagonais com o mesmo
comprimento, então Q não é um retângulo ou Q não é um
trapézio isósceles.”
d) “Se Q não é um retângulo e Q não é um trapézio
isósceles, então os comprimentos das diagonais de Q não
são iguais.”
e) “Se os comprimentos das diagonais de Q são iguais,
então Q é um retângulo ou Q é um trapézio isósceles.”
I.
II.
Alguns dentistas não são motoristas.
Todos os homens são motoristas.
Uma conclusão que se pode tirar é:
(A) Nenhum dentista é homem.
(B) Alguns homens não são dentistas.
(C) Alguns dentistas não são homens.
(D) Nenhum homem é dentista.
(E) Alguns dentistas são homens.
Justifique sua resposta
14) (UFRJ)As figuras a seguir, representam quatro cartões
A, B, C e D que foram colocados sobre a mesa:
0, 3666...
Quem os colocou assim afirmou:
5
Bibliografia
4
1) Filho, Edgard de Alencar – Iniciação à Lógica
Matemática; Nobel.
2) Santos, Antônio Machado dos – Temas e Metas, vol 1 ;
Moderna.
3) Apostila Curso Princesa Isabel.
Gabarito:
1) a) Não está frio.
b) Está frio e está chovendo.
c) Está frio ou está chovendo.
d) Está frio se e somente se está chovendo.
e) Se está frio, então não está chovendo.
f) Está frio ou não está chovendo.
g) Não está frio e não está chovendo
2) a) p  q
b) p  ~q
c) ~(~p  q)  p  ~q
d) ~p  ~q
e) ~(~p)  ~q
3) a) F b) V c) V d) V e) F f) V g) F
m) V
h) V i) V
j) F k) V
l) V
4) a) Não existe menina feia.
b) Existe garoto que não gosta de futebol.
c) Existe menina que gosta de futebol.
d) Existe o que é bom e não engorda.
5) a) Juliana não é alta ou não é loira.
b) Osmar não é alto e não é magro.
c) Sandro não pratica natação ou não pratica corrida.
d) Simone não gosta de ler, nem de ouvir música.
e) Carlos é feliz e Jorge não é rico.
f) Um quadrilátero é retângulo e suas diagonais não são
congruentes.
6) Se a soma de seus ângulos internos não é igual a 180°, então
o polígono plano não é triângulo.
7) E
8) C
12) D
13) B
sentença equivalente.
15) B
16)
9) B
10) E
11) C
14) A, C e D. Just. Basta obter a
17)
5